Проектно-исследовательская работа "К чему может привести математическая ошибка"

Дистанционный тур муниципального этапа краевого форума

«Молодежь и наука»

К чему может привести математическая ошибка

Физико-математическая секция

Проектно-исследовательская работа

Аннотация

Архипова Татьяна Викторовна

с.Локшино, МБОУ «Локшинская СОШ», 7 класс

«К чему может привести математическая ошибка»

Руководитель: Леонова Ирина Алексеевна, учитель математики МБОУ «Локшинская СОШ»

Цели работы:

собрать и оформить информацию о последствиях математической ошибки;

показать значимость математической ошибки.

Гипотеза: математическая ошибка может привести как к курьёзным ситуациям, так и к серьёзным проблемам (авариям, катастрофам, разрушениям)

Методы, используемые при исследовании  

• Изучение источников: литературы, энциклопедий, сайтов в Интернете.
• Проведение и анализ анкетирования.
• Наблюдения, сопоставления.
• Анализ и классификация ошибок в работах учащихся 7 класса.
• Отбор и классификация материала.
• Оформление результата

Основные результаты научного исследования 

Нашла своё подтверждение гипотеза: математическая ошибка может привести как к курьёзным ситуациям, так и к серьёзным проблемам (авариям, катастрофам, разрушениям).

Собран, классифицирован и оформлен материал о последствиях математической ошибки. Продемонстрирована значимость математической ошибки.

Основная часть работы.

1. Введение.

В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми                         мелкими ошибками.

                                                                                  И. Ньютон.

Актуальность данной проблемы имеет как личный аспект, так и масштабный характер (ошибиться может каждый). Но к чему может привести математическая ошибка – это ключевой вопрос, в котором и хотелось разобраться. Ведь математика касается всех сфер нашей жизни, как частной, так и в масштабе государства.

После опроса одноклассников и анкетирования учащихся 6-8 классов пришла к выводу, что не только я, но и мои ровесники не задумывались над этой проблемой.  Захотелось не только получить ответ на ключевой вопрос, но и поделиться информацией с учащимися школы.

Информацию решено было искать в различных источниках: в математических книгах, справочниках, Интернете.   Исследовать математические ошибки, которые делают одноклассники. Найти примеры ошибок, которые приводили к курьёзным ситуациям. Узнать, что такое софизмы. Историю софизмов. Типы софизмов. Разобрать интересные задачи.

Обратиться в Интернет за информацией  «Были ли случаи, когда математические ошибки повлекли за собой серьёзные проблемы: катастрофы, аварии, разрушения».  

2. Основное содержание.

Цели работы: 

собрать и оформить информацию о последствиях математической ошибки;

показать значимость математической ошибки.

Гипотеза: математическая ошибка может привести как к курьёзным ситуациям, так и к серьёзным проблемам (авариям, катастрофам, разрушениям)

Методы, используемые при исследовании:

• изучение источников: литературы, энциклопедий, сайтов в Интернете;
• наблюдения, сопоставления;
• анализ и классификация ошибок в работах учащихся 7 класса;
• отбор и классификация материала;

Основные задачи:

• провести анкетирование на тему «К чему может привести  математическая ошибка» среди учащихся 6-8 классов;
• исследовать типичные ошибки одноклассников;  
• найти примеры ошибок, которые приводили к курьёзным ситуациям;
• узнать, что такое софизмы, историю софизмов разобрать интересные задачи;
• найти в Интернете ответ на вопрос: были ли случаи, когда математические ошибки, повлекли за собой серьёзные проблемы: катастрофы, аварии, разрушения.  

Описание хода работы

1). Провела анкетирование среди учащихся 6-8 классов. В анкетировании приняли участие 23 ученика. Было предложено ответить на следующие вопросы:

1. Как часто на уроках математики вы допускаете ошибки?
2. Задумывались ли вы о последствиях математической ошибки?
3. Знакомы ли вам примеры, когда математическая ошибка привела к катастрофе?
4.  Подумайте и запишите, к чему может привести математическая ошибка?
5. Знаете ли вы, что такое софизмы?
6. Хотели бы вы познакомиться с курьёзными случаями математических ошибок?

На вопрос «Как часто на уроках математики вы допускаете ошибки?» ответили «часто» и «почти всегда» - 12 человек. На вопрос «Задумывались ли вы о последствиях математической ошибки?» ответили  «нет»  - 11 человек.

На вопрос «Знакомы ли вам примеры, когда математическая ошибка привела к катастрофе?» ответили «нет» - 15 человек.

На вопрос  «Знаете ли вы, что такое софизмы?» ответили «нет» - все 23 ученика.

На вопрос  «Хотели бы вы познакомиться с курьёзными случаями математических ошибок?» ответили положительно – 8 человек.

Ответы на задание «Подумайте и запишите, к чему может привести математическая ошибка?» были следующие: «от неудовлетворительной оценки за домашнюю работу до аварий на дорогах, столкновений поездов и т.д.», «при строительстве дома допустили ошибку и дом разрушился», «при построении самолёта ошиблись в расчётах и он разбился», «продавец ошибся, и у него недостача», «при полёте самолёта неправильно вычислили запас топлива и это привело к гибели людей».

Анкетирование показало, что школьники не задумываются о последствиях математической ошибки и не знакомы с математическими софизмами.

 2).  Наблюдения на уроках математики и анализ ошибок в тетрадях одноклассников показал, что ошибками могут стать неправильные расчёты, неправильное применение определений, аксиом, теорем, незнание формул, правил. Ряд ошибок одноклассники допускают из-за неразборчивого почерка, неаккуратно выполненного чертежа, по невнимательности. Некоторые ошибки носят курьёзный характер.

         3). Оказалось, что на основе математических ошибок, искусно скрытых, основаны, так называемые, математические софизмы.

Изучив литературу, узнала, что такое софизмы. Разобралась в некоторых из них. Узнала историю. Познакомилась с основными типами софизмов. Выбрала наиболее интересные задания и включила их в работу.

Софизм – доказательство ложного утверждения, причём ошибка в доказательстве искусно замаскирована [1]. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения.  

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Известнейший ученый и философ Сократ поначалу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон).          

Примеры софизмов.     

Алгебраический софизм [2].

 Найти двузначное число, обладающее следующими свойствами. Цифра десятков на 4 меньше цифры единиц. Если из числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, вычесть искомое число, то получится 27.

Обозначив цифру десятков через х, а цифру единиц - через у, мы легко составим систему уравнений для этой задачи:

Подставим во второе уравнение значение х из первого, найдем:

10у+у-4-(10(у-4)+у)=27, а после преобразований: 36=27.

У нас не определились значения неизвестных, зато мы узнали, что 36=27...

Что это значит? Где ошибка???

Это означает лишь, что двузначного числа, удовлетворяющего поставленным условиям, не существует и что составленные уравнения противоречат один другому. В самом деле: умножив обе части первого уравнения на 9, мы найдем из него:

9у-9х=36,

а из второго (после раскрытия скобок и приведения подобных членов):

9у-9х=27.

Одна и та же величина 9у-9х согласно первому уравнению равна 36, а согласно второму 27. Это, безусловно, невозможно, т.к. 36 не равно 27.

Подобное же недоразумение ожидает решающего следующую систему уравнений:

х2у2=8,

ху=4.

Разделив первое уравнение на второе, получаем:

ху=2, а сопоставляя полученное уравнение со вторым, видим, что

т.е. 4=2. Чисел, удовлетворяющих этой системе  не существует. (Системы уравнений, которые, подобно сейчас рассмотрены, не имеют решений,  называются  несовместными.)

         Логический софизм «Ахиллес никогда не догонит черепаху» [1].

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения.

Вот примерная схема рассуждений Зенона. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов.

Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющее его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он туже ее не застанет, так как  она пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперед. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий  Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.

Где ошибка???

Рассматриваемый софизм Зенона даже на сегодняшний день далек от своего окончательного разрешения, поэтому здесь я обозначу только некоторые его аспекты.

Сначала определим время t, за которое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a+vt=wt, где а -расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях  (v=1 шаг/с и w=10 шагов/с) равно 11, 111111… сек.

Другими словами, примерно через 11, 1 с. Ахиллес догонит черепаху. Подойдем теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики, проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдет черепаха. Если черепаха  до момента встречи с Ахиллесом пройдет m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс еще один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху!!!

Итак, путь, пройденный Ахиллесом, с одной стороны, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений, а с другой стороны, эта бесконечная последовательность, очевидно не имеющая конца, все же завершилась, и завершилась она своим пределом, равном сумме геометрической прогрессии.

Трудности, которые возникают при оперировании понятиями непрерывного и бесконечного и столь мастерски вскрываются парадоксами и софизмами Зенона, до сих пор не преодолены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики.

Геометрический софизм-фокус [3].

На прямоугольном куске картона начерчен прямоугольник с 13 одинаковыми палочками на равном расстоянии друг от друга. Разрезав его пополам и чуть сдвинув обе части, заметим любопытные явление: вместо 13 палочек окажется всего 12. Одна палочка исчезла бесследно. Куда же она подевалась?

Если сопоставить длину палочек на прямоугольниках, то обнаружится, что палочки на втором фото на 1/12 длиннее палочек первого фото. Исчезнувшая 13-я палочка улетучилась не бесследно: она словно растворилась в12 остальных, удлинив каждую из них на 1/12 своей длины.  Геометрическую причину этого понять очень легко. Прямая МN и та прямая, которая проходит через верхние концы всех палочек, образуют угол, стороны которого пересечены рядом параллельных прямых. Из подобия треугольников следует, что прямая MN отсекает от второй палочки 1/12 её длины, от третьей 2/12, от четвертой 3/12 и т.д. Когда же сдвигаются обе части картона, то приставляя отсеченный отрезок каждой палочки (начиная с второй) к нижней части предыдущей. А так как каждый отсеченный отрезок больше предыдущего на1/12, то каждая палочка должна удлиниться на 1/12 своей длины. На глаз это удлинение незаметно, так что исчезновение 13-й палочки на первый взгляд представляется довольно загадочным.

4). Процесс поиска скрытых ошибок в софизмах оказался очень интересным и поучительным. Но в жизни достаточно курьёзных ошибок, которые совершаются неосознанно, большей частью по невнимательности.

В Интернете удалось найти курьёзные случаи математических ошибок. Один пример из рубрики «Математические киноляпы» [7].  Мультфильм “Дональд в Матемагии’’, 1959 г. Геометрические фигурки (прямоугольник, треугольник и круг) дружно сообщают утенку, что “число пи равняется трем целым, один-четыре-один-пять-девять-два-шесть-пять-три-пять-восемь-девять-семь-четыре-семь и так далее…’’ А теперь сравните с правильным значением: 3,14159265358979323…

Ещё один пример: Сериал “Звездный путь’’ Военный суд, 1967 г. Керк говорит, что компьютер может усилить звук в число раз, равное “единице в сороковой степени’’ (one to the fourth power), а это равно единице.

5). Через Интернет я узнала о фактах, приводящих и к негативным последствиям из-за математических просчётов. Интернет пестрит заголовками: «Маленькие математические ошибки мирового масштаба», «К аварии привела  математическая ошибка», «Простые математические ошибки – причины разрушений и человеческих жертв».   Некоторые подробности:  РИА новости [5]  сообщает: «К неудачному запуску трех спутников системы ГЛОНАСС могла привести математическая ошибка в программе, заложенной в бортовой комплекс ракеты-носителя. Сейчас ее эксперты занимаются выяснением всех обстоятельств аварии. По некоторым данным, ракета-носитель «Протон-М» после запуска отклонилась от заданной траектории на восемь градусов. Дмитрий Медведев  поручил найти виновных в утрате спутников и проверить расходование средств на выполнение программы создания отечественной навигационной группировки».

Особый интерес представляет информация под заголовком «Шесть маленьких математических ошибок, обернувшихся чудовищными катастрофами» [6].  Эта статья адресована школьникам с подробным  описанием математических ошибок, которые привели к катастрофам. 

Приведу два примера: «Это был ультрасовременный реактивный пассажирский самолёт с уникальными для того времени техническими характеристиками и герметичной кабиной. К сожалению,  в 1954-м две «Кометы» развалились прямо в полёте, угробив в общей сложности 56 человек. Причина до смешного проста: квадратные иллюминаторы».  

«Угол взлетно-посадочной полосы становится причиной крушения истребителей» -   сообщает РИА Новости [5]. «Не надо быть пилотом, чтобы понять – посадить самолёт на авианосец чрезвычайно сложно… Но была еще одна проблема… (угол взлетно-посадочной полосы был равен 0º )». Как удалось исправить ситуацию? «…отвернули посадочную полосу примерно на 9º». Эта инновация позволила обезопасить приземление.

И ещё один пример математической ошибки, который захотелось разобрать подробнее [6]: Мост Такома-Нэрроуз разрушился из-за того, что был слишком цельным. Мост Такома-Нэрроуз (Один из крупнейших в США висячих мостов;  прим. mixednews) считался чудом инженерной мысли, пока не рухнул в пролив  Такома-Нэрроуз.   Причина случившегося до смешного проста: мост был слишком цельным, без полостей. Вы замечали, какими хрупкими выглядят самые большие мосты? Они буквально просвечиваются. Если вы думаете, что это делается для красоты или экономии металла, вы глубоко заблуждаетесь. Настоящее предназначение всего этого ажура – пропускать воздух. Вы можете укрепить мост как угодно прочно – и он всё равно будет раскачиваться на ветру. Этого нельзя не учитывать. Проектировщики моста через пролив Такома решили не забивать себе голову подобной ерундой.  Они решили, что для ветра тут и без того достаточно места.   Они ошибались. С самого начала было ясно – с мостом что-то не так. Как только поднимался ветер,  полотно начинало  изгибаться, трястись и выручиваться, за что ещё во время возведения  мост получил в народе прозвище «Галопирующая Герти». В один прекрасный день частота колебаний ветрового потока совпала с собственной частотой колебаний конструкций моста. Центральный пролет моста затрепетал, как осенний лист, забился в конвульсиях и рухнул.        

Строительство нового моста завершилось только в 1943-м. На этот раз в конструкцию были введены открытые фермы, стойки жёсткости, деформационные швы и системы гашения вибраций.  

 Все приведённые выше примеры заставляют задуматься над тем, что фактов, когда математическая ошибка ведет к серьёзным авариям, катастрофам, разрушениям значительно больше, чем можно было себе представить.

3. Заключение.

Основные результаты исследования.  

Собран и оформлен материал о последствиях математической ошибки. Продемонстрирована значимость математической ошибки.

Нашла своё подтверждение гипотеза: математическая ошибка может привести не только к курьёзным ситуациям, но и к серьёзным проблемам (авариям, катастрофам, разрушениям).

В ходе работы над темой научилась разбирать математические ошибки, поняла, что поиск ошибок – очень полезное занятие. Поиск ошибок приучает  внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций.  Если нашел ошибку, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях.  

Главный вывод исследования: последствия даже маленьких математических ошибок могут быть непредсказуемыми. Необходимо помнить об этом каждому и учиться находить и своевременно исправлять свои ошибки. Взять себе за правило: не позволять себе  допускать даже самых незначительных математических ошибок.  

Список литературы

1. А.П.Савин Энциклопедический словарь юного математика – М.: Педагогика, 1989.-352 с.
2. Я.И.Перельман Занимательная алгебра – Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.- 184 с.
3. Е.И.Игнатьев В царстве смекалки – Москва: Наука, 1984.- 192 с.
4. М.Гарднер Математические чудеса и тайны - Москва: Наука, 1982.- 128 с.

Источники, представленные в Internet:

5. РИА Новости  (RIA.RU).
6. http://mixednews.ru/archives/15234
7. http://hijos.ru/2011/11/06/matematicheskie-kinolyapy/