Окружности Аполлония на службе у флибустьеров

Слайд 1

Слайд 2

На прямой Дано: две точки А и В , К > 0 К ≠1 Доказать: множество точек М = 2 точки. Одна на отрезке АВ, другая вне этого отрезка

Слайд 3

Решение Случай 1 – К >1 Если ;К >1 , то ВМ>АМ Тогда А и М лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра АВ. Возможны 2 случая: Точка М лежит на АВ Точка М лежит на продолжении АВ

Слайд 4

Случай 1 АМ + МВ = АВ |=> ВМ= АМ* R АВ = АМ + АМ* R АВ = АМ ( R+1)

Слайд 5

Итак , если на АВ есть точка М, удовлетворяющая условию , то она лежит на определенном расстоянии от точки А, | => на АВ может быть только одна такая точка М!

Слайд 6

Случай 2 МА+ АВ = МВ, ВМ= R*AM Откуда Как и в 1 случае можно убедиться, что точка М, расположенная на продолжении АВ за точку А так, что удовлетворяет и вне отрезка такая точка одна! В случае с R >1 утверждение доказано Если 01 ), только точки А и В меняются ролями.

Слайд 7

На плоскости Дано: две точки А и В, К – данное число Найти: все точки М.

Слайд 8

Решение 1) если К= 1, то все искомые точки лежат на серединном перпендикуляре отрезка АВ

Слайд 9

2) если К≠1 Как следует из задачи 1 на прямой АВ существует ровно 2 точки, принадлежащие данному множеству. Обозначим за отрезком = P , а на отрезке = Q Итак :

Слайд 10

Пусть М не лежит на АВ, проведем биссектрису ММ 1 1

Слайд 11

По теореме о биссектрисе треугольника Согласно задаче 1, точки Q и М 1 совпадают. Аналогично проведем биссектрису внешнего угла М. по теореме о биссектрисе вн. угла Согласно задаче 1 , точки Р и М 2 совпадают

Слайд 12

Итак MQ биссектриса тр. АВМ, МР – биссектриса вн. угла тр. АВМ Следовательно МР перпендикулярна MQ , сл. , отрезок PQ виден из М под прямым углом и , значит М лежит на окружности с диаметром PQ

Слайд 13

Если К ≠ 1 , искомое множество – это окружность с диаметром PQ . Радиус этой окружности Ее центр О 1 лежит на прямой АВ, ОО 1 (О – середина отрезка АВ) =

Слайд 14

При К >1 , окружности Аполлония лежат по ту же сторону серединного перпендикуляра АВ, что и точка А При 0< К <1 – по ту сторону, что и точка В Если точки лежат со стороны А, то чем больше К, тем меньше диаметр окружности. Если со стороны В, то чем больше К, тем больше диаметр окружности.

Слайд 16

Расчеты пути

Слайд 17

Если К 1 и К 2 > 1, то каждая из окружностей охватывает точку А, соответственно вне друг друга лежать они не могут. Значит одна из них, та, у которой радиус меньше, лежит внутри другой. = =

Слайд 19

Дано: точки А и В, прямая L , не перпендикулярная АВ. Для каждой М (М принадлежит L) = BM /АМ Найти: точки, где отношение ВМ/АМ достигает наименьшего и наибольшего значения.

Слайд 20

Случай 1 – прямая L и окружность пересекаются

Слайд 21

Случай 2 Прямая L проходит через центр окружности Аполлония

Слайд 22

Аполлоний Пергский (ок. 262-190 гг. до н.э.) Древнегреческий ученый Доказал 387 теорем Работал в Александрии при Птолемее III Ввел термины эллипс, парабола, гипербола. Считается предшественником аналитической геометрии. Разработал общую теорию эпициклов (астрономия), на которую опирались Гиппарх из Ника и Клавдий Птолемей.

Слайд 23

Проект выполнила Макарова Елена 9 «а» класс МАОУ «Лицей №10» Руководитель Арестова Анна Владимировна