Каленюк Н.В.Проект -2

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеебразовательная школа №10

п.Каменский»

Красноармейский район Саратовская область

(исследовательский)

На 2 –ом районном фестивале проектов 2014 года

«Планета Знаний»

                                                или

Область научных знаний : математика

Автор: Сорокина Арина

8 класса

МБОУ СОШ №10

п.Каменский

Руководитель: Каленюк Наталья Васильевна

учитель математики

МБОУ СОШ №10

п.Каменский

п.Каменский   2014г.

Оглавление

1.  Введение…………………………………………………………...........3-4

2. Погружение в проект."Лента Мёбиуса", или путь без начала и конца..4

3Организация деятельности  ………………………………………………..5

4. Осуществление деятельности……………………………………… …6.-8

5. Презентация результатов…………..…………………………………   7-8.

6. Экспериментальные выводы…………………………………………  …9

7. Рефлексия проекта……………………………………………………….14

8. Литература………………………………………………………….…….15

Цель:  Изучить разнообразные свойства ленты Мёбиуса, найти, где они используются.

Предмет исследования: Лента Мёбиуса. Рисунок 1

Объект исследования: свойства ленты Мебиуса, использование ленты.

Задачи:

• изучить историю возникновения ленты Мебиуса;
• изучить её топологические свойства;
• провести разнообразные эксперименты с лентой Мебиуса;
• собрать и проанализировать информацию по данному вопросу;
• получить практические рекомендации применения ленты Мебиуса в жизни.

 Введение

            Я считаю эту тему очень увлекательной и содержательной, развивающей познавательный интерес к урокам математики. Очень надеюсь, что мой проект принесёт пользу и ученикам и учителям. Я планирую провести ряд экспериментов с лентой, изучая её свойства, а так же узнать, где применяются эти свойства. В наше время актуально изучение различных свойств предметов и их нестандартных применений.

          Уже сейчас лента Мёбиуса находит различное применение в быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты и т.д. Мною была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мёбиуса.  Для доказательства были использованы свойства развертывающихся поверхностей. Изучались свойства ленты на наглядных примерах.

      Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуется с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, все время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

        Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса. Рисунок 2

Более того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Также, по утверждению физиков, все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности, отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени. Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие давно, оно очень популярно и в наши дни:

• у математиков- идут дальнейшие исследования;
• у школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса;
• у учителей – есть ещё один способ заинтересовать учеников математикой;

в технике – открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса.

План проведения работы по проекту

1. Выбор темы проекта

2. Определить актуальность данной темы.

3. Определить, какие материалы понадобятся в процессе работы

4. Изучить теоретические вопросы по теме

5. Ознакомиться с биографией и трудами А.Мёбиуса

6. Выявить практическое применение ленты

7  Провести эксперименты, показывающие свойства ленты.

8. Сделать выводы по результатам работы.

3. Кто же он, автор столь загадочной ленты?

А. Мёбиус родился 17 ноября 1790 года на территории княжеской школы Шульпфорте, близ Наумбурга (Саксония-Анхальт). Его отец занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была потомком Мартина Лютера.

Отец умер, когда Августу было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу выказал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в колледже Шульпфорте, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. В этом выборе сказалось влияние преподававшего там известного астронома и математика Моллвейде.

В 1813-1814 годах Август Мёбиус жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции Карала Фридриха Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Халле, чтобы прослушать курс лекций математика Иоганна Пфаффа, учителя Гаусса. В результате Мёбиус получил глубокие знание по обеим наукам.

С 1816 года Август Мёбиус работал сначала астрономом-наблюдателем, затем директором в Плейсенбургской астрономической обсерватории (недалеко от Лейпцига). Деятельно участвовал в перестройке и оснащении обсерватории.В 1820 году Мёбиус женится. У него родились два сына и дочь. В 1848 году Мёбиус становится директором обсерватории.

Статья о знаменитой ленте Мёбиуса была опубликована посмертно. В честь учёного назван астероид 28516 (Mebius).

В 1858 году Август установил существование односторонних поверхностей и в связи с этим стал знаменит как изобретатель листа Мёбиуса (ленты Мёбиуса), простейшей неориентируемой двумерной поверхности с краем, допускающей вложение в трёхмерное Евклидово пространство. В профессиональной среде Мёбиус известен как автор большого количества первоклассных работ по геометрии, особенно проективной геометрии, анализу и теории чисел.

4. Эксперимент     Виды ленты Мёбиуса

1)Перекрутим на пол оборота один конец прямоугольной бумажной полоски и приклеим его к другому концу той же полоски. Эта модель и называется «Листом Мёбиуса»  Рисунок 3

2)Попробуем разрезать обычную цилиндрическую поверхность и лист Мёбиуса по средней линии.

«Нормальное» кольцо при этом распалось  на два куска, а лист Мёбиуса превратится в одно перекрученное кольцо, причём оно перекручено дважды и вдвое длиннее. Еще удивительнее то, что полученное кольцо уже двустороннее. Рисунок 4

3)Приготовим лист Мёбиуса из достаточно широкой полоски и разрезаем его так, чтобы линия разреза все время шла вдвое ближе к левому краю полоски, чем к правому (линия разреза обойдет лист Мёбиуса дважды).

Получаем два кольца: одно - лист Мёбиуса, другое – перекрученное на 360 градусов.

4)Вновь возьмём бумажную полоску; один ее конец перекрутим на полный оборот (на 360 градусов), приклеим к другому концу и разрежем получившуюся модель по средней линии.  Получаем два одинаковых, сцепленных кольца, каждое из которых повёрнуто на 360 градусов.

Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии

И у нас получается квадратная рамка.

5)Попробуем проделать в полосе щель и проденем сквозь неё один конец полосы. Склеим как на рисунке и разрежем.

И мы получаем два отдельных листа Мёбиуса.

6)Это кольцо склеено из перекрученной бумажной полоски, если её перекрутить на полтора оборота

Делаю выводы: лента обладает некоторыми свойствами:

А) Если попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента. Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты намотанные друг на друга

Б) Если  разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами.

В) Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них:

Например:

Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами .

    Ну а что, интересно, получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (то есть на 360 градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.

Однако свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой. А разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать эти кольца по очереди - и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.

Нетрудно догадаться, о чем вы сейчас задумались: а что получится, если ленту перекрутить на три оборота и склеить.

Что ж, любопытство ваше оправдано. И у вас есть отличная возможность удовлетворить его самостоятельно! Но при том неплохо было бы воспользоваться такими советами:

• . Взять не бумажную ленту, а полоску любой ткани.
• Продеть ее сквозь металлическое кольцо.
• Повернуть один из концов полоски на 3 оборота, т.е. на 540 градусов.
• Сшить оба конца.

Теперь можно взять ножницы и аккуратно разрезать матерчатое кольцо вдоль посередине.

Интересно, кстати, было бы узнать, что у вас получится в результате этого эксперимента?

Можно, конечно, провести еще немало опытов с перекручиванием ленты на четыре оборота, на пять, на шесть и с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, и на расстоянии в 1/3 ширины от края, и в 1/4... Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффектным результатам. Недаром говорится: "просто, как все гениальное". Видимо, верно и обратное утверждение: "гениально, как все простое".

1. Какой формы бумажную полоску следует взять, чтобы склеить ленту Мёбиуса?

Ожидаемый ответ: полоска должна быть узкой и длинной, с возможно бóльшим отношением длины к ширине. Скажем, из квадратного листа ленты Мёбиуса не сделаешь.

Это верно, но с одной оговоркой, которую легко недооценить: ограничения на размер имеют значение лишь в том случае, когда бумагу запрещается  мять. Если же мять бумагу не запрещается, то ленту Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров» – склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее несклеиваемых.

Сделать это можно так. Сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его  чётное  число раз. Рисунок 5    Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим ленту Мёбиуса, вставляя соответствующие части гармошки друг в друга. Из рисунка   видно, что лист бумаги, из которого склеена лента Мёбиуса, оказался смятым.      Предположим теперь, что бумажную полоску можно  изгибать, но не мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из неё ленту Мёбиуса. Таким образом, существует такое число λ, что из полоски длины больше λ ленту Мёбиуса склеить можно, а из полоски длины меньше λ – нельзя  . Очень хотелось бы найти это λ.

 Удивительно, но решение этой задачи до сих пор не известно.

2. Несмятый лист бумаги – «развёртывающаяся поверхность»

Раз требование не мять бумагу так важно, посмотрим, каков его математический смысл.

Легко понять, что запрещение мять бумагу значительно ограничивает возможность манипулировать бумажным листом. Например, лист бумаги, не помяв, можно свернуть в трубку или сложить  без складки  пополам, но нельзя сложить вчетверо . Из листа бумаги, не смяв его, можно сделать конус («фунтик»), но нельзя сделать сферу или даже её кусочек : прижмите лист бумаги к глобусу, и обязательно появятся складки. Как видно, листу бумаги можно придать далеко не всякую форму.

Поверхности, которые можно сделать из листа бумаги, изгибая, но не сминая его, математики называют развёртывающимися. (Примеры развёртывающихся поверхностей показаны на рисунке. Конечно, в математике развёртывающиеся поверхности определяются не так: в математическом языке отсутствуют слова «бумага», «сминать», «сделать». Существует целая теория развёртывающихся поверхностей, среди достижений которой – удовлетворительный ответ на вопрос, какими они могут быть; математики называют это «классификацией» (ответ принадлежит Леонарду Эйлеру). Я не собираюсь здесь излагать общую теорию развёртывающихся поверхностей: всякая общая теория скучновата. Я приведу только некоторые свойства развёртывающихся поверхностей, нужные для дальнейшего. Наше наглядное определение не позволяет их доказать, так что придётся рассматривать эти свойства как экспериментальные факты (возьмите лист бумаги и убедитесь в их справедливости).

Через каждую точку A развёртывающейся поверхности, не лежащую на её границе, проходит лежащий на поверхности отрезок, не кончающийся в A.

Иначе говоря, в каждой точке к развёртывающейся поверхности (изогнутому, но не смятому листу бумаги) можно приложить спицу так, чтобы она прилегала к поверхности на некотором протяжении по обе стороны от взятой точки. Такой отрезок называется образующей поверхности (условимся, что это название относится только к отрезкам максимальной длины, целиком лежащим на поверхности, то есть, к отрезкам, не содержащимся в бóльших отрезках с этим свойством).

Если через точку A, не лежащую на границе поверхности, проходят две различные образующие, причём A не является концом ни одной из них, то достаточно маленький кусок поверхности, окружающий A, является плоским. В таком случае точку A мы будем называть плоской.

Если точка A, не лежащая на границе поверхности, является концом какой-нибудь образующей, скажем, a, то окрестность точки A устроена так. Через точку A проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, скажем, b . Эта образующая разделяет поверхность на две части. С той стороны от образующей b, с которой находится образующая a, к образующей b прилегает плоский кусок, с другой стороны от b, сколь угодно близко от точки A, имеются не плоские точки. Точку A в этой ситуации мы будем называть полуплоской.

Подчеркну, что если точка поверхности не является ни граничной, ни плоской, то через неё проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, причём концы этой образующей лежат на границе поверхности.

Примеры. Лист бумаги, свёрнутый в трубочку или в фунтик, плоских (и полуплоских) точек не имеет. У трубочки образующие составляют семейство параллельных отрезков, у фунтика – семейство отрезков, веером расходящихся из одной точки. Возможны более сложные расположения образующих.

Пусть лента Мёбиуса сделана из бумажной полоски длины l. Намотаем на неё длинную бумажную ленту. Эта лента (толщиной бумаги пренебрегаем) будет составлена из прямоугольников одинаковой длины, каждый из которых принимает форму нашей ленты Мёбиуса. Отметим на длинной ленте прямолинейные образующие и плоские точки. Картина периодична: всё повторяется с периодом, равным 2l. Можно сказать больше: при сдвиге влево или вправо на l картинка меняется, но строго определённым образом; именно, она переворачивается (т.е. зеркально отражается в средней линии полоски). Области плоских точек представляют собой четырёхугольники (которые могут выродиться в треугольники), ограниченные двумя отрезками противоположных краёв ленты и двумя отрезками, проходящими по ленте. Части ленты, не попавшие в эти области, вымощены образующими, концы которых лежат на краях ленты. Плоские участки также можно вымостить образующими, так что вся лента будет покрыта непрерывным семейством образующих. Образующие в одинаковых четырёхугольниках можно выбирать одинаковым образом, так что описанная выше периодичность сохранится. ( Рисунок6) 

        При этом построении было нарушено главное правило – не мять бумагу. Но легко понять, что если длина полоски хоть немного больше √3, то  излом  по образующей можно заменить  изгибанием, производимым на узком участке. Короче говоря, излом вдоль прямолинейного отрезка нам не страшен: его можно заменить близким к нему изгибанием. (Непоправимое сминание бумаги происходит, когда две линии перегиба пересекаются, т.е. когда лист складывается наподобие носового платка – всё это известно нам из повседневного опыта.) Рисунок 7

Как выглядит получившаяся лента Мёбиуса, показано на рисунке . Её устройство можно представить себе так: три одинаковых правильных треугольника ABC, A'B'C', A"B"C" лежат параллельно друг другу, соответствующие вершины над соответствующими вершинами; стороны AB и A'B', B'C' и B"C", C"A" и CA соединены перемычками. Линия склейки проходит по медиане одного из треугольников.

Теорема 2. Ленту Мёбиуса с самопересечениями можно склеить из полоски любой длины, большей π/2.

Делается это так. Возьмём достаточно большое нечётное n и построим правильный n-угольник, вписанный в окружность диаметра 1. Рассмотрим, далее, n содержащих центр окружности треугольников, каждый из которых ограничен стороной и двумя диагоналями n-угольника (рис. 16; здесь n=7). Эти треугольники покрывают наш n-угольник, некоторые его места – по нескольку раз. Приложим теперь эти n треугольников друг к другу так, как показано на рисунке, после чего отрежем по длинной медиане половину самого левого треугольника и приложим её к самому правому треугольнику . Получится прямоугольная полоска с отношением длины к ширине, бóльшим π/2 и стремящимся к π/2 при n, стремящимся к ∞ (ширина полоски стремится к 1, а длина – к π/2). Рисунок8

Если последовательно перегнуть эту полоску по всем проведённым на ней линиям, чередуя направления сгиба , то треугольники расположатся как на рисунке 16 (возьмите ещё раз ножницы и бумагу и проделайте это). Отрезки AB и CD при этом почти совместятся – между ними окажется только несколько слоёв сложенной бумаги. При этом «почти совмещении» точка A совместится с D, а точка B – с C, так что если бы мы смогли «пропустить ленту сквозь себя» и склеить |AB| с |CD|, то получилась бы лента Мёбиуса. Если ленту взять чуть более длинной, можно избежать складок, подобно тому как мы это сделали в доказательстве теоремы 2. Что получится, я попробовала изобразить на Рисунок 9.

Но вернёмся к ленте Мёбиуса. Теорема 1, как мы видели, в действительности относится к самопересекающимся лентам. Маловероятно, чтобы условие отсутствия самопересечений не воздействовало на λ; однако учесть это воздействие не удаётся, поскольку математика не обладает достаточными техническими средствами для изучения самопересечений в трёхмерном пространстве. Напротив, вполне вероятно, что теорема 2  неулучшаема. Ведь улучшить её – значит придумать новую  конструкцию  ленты. Опыт показывает, что оптимальные конструкции бывают простыми и гармоничными, каковой и является конструкция из доказательства теоремы 2. Естественно предположить, что если бы лучшая конструкция существовала, она была бы найдена – за столько лет!

Лента Мёбиуса как топологический объект

         Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные так, чтобы направления стрелок совпали.       Рисунок 10

В своей жизни мы очень часто встречаем ленту Мёбиуса. Вот несколько примеров:

Скульптор Макс Билл .Скульптура «Узел без конца», находится в Национальном музее современного искусства в Париже.

Лента Мёбиуса в жизни.

         В своей жизни мы очень часто встречаем ленту Мёбиуса. Вот несколько примеров:

Скульптор Макс Билл .Скульптура   «Узел без конца»,находится в Национальном музее сонного искусства в Париже.

Александр Эткало. Парадокс и совершенство.Бронза,

Лента Мёбиуса в ювелирном исскустве

И действительно: простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств  и изучает специальный раздел математики - ТОПОЛОГИЯ.

Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах (и то не во всех!). Но кто знает, вдруг кто то из нас  станет со временем знаменитым топологом и совершит не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут нашими именами..

Применение ленты Мебиуса

Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в науке, технике и изучении свойств Вселенной.Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе  является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия.

Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение или аннигиляция, как подтверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени. В ритмологическом ключе знак ленты Мёбиуса приобретает иное наполнение. Мы знаем, что есть ритмы, благодаря которым мы развиваем своё энергетическое, сердечное начало, и есть ритмы, обеспечивающие раскрытие нашего мозга, наших информационных возможностей. Чтобы эти противоположные начала развивались в нас равновелико и гармонично, между «энерго» - ритмами и «информо» - ритмами разместились ритмы Мёбиусного вихря. Благодаря им, мы имеем возможность непрерывно и бесконечно перемещаться от сердца к мозгу, от информации к энергии, сохраняя при этом баланс между планетарной и человеческой сторонами жизни. Ритмы Мёбиусного вихря позволяют нам совершать своеобразный «обмен» энергии на информацию и наоборот.

1. Имеются и материальные воплощения простого листа Мёбиуса. Недавно построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса. Невероятный проект  библиотеки  в  городе Астана (Казахстан)  имеет вид ленты  Мебиуса..
2. А в 2003 году японские учёные смогли получить в лабораторных условиях односторонние кристаллы в форме мёбиусной ленты.
3. Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты  изнашивается равномерно.
4. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).
5. Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.
6. Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.
7. Благодаря ленте Мебиуса появился "Механизм управления", на который получено Авторское свидетельство №1453110 (Приоритет 26.07.1985, автор Смирнов В.Б.). Механизм управления можно применить в детских заводных игрушках,  в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, в щелевом затворе фото- или кинокамеры.
8. Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, т.к. находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.
9. Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятна, замкнута в  ленту Мебиуса. Согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства.
10. Международный символ переработкипредставляет собой Лист Мёбиуса.

       Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса. Рисунок 11       

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

Рефлексия

             Чудесные свойства листа Мебиуса привели к новым открытиям и изобретениям(очень полезным и совершенно бесполезным). Лист Мебиуса служил вдохновением для скульпторов, художников и графиков. Многие физические явления используют для объяснения лист Мебиуса. Ученые генетики рассматривают код ДНК в качестве модели ленты Мебиуса. Лист Мебиуса применяется для усовершенствования технических приборов. Загадочная лента Мебиуса применяется для показа фокусов в цирке

              В результате выполнения этого проекта я узнала много нового об известном учёном Мёбиусе и о его  изобретениях. Лист Мёбиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по – прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников.

А так же я узнала, что

• лента Мёбиуса  обладает удивительными свойствами;
• лента Мёбиуса (лист Мебиуса) используется в жизни, технике и искусстве;
• она волнует литераторов и художников;

зная свойства ленты Мёбиуса, можно придумать различные фокусы и развлечения и изготовить полезные и нужные вещи. 

Тема моей работы далеко не исчерпана, учёные продолжают изучать её свойства и разновидности. Я продолжу изучение этой темы в будущем.

      А закончить свою работу я хочу стихами посвященными этому уникальному объекту!

Она магнитофонной ленты удлиняет срок,

Пружину делает рабочей впрок,

И ремень передач, штурвал и принтер

Используют её всеядный принцип.

Однако если в путь по ленте устремиться,

То впору будет тут и заблудиться,

Поскольку в перемычке ленты той

Уж вовсе нет материи живой.

Вот так и смерть враз настигает нас.

Когда судьбы окончится рассказ,

Она по ленте Мёбиуса ускользает

И нас с собой в дорогу забирает.

Бермудский треугольник тоже лента объясняет

Куда же корабли там прытко исчезают.

Попав в портал меж разными мирами,

Они, увы, навеки расстаются с нами.

А астронавты, что по ленте той кочуют

И в космосе незваные ночуют,

Домой вернутся уж в обличии ином –

Зеркальном отражении своём.

Лентой Мёбиуса закручен путь

в какую сторону не иди…

Обязательно увидишь еще того,

кого однажды встретил на пути…

Если нужно кого-то догнать,

не трать сил, времени на ускорение…

Лучше просто подождать или

двинуться в обратном направлении

Список использованной литературы:

1. Журнал. Математика в школе № 3 / 2007 г. Лист Мёбиуса. С.31. Н.Никифорова, А.Устинов.

2. Математика. 9-11 классы: Проектная деятельность учащихся / авт.-сост. М.В.Величко. – Волгоград: Учитель, 2007.

3. Квант: научно-популярный журнал.-1975,№ 7; 1977, №7

4. INTEL. Обучение для будущего: при поддержке Microsoft.2003 Intel Corporation.

5. file: // D \ материалы%20 из%20интернета\ Лист%20Мёбиуса%20 - %20Википедия.

6. Материал из свободной энциклопедии %20Википедия: «Бутылка Клейна»; «Искусство и технология»; «Открытые проблемы»; «Подобные объекты»; «Геометрия и топология».

Информационные ресурсы:

http://ru.wikipedia.org/wiki/;                                                http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00046/48100.htm; mjobius.htm

http://oriart.ru/publ/3-1-0-11

http://www.calend.ru/person/2637/

http://taina.aib.ru/biography/avgust-

: http://www.kakprosto.ru/kak-27398-kak-sdelat-lentu-myobiusa#ixzz2yhR1eOmN