"Векторы"

Слайд 1

Слайд 2

Вектор. Ве́ктор (от лат. vector , «несущий») — в простейшем случае математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой в евклидовом пространстве. Примеры : радиус-вектор, скорость, момент силы. Если в пространстве задана система координат, то вектор однозначно задаётся набором своих координат. Поэтому в математике, информатике и других науках упорядоченный набор чисел часто тоже называют вектором. В более общем смысле вектор в математике рассматривается как элемент некоторого векторного пространства.

Слайд 3

Обозначения. Вектор, представленный набором n элементов обозначают следующим способами: . Для того, чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху . Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс : . Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например : причём число при этом обычно пишут слева. Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака.

Слайд 4

История Векторов. Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831 ). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления. Гамильтон предложил сам термин вектор и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление . Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса, а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид.

Слайд 5

Векторы в геометрии. В геометрии под векторами понимают направленные отрезки. Эту интерпретацию часто используют в компьютерной графике, строя карты освещения, с помощью нормалей к поверхностям. Так же с помощью векторов можно находить площади различных фигур, например треугольников и параллелограммов, а так же объёмы тел: тетраэдра и параллелепипеда . Иногда с вектором отождествляют направление .

Слайд 6

Векторы в линейной алгебре. В линейной алгебре вектором называется элемент линейного пространства, что соответствует общему определению, приведённому ниже. Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой . Данным понятием вектора чаще всего пользуются при решении систем линейных алгебраических уравнений, а также при работе с линейными операторами . Часто это определение расширяют, определяя норм или скалярное произведение, после чего оперируют уже с нормированными и евклидовым пространствами, со скалярным произведением связывают понятие угла между векторами, а с нормой — понятие длины вектора. Многие математические объекты (например, матрицы, тензоры и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем конечный упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам векторного пространства, то есть являются с точки зрения алгебры векторами.

Слайд 7

Векторы в функциональном анализе. В функциональном анализе рассматриваются функциональные пространства — бесконечномерные линейные пространства. Их элементами могут являться функции. На основание такого представления функции выстроена теория рядов Фурье. Аналогично с линейной алгеброй часто вводят норму, скалярное произведение или метрику на пространстве функций. На понятии функции как элемента гильбертова пространства основываются некоторые методы решения дифференциальных уравнений, например метод конечных элементов.

Слайд 8

Физическа я интерпретация. Вектор, как структура имеющее одновременно величину (модуль) и направление, рассматривается в физике, как математическая модель силы, либо связанных с ней понятий. Также моделью физических полей (например, компоненты электромагнитного поля или поле скорости жидкости) являются векторные поля.

Слайд 9

Общее определение. Наиболее общее определение вектора даётся средствами общей алгебры. Пусть — некоторое поле с аддитивной операцией + , мультипликативной операцией * , аддитивной единицей 0 и мультипликативной единицей 1 . Пусть -некоторая абелева группа с единицей 0 . Если существует операция , такая что для любых и для любых выполняются соотношения : 1. 2. 3. 4. Тогда называется векторным пространством над полем , элементы V называются векторами, элементы F — скалярами , а указанная операция — умножением вектора на скаляр . Многие результаты линейной алгебры обобщены до унитарных модулей над некоммутативными телами и даже произвольных модулей над кольцами, таким образом, в наиболее общем случае, в некоторых контекстах, вектором может быть назван как любой элемент модуля над кольцом.