Вынесение общего множителя за скобки

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №32

«Ассоциированная школа ЮНЕСКО «Эврика-развитие»

г. Волжского Волгоградской области

Вынесение общего множителя за скобки

Работу выполнила:

Ученица 8В класса

Чичаева Дарина

г. Волжский

2014

Вынесение общего множителя за скобки

• - Одним из способов разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки;
• - При вынесении общего множителя за скобки применяется распределительное свойство;
• - Если все члены многочлена содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за скобки.

При решении уравнений, в вычислениях и ряде других задач бывает полезно заменить многочлен произведением нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены). Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложение многочлена на множители.

Рассмотрим многочлен 6a2b+15b2.  Каждый его член можно заменить  произведением двух множителей, один из которых равен 3b: →6a2b= 3b*2a2, + 15b2=3b*5b →из этого мы получим: 6a2b+15b2=3b*2a2+3b*5b.

Полученное выражение на основе распределительного свойства умножения можно представить в виде произведения двух множителей. Один из них – общий множитель 3b, а другой – сумма 2а2 и 5b→ 3b*2a2+3b*5b=3b(2a2+5b)→Таким образом, мы разложили многочлен: 6a2b+15b2  на множители, представив его в виде произведения одночлена 3b и многочлена 2a2+5b. Данный способ разложения многочлена на множители называют вынесение общего множителя за скобки.

Примеры:

Разложите на множители:

 а) kx-px.

Множитель х есть и в 1 слагаемом и во 2 слагаемом. Поэтому х выносим за скобки.

 kx:x=k; px:x=p.

Получим: kx-px=x*(k-p).

б) 4a-4b.

Множитель 4 есть и в 1 слагаемом и во 2 слагаемом. Поэтому 4 выносим за скобки.

4а:4=а; 4b:4=b.

Получим:  4a-4b=4*(a-b).

в) -9m-27n.

-9m и -27n делятся на -9. Поэтому выносим за скобки числовой множитель -9.

-9m: (-9)=m; -27n: (-9)=3n.

Имеем:  -9m-27n=-9*(m+3n).

г) 5y2 -15y.

5 и 15 делятся на 5; y2  и у делятся на у.

Поэтому выносим за скобки общий множитель 5у.

5y2 : 5у=у; -15y: 5у=-3.

Итак: 5y2 -15y=5у*(у-3).

Замечание: Из двух степеней с одинаковым основанием выносим степень с меньшим показателем.

д) 16у3+12у2.

16 и 12 делятся на 4;  y3 и y2  делятся на y2 .

Значит, общий множитель 4y2 .

16y3 : 4y2=4y; 12y2: 4y2=3.

В результате мы получим: 16y3+12y2=4y2  *(4у+3).

е) Разложите на множители многочлен 8b(7y+a)+n(7y+a).

В данном выражении мы видим, присутствует один и тот же множитель (7y+a) , который можно вынести за скобки. Итак, получим: 8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

ж) a(b-c)+d(c-b).

Выражения b-c и c-b являются противоположными. Поэтому, чтобы сделать их одинаковыми, перед d меняем знак «+» на «-» :

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).

Далее следуем образцу из предыдущего примера и получаем запись:

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).

Примеры для самостоятельного решения:

1. mx+my;
2. ах+ау;
3. 5x+5y ;
4. 12x+48y;
5. 7ax+7bx;
6. 14x+21y;
7.  –ma-a ;
8. 8mn-4m2 ;
9. -12y4-16y;
10.  15y3-30y2;
11.  5c(y-2c)+y2(y-2c);
12.  8m(a-3)+n(a-3);
13. x(y-5)-y(5-y);
14. 3a(2x-7)+5b(7-2x);

Ответы.

1) m(х+у); 2) а(х+у); 3) 5(х+у); 4) 12(х+4у); 5 )7х(a+b); 6) 7(2х+3у); 7)  -а(m+1); 8) 4m(2n-m);

9)  -4y(3y3+4); 10)  15у2(у-2); 11) (y-2c)(5с+у2); 12)  (a-3)(8m+n);13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).