Математика и литература: что общего?

Муниципальное общеобразовательное учреждение                                       «Основная общеобразовательная школа с. Арбузовка»

Номинация: связь математики с другими школьными предметами «Математика и литература»

                                                         Автор: Малахова Ольга

                                                         ученица 8 класса

                                                         Руководитель: Ивлиева Марина Васильевна

                                                         учитель математики

2014 г.

Оглавление

Введение                                                                                                                               3

Глава 1. Поэты и математика.                                                                                

1.1 А.С. Пушкин – математический гений.                                                         5                                                                                              

1.2 М.Ю. Лермонтов и математика.                                                                     7                                                    

Глава 2. Математические задачи в литературных произведениях.

2.1 Арифметическая задача из рассказа Чехова «Репетитор»                           9

2.2 И.С. Тургенев «Муму»                                                                                    9

2.3 Н.А Некрасов «Дедушка Мазай и зайцы»                                                   10

2.4 Задача от Григория Остра «38 попугаев»                                                    10

2.5 Рассказы, которые по своей сути являются задачами с решениями         10

Глава 3. Математика в стихах.                                                                            13

Заключение                                                                                                           16

Литература                                                                                                            17

Введение

Предмет «математика» настолько серьезен,

что полезно не упускать возможности

сделать его более занимательным.

Блез Паскаль

"Уж сколько раз твердили миру"... о межпредметных связях на уроках математики. Да, в школьном курсе математики явно прослеживается связь с химией (задачи на процентное содержание растворов и сплавов), физикой (применение производной в задачах на движение), немного - географией и другими предметами естественного цикла. А как быть с гуманитарными науками?
        Многим может показаться странным такое сочетание - математика и литература. Но ещё в прошлом веке выдающийся математик и писатель Софья Ковалевская на вопрос, как она совмещает две профессии, ответила: "Я понимаю, что вас удивляет, что я могу одновременно заниматься литературой и математикой. Многие, которым не представляется случай более узнать математику, смешивают её с арифметикой и считают её наукой сухой и бесплодной. В сущности, это наука, требующая фантазии, и один из первых математиков нашего столетия говорил совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в тоже время поэтом в душе. Только, разумеется, чтобы понять верность этого определения надо отказаться от старого предрассудка, что поэт должен что-то сочинять несуществующее, что фантазия и вымысел одно и тоже. Мне кажется, что поэт должен видеть, что не видят другие, видеть "глубже" других. И это же должен математик". Эти слова подтверждение того, что многие поэты и писатели любили математику.

Объектом исследования данной работы являются литературные фрагменты произведений, стихотворений, которые можно просчитать, доказать или опровергнуть, используя знания, полученные на уроках математики.

Актуальность выбранной темы - увидеть за словом число, за сюжетом - формулу и доказать, что художественная литература существует не только для литераторов, как и математика не только для математиков.

Цель исследования: поиск математических задач в художественной литературе.

Задачи исследования:

• Установить связь между математикой и литературой;
• Изучение научно-популярной, занимательной литературы;
• Подбор художественной литературы для исследования;
• Решение задач и оценка полученных результатов.

Моя исследовательская работа подтверждает знаменитую истину, что математика не признаёт упрощенного подхода, основанного на фантазии и неправдоподобности, и является «царицей всех наук».
В своём исследовании я хочу подтвердить предположение о том, что многие поэты и писатели всё-таки являются математиками в душе и многим математикам свойственны поэтические таланты.

Глава 1 Поэты и математика.

1.1 Пушкин - математический гений?

О сколько нам открытий чудных

                                                               Готовят просвещенья дух:
                                                                      И Опыт, сын ошибок трудных,
                                                               И Гений, парадоксов друг,
                                                                  И Случай, бог изобретатель.

Эти известные строки являются эпилогом к передаче «Очевидное и невероятное» созданной в до компьютерную эпоху известным учёным Сергеем Петровичем Капицей. И вроде непонятно, причём тут наука и Великий русский поэт?
Ведь Пушкину математика давалась с большим трудом, хотя и жил он в период великих изобретений и открытий. Прорывы в области науки и техники поражали воображение передовых мыслителей того времени — гуманитариев, политиков или естествоиспытателей. Это в полной мере относится и к великому русскому поэту, который, улавливая сходство всех направлений творческой деятельности человека, писал, что вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии.

В тоже время лицейский друг Пушкина И. И. Пущин   вспоминал впоследствии, что: все профессора смотрели с благоговением на растущий талант Пушкина. В математическом классе вызвал его раз Карцов к доске и задал алгебраическую задачу. Пушкин долго переминался с ноги на ногу и все писал молча какие-то формулы. Карцов спросил его, наконец: «Что ж вышло? Чему равняется икс?» Пушкин, улыбаясь, ответил: нулю! «Хорошо! У вас, Пушкин, в моем классе все кончается нулем. Садитесь на свое место и пишите стихи.

Возможно, дополнительной причиной повышенного интереса к теории вероятностей являлась страсть Пушкина к картам, которые являлись одной из причин зарождения и развития этой теории. Одним из создателей основ теории вероятностей является великий французский математик и философ Блез Паскаль (1601–1665). До нас дошло следующее изречение Пушкина: «Всё, что превышает геометрию, превышает нас, — сказал Паскаль. И вследствие того написал свои философические мысли!». 
Некоторые герои произведений Пушкина решают проблемы точных наук того времени. В романе «Евгений Онегин» (1823 — 1831) главный герой увлекается чтением популярных работ  Б.Фонтеля, в которых пропагандируются идеи Н. Коперника о гелиоцентрической системе мира. В «Пиковой даме» (1833) автор, анализируя внутренний мир молодого инженера Германа, высказывает мысли, близкие и понятные любому представителю физической науки: «Две неподвижные идеи не могут вместе существовать в нравственной природе так же, как два тела не могут в физическом мире занимать одно и то же место»! В «Сценах из рыцарских времён» (1835) Бертольд питает надежды изобретения вечного двигателя и мечтает об успехах в области алхимии — модных направлений того времени, но антинаучных и потому обречённых на неудачу. 
    Важно, что неподдельный интерес великого поэта к «наукам естественным» оказывал благотворное влияние на братьев по перу. Так, известный поэт Б. Брюсов писал: «Когда я узнаю, что Пушкин изучал Араго, Даламбера, теорию вероятностей, Гизо, историю средних веков, — мне не обидно, что я потратил годы на приобретение знаний, которыми не воспользовался». Нет сомнения в том, что, наряду с пригодившимися в практической жизни знаниями, знания, явно не востребованные, сыграли значительную роль в расширении общей образованности, эрудиции, кругозора и в формировании мировоззрения самого Александра Сергеевича. Не случайно, после одной из бесед с поэтом Николай I отметил: «Я говорил сейчас с умнейшим человеком России».

И всматриваясь в математически строгие и точные композиции крупнейших пушкинских произведений («Борис Годунов», «Евгений Онегин» и др.), опять вспоминаешь всю не случайность пушкинского утверждения, что «вдохновение нужно в поэзии, как и геометрии».

1.2   М.Ю. Лермонтов и математика.

Редко кто из русских поэтов был хорошо знаком с точными науками. "Проверить алгеброй гармонию" было дано далеко не всем жителям Парнаса. Среди немногих - Михаил Юрьевич Лермонтов. Для него математика была не только наукой, которую "проходят" в военных учебных заведениях. Поэт много занимался ею для себя, хотя доподлинно трудно сказать, в какой степени ему удалось "проверить алгеброй гармонию". 

Сохранившиеся воспоминания современников Лермонтова, достаточно малочисленные и редко правдивые, донесли до нашего времени факты, которые подтверждают, что юный поэт владел математикой значительно лучше большинства своих знакомых. Не случайно среди немногих книг, бывших его постоянными спутниками, был и учебник математики.

Известно, что многие выдающиеся научные открытия совершаются во сне. Так, Д.И. Менделеев увидел свою знаменитую периодическую таблицу в объятиях Морфея. Однажды Лермонтов приехал в Москву и остановился у Лопухина. Накануне он никак не мог решить одну сложную математическую задачу. Решение ее пришло во сне. Более того, во сне решил ее не сам Лермонтов, а приснившийся ему выдающийся шотландский математик Джон Непир, умерший за 197 лет до рождения поэта. После пробуждения Лермонтов, бывший прекрасным художником, писал изображение пришельца из далекого прошлого. Потом выяснилось, что это портрет математической знаменитости.

Лермонтов страдал определенным комплексом неполноценности. В частности, его весьма угнетала собственная незначительная наружность и небольшой рост при весьма хрупком телосложении. Для преодоления этой проблемы, находясь в московском высшем свете, он старался обратить на себя внимание всеми возможными способами. Пользовался поэт и математикой, точнее тем, что принято называть "математической смекалкой".

Вот что рассказывает один из современников поэта, хотя воспоминания эти относятся далеко не к высшему московскому обществу.

"В начале 1841 г. Тенгинский полк стоял в Анапе. Скучающие офицеры, в том числе и Лермонтов, собирались друг у друга. Раз речь зашла о каком-то человеке, который мог в уме решать самые сложные математические задачи.

 - Что вы скажете на это, Лермонтов? - обратился к нему один из офицеров, старик с Георгием (Георгиевским крестом). - Говорят, что вы тоже хороший математик? - Ничего тут удивительного нет, - отвечал поэт. - Я тоже могу представить вам, если хотите, весьма замечательный опыт математических вычислений. - Сделайте одолжение. - Задумайте, какое угодно число. - Ну, хорошо, задумал, - рассмеялся старик, очевидно, сомневавшийся. - Но как велико должно быть задуманное число? - А это безразлично. Но на первый раз, для скорости вычисления, ограничьтесь числом из двух цифр. - Хорошо, я задумал, - сказал офицер, подмигнув стоявшим вокруг него, и сообщил задуманное им число сидевшей рядом даме. - Благоволите прибавить к нему, - начал Лермонтов, - еще 25 и считайте мысленно или посредством записи. Старик попросил карандаш и стал записывать на бумажке. - Теперь не угодно ли прибавить еще 125. Старик прибавил. - Засим вычтите 37. Старик вычел. - Еще вычтите то число, которое вы задумали сначала. Старик вычел. – Теперь остаток умножите на пять. Старик умножил. – Засим полученное число разделите на 2. Старик разделил. – Теперь посмотрим, что у вас должно получиться... Кажется, если не ошибаюсь, число 282,5? Офицер даже привскочил – так поразил его ответ. – Да совершенно верно: 282,5. Я задумал число 50. - И он снова проверил вычисление. - Действительно, получается 282,5. – Фу, да вы, не колдун ли? – Колдун не колдун, а математике учился, - улыбнулся Лермонтов. – Но позвольте... - старик, видимо, сомневался; не подсмотрел ли Лермонтов его цифры, когда он проводил вычисления. - Нельзя ли повторить?

Старик записал задуманное число, никому не показав, положил под подсвечник и стал вычислять в уме даваемые поэтом числа. И на этот раз остаток был угадан.

Все заинтересовались. Старик только развел руками. Хозяйка дома попросила повторить еще раз опыт, и еще раз опыт удался.

По крепости пошел разговор. Где бы поэт ни показался, к нему стали обращаться с просьбами, угадать вычисленное число. Несколько раз он исполнял эти просьбы, но, наконец, ему надоело, и он через несколько дней, тоже на одном из вечеров, открыл секрет, заключавшийся в том, что задуманное число, какое бы оно ни было, заставляют вычесть из суммы того же числа и некоторых других подсказанных чисел, так что диктующему легко подсчитать результат.

((y + 100 + 206 + 310 - 500 - y): 2) х 3 = 174".

Воспоминания цитируются по статье И. Депмана "Математические увлечения поэта".

К сожалению, иные математические труды поэта, в частности, касающиеся повторяемости исторических периодов, и сделанные на этой основе пророчества все еще остаются вне поля зрения историков литературы и России. Что же касается мистики цифр и судеб России, то привязка к Лермонтову есть: в 1914 г. – столетняя годовщина рождения поэта – началась Первая мировая война; к 90-летию – русско-японская, а в год столетия смерти – 1941-й – Великая Отечественная.

Глава 2 Математические задачи в литературных произведениях

2.1 Арифметическая задача из рассказа Чехова «Репетитор»

Вспомним знаменитую задачу, которая так смутила семиклассника Егора Зиборова  из чеховского рассказа «Репетитор».

«Купец купил 138аршин чёрного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля?»

Решение:

Рассмотрим решение задачи алгебраическом способом. Составим два уравнения с двумя неизвестными, получим следующую систему уравнений:

х + у = 138,

5х +3у = 540,

Где х - число аршин синего, а у - черного сукна.

у =138 - х, у = 138 - х, у = 138 - х, х = 63,

5х+3(138-х)=540; 5х+414-3х=540;2х=126; у=138-63;

х = 63,

у = 75

Следовательно, число аршин синего сукна- 63, черного -75.

2.2 И.С. Тургенев «Муму»

«…Из числа всей ее челяди самым замечательным лицом был дворник Герасим, мужчина двенадцати вершков роста, сложенный богатырем и глухонемой от рождения».

Решение: Зная соотношения между старорусскими мерами длины и современными вычислим рост Герасима: 12* 4,5 см = 54 см. Рост младенца в среднем составляет 51-53 см. Какой же Герасим тогда  богатырь? Но раньше указывали лишь число вершков, на которое он превышал два аршина. Проведем повторное вычисление:

1) 2 * 72 см  = 144см (2 аршина)

2) 144  + 54 = 198см (2 аршина и 12 вершков).

Ответ: рост Герасима был 1м 98см -  высокий человек.

2.3 Н.А Некрасов «Дедушка Мазай  и зайцы»

« Вижу один островок небольшой -

Зайцы на нем собрались гурьбой.

С каждой минутой вода подбиралась

К бедным зверькам; уж под ними осталось

Меньше аршина земли в ширину,

Меньше сажени в длину».

Каковы же размеры островка в современных единицах длины и площади?   S= а*в, а = 1аршин=72см,  в=1 сажень =216см.                                                  

S= 0,72 *2,16 = 1,5552 м2.  

Ответ: островок небольшой.

2.4 Задача от Григория Остра «38 попугаев»

История о том, как главные герои измеряли рост удава. Оказывается, что он составляет 38 попугаев, 5 мартышек или 2 слоненка. «А в попугаях – то я гораздо длиннее», - заключил удав.  Ну как  тут не усомниться в правильности его вывода? Если рост удава постоянен, то почему попугай, мартышка и слоненок получили разные результаты? И, кстати, прав ли был попугай, когда на вопрос мартышки: «А чем еще можно измерять рост?» ответил: «Всем!»?

Конечно, удав ошибся. Его длина постоянно выражается разными числами потому, что определяется с помощью трех различных единиц измерения. А вот попугай прав, по сути. Можно выбрать и другие единицы измерения длины.   А так ли это на самом деле? На самом деле, средний рост попугая = 22см, мартышки = 77см, слона = 335см, удава = 10м.

Выполнив несложные вычисления, получим, что в жизни длина 1 удава = 45 попугаям (1000: 22=45) = 13 мартышкам (1000: 77= 13) = 3 слонам (1000: 335 = 3) . 

2.5 Рассказы, которые по своей сути являются задачами с решениями.

Например, рассказ Эдгарда По «Три воскресенья на одной неделе»: Мистер Ремгеджер пообещал племяннику дать согласие на его женитьбу со своей внучкой, когда на одной недели будет три воскресенья.

«Расскажу вкратце, как это произошло. Судьбе угодно было, чтобы среди знакомых моей невесты были два моряка, недавно возвратившиеся в Англию после кругосветного плавания. Недели через три после памятного разговора, в воскресенье после обеда, я вместе с этими моряками зашел к дяде в гости. Около получаса мы говорили о разных безразличных вещах, пока разговор наш не принял такое направление:

- Целый год я пробыл в плавании. Ей – Богу, сегодня как раз годовщина моего отъезда. Помните, м – р Ремгеджер, как я пришел  к вам прощаться ровнехонько год тому назад? И  замечательно, что тут же сидит наш приятель Смирсертон, который тоже ведь проплавал целый год, сказал капитан Прат.

- Да, год без малого. Помните. Ремгеджер, как я зашёл к вам проститься? - проговорил капитан Смисертон.

- Ещё бы! В самом деле, поразительно – оба вы пропадали ровно год. Замечательное совпадение, ответил дядя.

- Тем более что капитан Прат и капитан Смисертон ехали разными путями: первый обогнул мыс Доброй Надежды. А второй – мыс Горн, - добавила Кэт.

- Вот именно. Один держал путь на восток, другой – на запад, и оба они ехали кругом земного шара, - сказал дядя.

- Не зайдете ли, господа, завтра посидеть с нами вечерок? Поговорили бы о ваших странствованиях, сыграли бы в вист и ….. – сказал я.

- В вист? Вы, верно, забыли, что завтра воскресенье. В другой день я готов, - ответил капитан Прат.

- Да что вы? Роберт не такой уж грешник. Ведь воскресенье – то сегодня, - проговорила Кэт.

- О чём тут спорить господа. Да ведь вчера же было воскресенье! – воскликнул капитан Смисертон.

- Воскресенье сегодня. Не понимаю, как можно этого не знать! – сказал дядя.

- Ну, дедушка, вы попались! Мы все правы, и вот вам три воскресенья на одной неделе! – произнесла Кэт.

- Кэт рассудила правильно. Дело, видите ли, вот в чем, м-р Ремгеджер. Земля имеет в окружности, как вы знаете 24 тысячи миль, и обращается вокруг оси с запада на восток, делая полный оборот в 24 часа. На один час приходится, следовательно, тысяча миль. Теперь вообразите, что я оплываю тысячу миль к востоку от сюда. Легко понять, что я должен буду увидеть восход солнца ровно на час раньше. Нежели вы здесь, в Лондоне. Если я в том же направлении проеду еще тысячу миль, то увижу солнце на два часа раньше вас; еще через тысячу миль – на три часа и т.д., пока не объеду кругом всего земного шара и снова не вернусь сюда. И здесь, проехав 24 тысячи миль, я увижу восход солнца на целые сутки раньше, нежели вы. Другое дело капитан Прат: проехав тысячу миль к западу, он увидел восход солнца часом позднее вас; а проехав все 24 тысячи миль, отстал от Лондона в счете времени на целые сутки. И вот почему для меня воскресенье было вчера, для вас – сегодня, а для м-ра Прата – будет завтра. Очевидно, мы все правы, и нет оснований считать, что кто – нибудь из вас более прав, нежели другие, - объяснил м-р Смисертон.

- И то, правда! Ну, Кэт и Бобби, торжествуйте, я попался. Но я никогда не изменяю своему слову. И если три воскресенья случились на одной недели, то знай, мальчуган, что можешь получить приданное и всё прочее, когда хочешь. Дело в шляпе, черт побери! – сказал дядя».

Выходит, стало быть, что на одной недели возможны три воскресенья  кряду.  На самом же деле моряки провели упрямого дядю, который, вероятно, не слишком селен был в астрономии. Объяснения капитана Смисертона совершенно правильны, но он умолчал об одном важном обстоятельстве: о поправке календаря при пересечении демаркационной линии. Пересекая её на своих судах во время плавания, капитан Прат должен  был один день считать дважды, а капитан Смисертон – один день пропустить; вследствие этого восстановилось бы  единство время исчисления.

Так что более одного воскресенья на одной недели быть не может.    

Глава 3  Математика в стихах.

Древние задачи

Сильное впечатление производит использование оригинальных формулировок задач, теорем, доказательств, известных из истории. Античные ученые часто составляли задачи в стихотворной форме. Вот пример – древнеиндийская задача  (математика Сриддхары XI в.):

«Есть кадамба цветок,

на один лепесток

пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла

Вся в цвету сименгда

И на ней третья часть поместилась.

Разность ты их найди,

Её трижды сложи

И тех пчел на Кутай посади.

Лишь одна не нашла

Себе места нигде

Все летала то взад, то вперед и везде

Ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне,

Подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось» 

Пусть всего собралось Х пчелок, тогда имеем уравнение:

+()3+1 = Х

Решив это уравнение, получим ответ: 15 пчел.

Известный ученый Диофант жил в III веке, остальные известные факты его биографии исчерпываются таким стихотворением – загадкой, по преданию выгравированным на его надгробии:

«Путник! Здесь прах погребен Диофанта,

И числа поведать могут, о чудо, сколь долг был век его жизни.

Часть шестую его представляло счастливое детство.

Двенадцатая часть протекла еще жизни –

Пухом покрылся тогда подбородок.                                                                                        

Седьмую в бездетном браке провел Диофант.

Прошло пятилетье.        

Он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына,

Коему рок половину лишь жизни счастливой и светлой

Дал на земле по сравненью с отцом.

И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,

Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.

Скажи, скольких лет жизни достигнув,

Смерть воспринял Диофант?»

Обозначим число лет жизни  Диофанта за х.  Составим и решим уравнение:

5+4  = Х

Оказывается, в 84 года. Но замечательным ученым Диофанта назвали не за умение решать такие уравнения. В его труде «Арифметика» есть уравнения первой степени с одним неизвестным, но главное в этой книге – решение так называемых неопределенных уравнений.  

Есть древняя задача про лотос на теорему Пифагора. Вот условие:

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Воле цветка над водой,

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода        

Здесь глубока?

Пусть Х – глубина озера. Используя теорему Пифагора, составим и решим уравнение: Х+ Х + - 4;  Х = 3,75.

Ответ: глубина озера – 3, 75 фута.

Заключение.

В ходе работы мною были сделаны следующие выводы:

- существует связь между математикой и литературой;

- математика обладает большим эстетическим потенциалом;

- найдены материалы, подтверждающие связь между литературой и математикой;

- использованы исторические сведения межпредметного характера;

- доказано присутствие математики в литературе.

Французский поэт Валери сказал: «Если бы логик всегда должен был оставаться логически мыслящей личностью, он бы не стал и не мог стать логиком; и если поэт всегда будет только поэтом, без малейшей склонности абстрагировать и рассуждать, никакого следа в поэзии он не оставит». Жизнь человека и общества постоянно требует сложных решений, выходящих за рамки любой профессии, любого специализированного образа мысли.

Математика – вечно живое дерево науки. С древнейших времен известно, что математика учит правильно и последовательно мыслить, логически рассуждать. Кто занимается математикой, тот развивает свой ум и внимание, воспитывает волю и настойчивость. А эти качества нужны всем без исключения: и врачу, и артисту, и художнику, и писателю. Не менее важна и литература, позволяющая человеку выражать свои мысли, чувства, эмоции. Только в тесной взаимосвязи этих наук человек будет чувствовать себя спокойно, уверенно, комфортно в этом огромном мире.

Данная работа еще раз с большой убедительностью подтверждает знаменитую истину, что математика не признает упрощенного подхода, основанного на фантазии и правдоподобности, и является «царицей всех наук».

Я считаю тему своей работы актуальной, так как  решение  задач из художественной литературы помогает нам осознать смысл происходящей ситуации в произведении, развивает логическое мышление и навыки анализа. Я нашла много таких задач, которые не смогла пока решить. В будущем собираюсь продолжить свою работу. И я уверенна. Что подобные исследования не только развивают и поддерживают интерес учащихся к таким разным предметам, как математика и литература, но и воодушевляют школьников на дальнейшие опыты творчества.

Литература.

1. http://ru.wikipedia.org
2. http://www.uchmet.ru
3. http://www.zavuch.info
4. Бакиева А., Саитова Р.А. «Математика в художественной литературе».
5. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики», изд. Просвещение, М., 1996, с.320.
6. Латыпова С.В. «Математические задачи в литературных произведениях».
7. Научно-теоретический методический журнал «Математика в школе», №2-2005. – 80с.
8. Научно-теоретический методический журнал «Математика в школе», №3-2001. – 80с.
9. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5 - 6 кл. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2004.
10.  Эдгар По «Три воскресенья на одной неделе»