Геометрия положения

Опубликовано Кузьмина Марина Прокопьевна вкл 28.03.2014 - 13:33

Автор:

Москвин Сергей

Учебно-исследовательская работа про лист Мебиуса.

Скачать:

Вложение	Размер
moskvin_s._list_myobiusa.doc	601.5 КБ

Предварительный просмотр:

Районная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»

«Геометрия положения»

Москвин Сергей Николаевич

Республика Саха (Якутия), г.Алдан,

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение – Алданский лицей

муниципального образования «Алданский район» РС (Я)

9 класс

Научный руководитель: Кузьмина Марина Прокопьевна, учитель математики

МБОУ – Алданский лицей

Краткая аннотация.

Актуальность нашей работы состоит в том, что XXI век – век новых технологий большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии – геометрия положения. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии.

В данной работе нами были изучены история и применение листа Мёбиуса как один из объектов геометрии положения.

Районная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»

«Геометрия положения»

Москвин Сергей Николаевич

Республика Саха (Якутия), г.Алдан,

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение – Алданский лицей

муниципального образования «Алданский район» РС (Я)

9 класс

Научный руководитель: Кузьмина Марина Прокопьевна, учитель математики

МБОУ – Алданский лицей

Аннотация.

Актуальность нашей работы . XXI век – век новых технологий. За последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии – геометрия положения. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии. Пример геометрии положения -таинственный и знаменитый лист Мебиуса.

Целью нашей работы является исследование листа Мебиуса как один из объектов геометрии положения.
Задачи:

Найти информацию о ленте Мёбиуса.
Найти области применения ленты Мёбиуса.
Сделать ленту Мёбиуса и рассмотреть ее свойства.
Сделать выводы на основании полученной информации.

Первым этапом нашей исследовательской работы было изучение учебной и научно – популярной литературы по следующим вопросам:

- кто первым придумал лист Мёбиуса;

- какова роль листа Мёбиуса в топологии;

- где и как применяется Лист Мёбиуса.

В практической части нами были рассмотрены и проведены следующие практические эксперименты с листом Мёбиуса:

- с перекручиванием;

- с разрезанием;

- с раскраской;

- с формой бумажной полоски для ленты Мёбиуса

Выводы:

Лист Мебиуса имеет один край.
Лист Мебиуса имеет одну сторону.
Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура лист Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
Длина листа Мёбиуса равна а, где 1,57(π/2)≤ а ≤1,73()

Выводы первого эксперимента:

Если четное число перекручиваний, то получится 2 кольца
Если нечетное число перекручиваний, то получится 1 кольцо

Выводы второго эксперимента:

Если четное число частей, то получатся кольца, кол-во которых в 2 раза меньше кол – ва частей.
для нечетного число частей мы не нашли закономерностей.

Лист Мёбиуса - желтая страница,

Односторонний сказочный маршрут,

Летит метелью, песенкой, синицей,

Бульварной лентой, склеенный лоскут.

Эх, Мёбиус, спасибо за науку!

Поверхность одинокой стороны

Подобна закольцованному звуку,

Вибрацией неоновой струны.

XXI век – век новых технологий. За последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии – геометрия положения. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии. Пример геометрии положения -таинственный и знаменитый лист Мебиуса.

Первым этапом нашей исследовательской работы было изучение учебной и научно – популярной литературы по теме.

История

Кто первым придумал лист Мёбиуса? Ответ кроется в самом вопросе. Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса придумал в 1858 году немецкий геометр Август Фернанд Мебиус (1790 - 1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. С 1861 г. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 г. Стал ее директором, позже - профессором Лейпцигского университета. Известны труды по проективной геометрии. В частности, впервые ввел систему координат и аналитические методы исследования, установил существование односторонних поверхностей (листов Мебиуса), многогранников, для которых неприменим «закон ребер» и которые не имеют объема. Мебиус – один из основоположников теории геометрических преобразований, а также топологии, теории векторов и многомерной геометрии. Получил важные результаты в теории чисел (функция Мебиуса).

Роль листа Мёбиуса в топологии ( т.е. геометрии положения).

Топология (от греч. tоpos — место и логия) — часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела)
Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади.

Топология в основном изучает поверхности тел и она находит математическое родство между предметами, которые, казалось бы, никак между собой не связаны. Например, с точки зрения топологии гайку, макаронину и кружку роднит то, что каждый из этих предметов имеет отверстие, хотя во всех остальных отношениях они различны.
Топология не имеет границ. Она проникает не только во все области математики, но и во многие другие науки. Топологию, нельзя заключить ни в какие рамки и поэтому я взял наиболее интересные (как мне кажется) факты.
У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Да! Это односторонняя поверхность.
Пример топологии -таинственный и знаменитый лист Мебиуса.
Лента Мебиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.

Топологические свойства

Односторонность – топологическое свойство листа Мебиуса, характерное только для него.
Непрерывность – с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность. На листе Мебиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.
Связность – чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. Что касается листа Мебиуса, то количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен, если два оборота – односвязен, если три – двусвязен и т. д. Связность принято оценивать числом Бетти, или иногда пользуются эйлеровой характеристикой.
Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мебиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мебиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в свое зеркальное отражение.
«Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мебиуса равен шести.

Применение листа Мёбиуса в технике.

Полоса ленточного конвейера выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон.

Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.

Резистор Мёбиуса

Это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.

Применение листа Мёбиуса в архитектуре и в живописи.

Здание библиотеки

В настоящее время рассматривается проект постройки библиотеки в виде листа Мёбиуса в Казахстане.

Изгибы здания образуют лист Мёбиуса, таким образом внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены. Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения.

Современная лента Мёбиуса нарисована на одной из стен в Праге, Чехия. По ленте двигаются два типа машин: танки и строительно-дорожная техника. Символсовременнойцивилизации: разрушаем-строим-разрушаем-строим..

В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра “Горизонт” находится памятник “Ленте Мёбиуса”. Памятник был установлен в 1997 году. Авторы памятника: скульптор А.З.Налич, архитектор О.Н.Иванченко и строитель Г.Л.Федорков.

В Екатеринбурге на улице Свердлова установлен памятник листу Мёбиуса в 2008 году. Скульптор Адуашвили.

Применение листа Мёбиуса в спорте.

Ручной эспандер "Робур"

Одна из любимых вещей всех школьных учителей физкультуры, которая по их собственному выражению «тренирует не только мышцы кисти, но и мышцу мозга". Кистевой эспандер от студии Артемия Лебедева повторяет форму ленты Мёбиуса. Отличное средство для снятия стресса, размышлений о бесконечности и просто полезный способ занять руки.

Практическая часть.

Содержание практической части:

- изготовление листа Мёбиуса.

- эксперименты с перекручиванием

- эксперименты с разрезанием

- эксперименты с раскрашиванием

-- эксперименты с формой бумажной полоски для ленты Мёбиуса

Изготовление листа Мёбиуса

Лист Мёбиуса относится к числу математических неожиданностей. Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВВ*А*, перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и А*В*, т.е. так что совместятся точки А и В* и точки А* и В.

Рис.2

Эксперименты с листом Мёбиуса с перекручиванием

1) Если склеить полоску в кольцо обычным образом (без перекручивания),разрезав ее пополам, то получится 2 кольца одинаковой окружности, но в 2 раза уже в отличии от первоначального.

2) Если склеить полоску в лист Мёбиуса(с одним перекручиванием) и разрезать его пополам, то получится одно кольцо, перекрученное дважды, но вдвое уже и длиннее

3) Если склеить полоску в лист Мёбиуса(дважды перекрутив),и разрезать его пополам, то получится 2 кольца. Они перекручены дважды, вдвое длиннее и уже

4) Если склеить полоску в лист Мёбиуса(трижды перекрутив),также разрезав его пополам, то получится одно кольцо, перекрученное 6 раз. Оно в 2 раза уже первоначального.

Эксперименты с листом Мёбиуса с разрезанием

1) Если разрезать ленту, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна-более тонкая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами.

2) Если разрезать ленту на четыре равные части, то мы получим две ленты с двумя полуоборотами.

3) Если разрезать ленту на шесть равных частей, то мы получим три ленты с двумя полуоборотами завязанные в узел.

Эксперименты с Листом Мёбиуса с раскраской

1) Раскрасим внутреннюю и внешнюю сторону обычного кольца разными красками. Попробуем раскрасить лист Мебиуса. Вывод: «Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишет Рихард Курант. След – но, Лист Мебиуса – односторонняя поверхность.

2) На внутреннюю сторону обычного кольца посадим зайца(синий магнит), а на наружную волка(зеленый магнит).Разрешим бегать как угодно, запретив перелезать через края кольца. Вывод: Они не встретятся; каждый пробежит только одну, «свою» сторону кольца.

3) Посадим на ленту Мебиуса зайца и волка. Разрешим им бежать в разных направлениях.

Вывод: Заяц и волк столкнулись! Следовательно, Лента Мебиуса – односторонняя поверхность.

4)Попробуем закрасить узенькую полоску его края. Вывод: У ленты Мебиуса не только одна сторона, но и только один край!

Эксперименты с формой бумажной полоски для ленты Мёбиуса

Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Скажем, из квадратного листа ленты Мебиуса не сделаешь. Это верно, но с одной оговоркой, которую легко недооценить: ограничения на размер имеют значение лишь в том случае, когда бумагу запрещается мять. Если же мять бумагу не запрещается, то ленту Мебиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров – склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее несклеиваемых.

Сделать это можно так. Сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его четное число раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим ленту Мебиуса, вставляя соответствующие части гармошки друг в друга.

Рис.1 Рис. 2 Рис.3

Предположим теперь, но изгибать, но не мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из нее ленту Мебиуса. Таким образом, существует такое число а, что из полоски длины больше а, ленту Мебиуса склеить можно, а из полоски длины меньше а – нельзя (что будет для полоски, длина которой в точности равна а, нас не интересует). Очень хотелось бы найти это а.

Удивительно, но решение этой задачи до сих пор неизвестно.
Здесь мы докажем для а неравенства
1,57(π/2)≤ а ≤1,73()
(при этом наличием склеиваемых участков полоски мы пренебрегаем: предполагается, что края полоски склеиваются встык) и постараемся объяснить, почему не удается вычислить а точнее.
Раз требование не мять бумагу так важно, посмотрим, каков его математический смысл. Легко понять, что запрещение мять бумагу значительно ограничивает возможность манипулировать бумажным листом. Например, лист бумаги, не помяв, можно свернуть в трубку или сложить без складки пополам, но нельзя сложить вчетверо. Из листа бумаги, не смяв его, можно сделать конус, но нельзя сделать сферу или ее кусочек: прижмите лист бумаги к глобусу, и обязательно появятся складки. Как видно, листу бумаги можно придать далеко не всякую форму.
Доказательство:
Пусть лента Мебиуса сделана из бумажной полоски длины l. Намотаем на нее длинную бумажную ленту. Эта лента (толщиной бумаги пренебрегаем) будет составлена из прямоугольников одинаковой длины, каждый из которых принимает форму нашей ленты Мебиуса. Отметим на длинной ленте прямолинейные образующие и плоские точки. Картина периодична: все повторяется с периодом, равным 2l. Можно сказать больше: при сдвиге влево или вправо на l картинка меняется, но строго определенным образом, а именно: она переворачивается (т. е. зеркально отображается в средней линии полоски). Области плоских точек представляют собой четырехугольники (которые могут выродиться в треугольники), ограниченные двумя отрезками, проходящими по ленте. Части ленты, не попавшие в эти области, вымощены образующими, концы которых лежат на краях ленты. Плоские участки также можно вымостить образующими, так что вся лента будет покрыта непрерывном семейством образующих. Образующие в одинаковых четырехугольниках можно выбирать одинаковым образом, так что описанная выше периодичность сохраняется.
Возьмем любую образующую из нашего семейства, скажем, [АВ]. Если симметрично отразить ее в средней линии полоски и затем перенести в любую сторону (скажем, вправо) на l, то получится отрезок СD, который тоже является образующей из нашего семейства. Заметим, что |АС| и |ВD| = 2l. При наматывании нашей длинной ленты на ленту Мёбиуса образующие [AВ] и [СD] займут одинаковое положение, причем точка А совместится с D, а точка В – с С; другими словами, отрезки АВ и СD составят в пространстве угол 180°. Между [AВ] и [СD] располагается непрерывное семейство образующих. При движении от [AВ] к [СD]величина угла, который эти образующие составляют в пространстве с [AВ], непрерывно изменяется от 0° до 180°.

Возьмем любое n и найдем между [AВ] и [СD] такие образующие [A1B1], …, [An-1Bn-1], что величина угла между [AВ] и [AkBk] равна k*180/n (точки A1, …, An-1 в этом порядке лежат между А и С, а точки B1, …, Bn-1 в этом порядке лежат между В и D). Длина каждой из образующих больше или равна 1, а величина угла между пространственными положениями двух соседних образующих не меньше 180/n. Покажем, что каждая из сумм |A1A2| + |B1B2|, …, |An-1C| + |Bn-1D| не меньше длины a2n стороны правильного 2n-угольника вписанного в окружность радиуса 1. Это видно из рисунка 9. На рисунке отрезки AkE и Аk-1Вk-1 равны по длине, параллельны и направлены в одну сторону, |AkF| = |AkH| = 1 и [FG] || [EBk]. Мы видим, что |AkAk+1| + |BkBk+1| = |EBk+1| + |BkBk+1| ≥ |EBk| ≥ |FG| ≥ |FH| ≥ a2n (здесь |AkAk+1|, |BkBk+1|, |EBk+1| - длины изображенных на рисунке 9 криволинейных отрезков; эти длины совпадают с длинами отрезков |AkAk+1|, |BkBk+1| рисунка 8; предпоследнее неравенство следует из того, что FHG > 90, а последнее – из того, что FAkH ≥ 180/n).
Итак, 2l = |AC| + |BD| = (|AA1| + |BB1|) + (|A1A2| + |B1B2|) + … + (|An-1C| + |Bn-1D|) ≥ na2n, т. е. 2l при любом n не меньше половины периметра правильного 2n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Значит, 2l не меньше половины длины самой этой окружности, то есть π, и l ≥ π/2. Доказана а ≥ π/2.
Теперь докажем, что а ≤
Для доказательства достаточно объяснить, как склеить ленту Мебиуса из полоски, длина которой больше . Предположим сначала, что ее длина в точности равна . тогда на этой полоске можно распределить два правильных треугольника. Перегнем полоску по боковым сторонам этих треугольников, чередуя направления сгиба. Края АВ и СD полоски совместятся, причем точка А совместится с точкой D, а точка В – с точкой С. Получится лента Мебиуса.
При этом построении было нарушено главное правило – не мять бумагу. Но легко понять, что если длина полоски хоть немного больше , то излом по образующей можно заменить изгибанием, производимым на узком участке. Короче говоря, излом вдоль прямолинейного отрезка нам не страшен: его можно заменить близким к нему изгибанием. (Непоправимое сминание бумаги происходит, когда две линии перегиба пересекаются, т. е. когда лист складывается наподобие носового платка – все это известно нам из повседневного опыта).
Как выглядит получившаяся лента Мебиуса можно представить себе так: три одинаковых правильных треугольника АВС, А′В′С′, А″В″С″ лежат параллельно друг другу, соответствующие вершины над соответствующими вершинами; стороны АВ и А′В′, В′С′ и В′′С′′, С′′А′′ и СА соединены перемычками. Линия склейки проходит по медиане одного из треугольников.
Проблемы.
Почему не удается найти а точнее?
Пока задача не решена, трудно сказать, почему она не решена. Все же иногда в разных нерешенных задачах удается проследить общие трудности, отметить, так сказать, на математической карте труднопроходимые места, что позволяет подчас предсказать успех или неудачу при решении той или иной задачи.
Мы доказали, что а есть одна из точек отрезка [ π⁄2; ]. Какая же? Может быть, на это счет можно высказать хотя бы правдоподобную гипотезу? Мы думаем, что а = , и нас не удивляет, что доказать этого не удается.
Выводы:

Лист Мебиуса имеет один край.
Лист Мебиуса имеет одну сторону.
Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура лист Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
Длина листа Мёбиуса равна а, где 1,57(π/2)≤ а ≤1,73()