Три знаменитые задачи древности. Удвоение куба.

Конференция исследовательских работ учащихся

учреждений  общего и профессионального образования.

Управление общего и профессионального образования

г. Чайковского с прилегающей территорией

Секция: математика

Три знаменитые задачи древности. Удвоение куба.

        МОУ СОШ № 11

Балабанова Кристина,

ученица 10А класса.

Руководитель

Беркутова Татьяна Владимировна,

учитель математики.

г. Чайковский,

2009 уч. год

Оглавление.

I. Введение………………………………………………………………3

II Основная часть……………………………………………………….5

1. Историческая справка…………………………………………...5
2. Неразрешимость задачи об удвоении куба с помощью ………6

     циркуля и линейки. 

3. Попытки решения задачи другими способами………..………7

III Заключение…………………………………………………………..13

IV. Библиографический список………………………………………..15

I. Введение

Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: о квадратуре круга, о трисекции угла, об удвоении куба.

Квадратура круга                                        Трисекция угла

Задача заключается в                                            Задача о разделении угла

 построении с помощью                                        на три равные части с

циркуля и линейки квадрата                                 помощью циркуля и

равновеликого данному кругу.                             линейки.

           Удвоение куба

Задача заключается в построении куба, имеющего объём, вдвое больший объём данного куба.

Разрешимость задач на построение существенно зависит от тех средств, которые разрешается использовать при построении. Древние греки использовали в классическом варианте циркуль и линейку (без делений).
          Три знаменитые задачи древности (квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба) неразрешимы с помощью циркуля и линейки, но становятся разрешимыми, если перейти к другим средствам построения. С древних времен математики опытным путём  убедились, что одни правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки, а построить другие никак не удается, но какие многоугольники допускают построение, а какие не допускают, оставалось неизвестным.

Цель работы:

Убедиться  в неразрешимости задачи об удвоении куба с помощью циркуля и линейки.

Задачи:

1.Изучить известные в литературе способы решения данной задачи.

2.Выполнить некоторые способы  решения задачи ( с другими условиями) самостоятельно.

II. Основная часть.

1. Историческая справка

Считают, что задача об удвоении куба появилась во времена пифагорийцев, около 540 г. до н. э. Возможно, она возникла, как и задачи об удвоении квадрата, которую легко решить, опираясь на теорему Пифагора, где  надо построить квадрат на  диагонали заданного квадрата.

 Согласно легенде, жители Афин, на которых боги ниспослали эпидемию чумы, отправили делегацию к оракулу на остров Делос за советом, как задобрить богов и избавиться от  морового поветрия. Ответ был таков: «Удвойте жертвенник храма Аполлона, и чума прекратится». Жертвенник имел кубическую форму. Афиняне решили, что задание простое, построили новый жертвенник, с вдвое большим ребром. Однако чума только усилилась. Вторично обратились к оракулу и получили ответ: «Получше изучайте геометрию». История умалчивает о том, как удалось умилостивить богов, но чума в конце концов покинула город. А задачу об удвоении куба стали называть делосской задачей.

Известна и другая легенда. Греческий комментатор VI в. до н. э. сообщает о письме, предположительно написанном царю Птолемею I. В нём говорится, что царь Минос построил на могиле сына надгробие кубической формы, но остался недоволен размерами памятника и приказал удвоить его, увеличив вдвое ребро куба. Комментатор указывает на ошибку царя Миноса (площадь поверхности памятника в результате увеличилась в четыре, а объём в восемь раз) и рассказывает, что тогда геометры попытались решить эту задачу.

2. Неразрешимость задачи об удвоении куба с помощью циркуля и линейки. 

Задача заключается в построении куба, имеющего объём, вдвое больший объём данного куба. Обозначим через а ребро данного куба и  длину ребра    искомого куба  x.

В современных обозначениях, задача сводится к решению уравнения . Решение имеет вид . Всё сводится к проблеме построения отрезка длиной  с помощью циркуля и линейки. Задача об удвоении куба возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины . Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности или трансцендентности числа .  Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки.  Задача становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства.

        3. Попытки решения задачи другими способами.

Так и не сумев, справится с этой задачей с помощью циркуля и линейки, греки попробовали применить другие инструменты, механизмы и даже специальные кривые.

ПРИМЕР 1.

Гиппократ Хиосский, знаменитый геометр V в. до н. э., свёл удвоение куба  к построению «двух средних пропорциональных» x и y для данных отрезков a и b, т. е. к решению уравнений a:x=x:y=y:b (при b=2a получаем  x=a 3√2). Эту идею удалось реализовать Платону около 340 г. до н. э. с помощью нетрадиционных чертёжных инструментов – двух прямых углов.

ПРИМЕР 2.

Примерно в 350 г. до н. э Менехм  решал задачу об удвоении куба, используя конические сечения – кривые, по которым плоскости пересекают конус.

Плутарх упоминает о том, что Менехм продемонстрировал Платону механическое устройство, решающее задачу построения ребра удвоенного куба; Плутарх добавляет, что Платон решительно не одобрил смешение высокой геометрии и низкой механики.

Прокл, цитируя Эратосфена, рассказывает об открытии Менехмом конических сечений (эллипса, параболы и гиперболы) и называет их«триадой Менехма». Современные названия дал впоследствии Аполлоний Пергский, сам Менехм и его последователи называли исследуемые кривые просто сечениями конуса.

Занимаясь проблемой удвоения куба, Менехм обнаружил новые кривые. Напомним, что для удвоения куба требуется извлечение кубического корня, а оно недостижимо с помощью циркуля и линейки; однако если в класс допустимых кривых (прямые и окружности) добавить конические сечения, то построение кубических корней выполнить несложно.

Конические сечения: круг, эллипс, парабола, гипербола

Сам Менехм опубликовал два способа удвоения куба: пересечением двух парабол или пересечением параболы и гиперболы; они отмечены в комментарии Евтокия Аскалонского к сочинению Архимеда «О шаре и цилиндре».

Первый из упомянутых способов, в современной терминологии, означает построение пересечения парабол x2 = ay и y2 = 2ax; абсцисса результата даёт 3√2.

А второй способ заключается в том, что для решения уравнения  x3 = a, мы находим точку пересечения кривых y = x2 (парабола) и  (гипербола).

Наше понятие уравнения кривой было чуждо античным геометрам, однако соотношения между различными атрибутами кривой грекам были известны; они называли их симптомами. Часть этих соотношений, например, включающая проекции точек гиперболы на её асимптоты, по существу ничем не отличается от наших уравнений, правда, в косоугольной системе координат.

Есть упоминание (не подтверждаемое в других источниках), что Менехм участвовал в обучении Александра Македонского, и при этом произнёс знаменитую фразу «В геометрии нет царского пути». Впрочем, за честь быть автором этой фразы с ним соперничает Евклид, а за честь её выслушать — Птолемей I.

ПРИМЕР 3.

Древнегреческий учёный Эратосфен Киренский не упускал возможности наглядно представить математические результаты и явления, а также предложить способы получения практических решений. Например, он разработал и построил мезолябий – прибор для механического вычисления двух средних пропорциональных между двумя данными.

Мезолябий сделан из трёх одинаковых прямоугольных пластинок (из металла, дерева, картона и т.п.), легко передвигающихся по двум параллельным направляющим; на каждой пластинке проведена её диагональ, как это видно на рисунке (каждая пластинка окрашена в свой цвет).

 Если задана точка М (на ребре третьей пластинки), то, перемещая пластинки, их устанавливают так, чтобы четыре точки – A, Q, P и M – расположились на одной прямой (точки P и Q суть точки пересечения диагоналей с краями других пластинок). Тогда благодаря очевидному подобию маленьких треугольника внутри треугольника AFN получаются два средних пропорциональных между величинами AF и MK:

.

(МОДЕЛЬ ПРИЛАГАЕТСЯ)

В частности, если AF=2, а MK=1, то PH=3√2:

,

что, в свою очередь, позволяет решить задачу об удвоении куба.

Именно об этом способе решения знаменитой задачи писал Эратосфен царю Птолемею Эвергету:

«Нами придуман лёгкий способ решения при помощи инструментов; пользуясь им, для двух данных прямых мы можем найти только две, но и сколько угодно средних пропорциональных. После этого мы сможем вообще любой заданный ограниченный параллелограммами объём превращать в куб, одну форму преобразовывать в другую, делать подобной и увеличивать, сохраняя подобие, и жертвенники, и храмы. Также меры жидкостей и сыпучих тел… мы сможем превращать в куб и по стороне последнего измерять вместимость различных сосудов. Это изобретение будет полезно и для желающих увеличить размеры катапульт и камнемётов, так как для увеличения длины броска нужно пропорционально увеличить всё – и ширину, и втулки, и вставляемые тяжести, а этого нельзя сделать без нахождения средних пропорциональных».

Евтокий Аскалонский, комментатор сочинений Архимеда, в одном из них – «О шаре и цилиндре» поместил письмо Эратосфена как приложение. Так оно и дошло до нас. Видимо, хорошо зная, сколь недолговечны рукописи и эпистолы (письма) – он заведовал Александрийской библиотекой, - Эратосфен поместил мезолябий в храме как дар по обету, снабдив надписью – в ней изложены правила работы с прибором. И изобретение учёного уцелело для грядущих поколений.

Прародитель логарифмической линейки,  мезолябий так и не стал равноправным геометрическим инструментом наряду с линейкой и циркулем.

ПРИМЕР 4.

Искусство складывания из бумаги, или оригами, насчитывает уже несколько сотен лет. В последние десятилетия в данном виде искусства стали использоваться достижения математики. Подобные исследования занимаются вопросами различных геометрических построений и во многом похожи на соответствующий раздел математики — построения с помощью циркуля и линейки. Помимо этого, математика оригами решает вопрос о возможности плоского складывания, а также вопрос о возможности твердого складывания какой-либо модели. Данные работы, кроме чисто академического интереса для математиков имеют и практическую ценность как для оригамистов, так и для инженеров, впрочем, и построения с помощью циркуля и линейки в своё время представлялись древним египтянам и грекам полезными инструментами.

Петер Мессер предложил решение рассматриваемой задачи (Построить два отрезка с отношением длин ) с помощью оригами.

Выполним построение вместе с автором.

 Сначала проведём подготовительное построение:

Построим квадрат ABCD, разделённый на три равные части складками параллельными сторонe  AB.  Введём обозначения.: разделяющие отрезки через p и q, а правый конец p через X.

Теперь сложим лист так, чтобы точка B легла на сторону AD, a X легла на разделяющую складку q. При этом B′, образ B, разделит сторону AD в отношении 1 : .

( МОДЕЛЬ ПРИЛАГАЕТСЯ)

С практической точки зрения, приближенные построения представляют ничуть не меньший интерес, чем математически строгие. В большинстве реальных приложений, ошибки в расстояниях менее 0,5% стороны квадрата редко имеют значения. К тому же, важным критерием того или иного метода построения является его ранг — количество складок, необходимых для того, чтобы отложить заданную пропорцию. Желательно также по возможности оставить внутреннюю область квадрата не мятой, создав лишь небольшие метки по краям листа.

III. Заключение

Итак, я рассмотрела одну из трёх знаменитых задач древности. Все они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что задачу невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой.

Хотя удвоение куба оказалось неразрешимым с помощью только циркуля и линейки, его можно осуществить, если помимо циркуля и линейки использовать другие средства, например, мезолябий Эратосфена или конхоиду Никомеда, также удвоение куба можно осуществить построением с помощью плоского оригами.

Решение вышеизложенной задачи долго разыскивалось и безрезультатно лишь потому, что ставились условия применения только циркуля и линейки. Не поддаваясь решению, эта проблема привела к созданию новых, весьма замечательных направлений математической мысли.

 Сама постановка задачи – «доказать неразрешимость» - была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре.

Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решений любители математики – среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки. И даже до сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение какой-либо задачи с помощью циркуля и линейки.

В итоге, все старания решить задачу  при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При попытках решить эту задачу было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Попытка Колумба открыть новый путь в Индию, плывя всё на запад, окончилась, как известно, неудачей. И теперь мы знаем, что так необходимо и должно было случиться. Но гениальная попытка великого человека привела к «попутному» открытию целой новой части света, перед богатством и умственным развитием которого бледнеют ныне все сокровища Индии.

IV. Библиографический список.

1. Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
2. Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1982. 239с.
3. Энциклопедия для детей. М.: Аванта, 2000. Математика, том 11
4. Манин Ю. И. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки. Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая (геометрия), М.: Физматгиз, 1963.  568 с.
5.  Д. Я. Стройк. Краткий очерк истории математики, пер. с нем.,2 изд., М., 1969.
6. А. Петрунин. Плоское оригами и построения