Презентация по математике.Тема: «Способы быстрых вычислений».

Презентация по математике.Тема: «Способы быстрых вычислений». Муниципальное специальное (коррекционное) образовательное учреждение для обучающихся воспитанников с ограниченными возможностями здоровья, специальная коррекционная школа-интернат 7 вида Московская область, г.Павловский Посад, ул. Тимирязева, 15. Авторы презентации: ученик 9 класса Юдичев Роман, ученица 7 класса Булычева Юлия, ученик 5 класса Фокин Николай. Предмет «Математика» Девиз: «Математика-гимнастика ума» Программа “Проектной деятельности”создана на основе, федерального компонента государственного. Тема:«Способы быстрых вычислений». Цель: Изучить способ быстрых вычислений и пользоваться приобретёнными знаниями и умениями на практике. Давайте, ребята Не будет Учиться считать: На улице света. делить, Без счёта умножать, Не может подняться прибавлять, Ракета. Вычитать. Без счёта письмоЗапомните все, не найдёт адресата.Что без точного счёта И в прятки сыгратьНе двинемся с места не сумеют ребята. Любая работа. Боритесь ребята,Без счёта Скорей за работу! Учитесь считать, Чтоб не сбиться со счёту Умножение на 11 1 способ. Чтобы умножить число на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:2 способ. Чтобы двузначное число умножить на 11, сумма цифр которого не превышает 10, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.72 ґ 11 = 7 ( 7 + 2 ) 2 = 79235 ґ 11 = 3 ( 3 + 5 ) 5 = 3853 способ. Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.94 ґ 11 = 9 ( 9 + 4 ) 4 = 9 (13 ) 4 = (9 +1) 34 = 103473 ґ 11 = 7 ( 7 + 3 ) 3 = 7 ( 10 ) 3 = ( 7 + 1) 03 = 803  Умножение двузначных чисел на 111. Сначала возьмём множимым такое двузначное число, сумма цифр которого меньше 10. Поясним на числовых примерах:45*111. Так как 111=100+10+1, то 45*111=45*(100+10+1). При умножении двузначного числа, сумма цифр которого меньше 10, на 111, надо в середину между цифрами вставить два раза сумму цифр (т.е. чисел, ими изображаемых) его десятков и единиц 4+5=9. 4500+450+45=4995. Следовательно, 45*111=4995. Когда сумма цифр двузначного множимого больше или равна 10, например 68*11, надо сложить цифры множимого (6+8) и в середину между цифрами 6 и 8 вставить 2 раза единицы полученной суммы. Наконец, к составленному числу 6448 прибавить 1100. Следовательно, 68*111=7548. Умножение на 22, 33, …, 99. Чтобы двузначное число умножить 22,33, …,99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11. Выполнить умножение сначала на однозначное число, а потом на 11:15 *33= 15*3*11=45*11=495. 25х11= 25х111= 12х22=12х11= 12х111= 21х33=37х11= 37х111= 22х44=48х11= 48х111= 12х55=96х11= 96х111= 11х66=43х11= 43х111= 11х77=
275
275
132
407
528
1056
473
2775
1332
4107
5328
10656
4773
264
293
968
660
726
847
Примеры Умножение двузначного числа на 101. Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример: 57 * 101 = 5757 57 --> 5757 Объяснение: (10a+b)*101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, четырехзначных - на 10001 и т.п. 2323
8989
12012
48048
59059
3737
Примеры 37*101= 23*101= 89*101= 12*1001= 48*1001= 59*1001= Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5. Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25.15*15 = 225 = 10*20+ 25 ( или 1*2 и приписываем справа 25)35*35 =30*40 +25= 1225(3*4 и приписываем справа 25)65*65 = 60*70+25=4225(6*7 и приписываем справа 25) 2
2
2
225
625
1225
2
2
2
2025
2
2
3025
4225
5625
7225
Примеры 15 = 55 = 25 = 65 = 35 = 75 = 45 = 85 = Возведение в квадрат любого двузначного числа. Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25, то легко найти и квадрат любого двузначного числа, превышающего 25. Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю.Рассмотрим пример:372=12*100+132=1200+169=1369 (М–25)*100+ (50-M) 2=100M-2500+2500–100M+M2=M2 . Умножение двузначных чисел, у которых сумма единиц равна 10. Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма равна 10:М=10m + n, K=10a + 10 – n. Составим их произведение.M * K= (10m+n) * (10a + 10 – n) =100am + 100m – 10mn + 10an + +10n – n2 = m * (a + 1) * 100 + n * (10a + 10 – n) – 10mn = (10m) * * (10 * (a + 1)) + n * (K – 10m). Рассмотрим несколько примеров:17 * 23= 10 * 30 + 7 * 13= 300 + 91= 391;33 * 67= 30 * 70 + 3 * 37= 2100 + 111= 2211. Умножение чисел, близких к 100.  При увеличении (уменьшении) одного из множителей на несколько единиц умножаем полученное целое число и прибавленные (отнятые) единицы на другой множитель и  из первого произведения вычитаем второе произведение (полученные произведения складываем)98∙8=(100-2) ∙8=100∙8-2∙8=800-16=784.Данный прием представления одного из сомножителей в виде разности позволяет легко умножать на 9, 99, 999. Для этого достаточно умножить число на 10 (100, 1000) и из полученного  целого числа вычесть число, которое умножали: 154х9=154х10-154=1540-154=1386. Но еще проще ознакомить детей с правилом — «чтобы умножить число на 9 (99, 999)достаточно вычесть из этого числа число его десятков (сотен, тысяч), увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение его цифры единиц до 10 (дополнение до 100 (1000) числа, образованного двумя (тремя) последними цифрами этого числа): 154х9=(154-16)х10+(10-4)=138х10+6=1380+6=1386 Умножение на 37. При умножении числа на 37, если данное число кратно 3,его делят на 3 и умножают на 111.27*37=(27:3)*(37*3)=9*111=999Если же данное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к произведению прибавляют 37.23*37=(24-1)*37=(24:3)*(37*3)-37=888-37=851. Умножение и деление на 125. Чтобы число умножить на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000.(На 8 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящаяся на 8). Например. 1000 = 4000 125 = 32 : 8 32   1000 = 396000 125 = 3168 : 8 3168 Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить на 8. Например. 8 = 324000 : 125 = 4000 : 1000 8 = 729000 : 125 = 9000 : 1000 Умножение и деление на 5, 50, 500 и т. д. Умножение на 5, 50, 500 и т. д. заменяется умножением на 10, 100,1000 и т. д. с последующим делением на 2 полученного произведения (или делением на 2 и умножением на 10, 100, 1000 и т. д.). (50 = 100: 2 и т.д.) 54*5=(54*10):2=540:2=270 (54*5 = (54:2)*10= 270).Чтобы число разделить на 5,50, 500 и т. д., надо это число разделить на 10,100,1000 и т. д. и умножить на 2.10800 : 50 = 10800:100*2 =21610800 : 50 = 10800*2:100 =216 Умножение и деление на 25, 250, 2500 и т. д. Умножение на 25, 250, 2500 и т. д. заменяется умножением на 100,1000,10000 и т. д. и полученный результат разделить на 4. (25 = 100: 4)542*25=(542*100):4=13550(248*25=248: 4*100 = 6200)(если число делится на 4, то выполнение умножения не занимает времени, любой ученик может выполнить).Чтобы выполнить деление числа на 25, 25,250,2500 и т. д. это число надо разделить на 100,1000,10000 и т.д. и умножить на 431200: 25 = 31200:100*4 = 1248. Умножение и деление на 125, 1250, 12500 и т. Умножение на 125, 1250 и т. д. заменяется умножением на 1000, 10000 и т. д. и полученное произведение нужно делить на 8. (125 = 1000: 8)72*125=72*1000:8=9000Если число делится на 8, то сначала выполним деление на 8 , а потом умножение на 1000,10000 и т. д.48*125 = 48:8*1000 = 6000Чтобы разделить число на 125, 1250 и т.д., надо это число разделить на 1000, 10000 и т. д. и умножить на 8.7000: 125 = 7000:1000*8 = 56. Умножение и деление на 75, 750 и т. д. Чтобы число умножить на 75, 750и т. д. надо это число разделить на 4 и умножить на 300, 3000 и т.д. (75 = 300: 4)48* 75 = 48:4*300 = 3600Чтобы число разделить на 75,750 и т. д. надо это число разделить на 300, 3000 и т.д. и умножить на 47200: 75 = 7200: 300*4 = 96. Умножение на 15, 150. При умножении на 15, если число нечетное, умножают его на 10 и прибавляют половину полученного произведения: 23х15=23х(10+5)=230+115=345; если же число четное, то поступаем еще проще — к числу прибавляем его половину и результат умножаем на 10:18х15=(18+9)х10=27х10=270.При умножении числа на 150 пользуемся тем же приемом и умножаем результат на 10, т.к.150=15х10:  24х150=((24+12)х10)х10=(36х10)х10=3600. Точно так же быстро умножить двузначное число (особенно четное) на двузначное, оканчивающиеся на 5:24*35 = 24*(30 +5) = 24*30+24:2*10 = 720+120=840. Перемножение двузначных чисел, меньших, чем 20. К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, эту сумму умножить на 10 и прибавить к ней произведение единиц данных чисел: 18х16=(18+6)х10+8х6= 240+48=288.   Описанным способом можно умножать двузначные числа, меньшие 20, а также числа, в которых одинаковое количество десятков: 23х24 = (23+4)х20+4х6=27х20+12=540+12=562.Объяснение: (10+a)*(10+b) = 100 + 10a + 10b + a*b = 10*(10+a+b) + a*b = 10*((10+a)+b) + a*b . Умножение двузначных чисел, оканчивающихся 1 А) Сумма разрядных десятков меньше 1041х514х5=20- произведение десятков - это начало числа.4х5=9 – сумма десятков – это следующее число ответа.И справа приписываем 1.41х51=2091.Б) Сумма разрядных десятков больше 1061х51к произведению разрядных десятков прибавляем 1, получаемначало результата (6х5=30;30+1=31).Складываем число десятков 6+5=11, число единиц (1) иБудет следующим знаком искомого произведения.Приписываем справа единицу 65х51=3111. Умножение двузначных чисел, начинающихся единицей. 19х12=22819+2=21 или 12+9-21, т.е. находим сумму одного Из множителей (19) с числом единиц (2) второго множителя. Надо иметь виду, что полученная сумма (21) означает число десятков.Находим произведение единиц 2х9=18. Здесь 1-число десятков.Складываем так: 21 + 18 228 Для того чтобы найти произведение числа написанного одними девятками на число имеющее с ним одинаковое количество цифр надо от множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать другое число все цифры которого дополняют цифры указанного получившегося числа до 9.8 * 9= 72;46 * 99= 4554;137 * 999= 136 863; 3562 * 9999= 35616438.Наличие такого способа усматривается из следующего приёма решения приведённых примеров: 8 * 9= 8 * (10 – 1)= 80 – 8= 72, 46 * 99= 46 * (100 – 1)= 4600 – 54= 4554.
Умножение на число, записанное одними девятками. Умножение на 4 и деление на 4. Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:112*4 =112*2*2=224*2=448335*4 = 335*2*2=670*2 =1340. Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:76:4 =76:2:2=38:2=19236:4=236:2:2=118:2=59 Умножение на 8 и деление на 8. Умножение на 8 и деление на 8.Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:217*8 = 217*2*2*2=434*4=868*2=1736(Eще удобнее: 217*8=200*8 +17*8= 1600*13=1736).Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:464:8=464:2:2:2=232:4==116:2=58516:8=516:2:2:2=258:4==129:2= 64 1/2 Умножение на 11/2, на 1 1/4, на 21/2, на 3/4 Умножение на 11/2, на 1 1/4, на 21/2, на 3/4Чтобы устно умножить число на 11/2 прибавляют к множимому его половину. Например:34*11/2 = 34 + 17=5123*11/2=23 + 111/2 = 341/2 (или 34,5)Чтобы устно умножить число на 11/4 прибавляют к множимому его четверть. Например:48*11/4 =48 +12=6058*11/4 = 58+14 1/2=721/2 или 72,5Чтобы устно умножить число на 21/2. к удвоенному числу прибавляют половину множимого.Например: 18*21/2.=36+9= 45;39*21/2.= 78 + 191/2.= 971/2 (или 97,5)Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:18*21/2 = 90:2 = 45Чтобы устно умножить число на 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа), умножают число на 11/2 и делит пополам. Например:30 * 3/4 = (30+15)/2= 221/2 (или 22,5)Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины. 2
2
Вычисления по формуле (а+b) (а-b) = а  — b Пусть требуется выполнить устно умножение 52*48Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2)*(50—2)и применяем приведенную в заголовке формулу:(50+2)*(50—2)=502-22= 2496Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:69*71=(70—1)*(70+1)=489933*27=(30+3)*(30—3)=89153*57=(55—2)*(55+2)=302184*86=(85-1)*(85+1)=7224Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:7 Ѕ*6Ѕ=(7 + Ѕ )*(7 — 2
2
2
Вычисления по формуле  (a + b)  = a  +2ab+b . При устном возведении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (a + b)2 = a2 +b2+2ab.Например: 412=402 +1+2*40= 1601+80= 1681692=702+1-2*70=4901-140=4761362 =(35+1)2=1225+1+ 2*35=1296Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9. Спасибо за внимание!