Кристаллы - природные многогранники

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 2

«Кристаллы –

природные   многогранники»

Научно-исследовательская  работа

                                                                         Выполнили:

                                                   ученики 10 класса

Перегородов Алексей,

Стрельников Николай

                                                                       Научный руководитель:

                                                                             учитель математики

Ковалева Елена Николаевна

Хвалынск

2014 г

Оглавление

1. Цели проекта……..…………………………………………….……………  3

1.1. Введение. Актуальность темы ………………………………….…………4

2.  Основная часть

2.1.  Загадочные творения природы. Наблюдения под микроскопом…….....5

2. 2.  Что такое кристалл…………………………...………………………… .. 5

2.3.  Общее определение………...……………………………………………...5

2.4.  Монокристаллы и кристаллические агрегаты………………….………..6

2.5.  Симметрия в кристаллах………………………………………………......6

6. Категории кристаллов……………………………………………………6
7. Исследования ученых………………………………………………….....7
8. Закон постоянства двугранных углов. Отклонение от закона………...8
9. Дефекты в кристаллах……………………………………………………9

2. Заключение. Демонстрация моделей………………………………………10

4.Список используемой литературы…………………………………………. 11

Цель проекта.

• Изучение свойств и особенностей строения кристаллов, элементов симметрии.
• Нахождение связей геометрических законов структуры кристаллов.
• Изучение многогранников и построение моделей многогранников (кристаллов).

1. Актуальность темы

Воздействие на облик земной поверхности таких природных факторов, как ветер, вода, солнечный свет, весьма стихийно и часто носит беспорядочный характер. Однако песчаные дюны, галька на морском берегу, кратер потухшего вулкана имеют, как правило, геометрически правильные формы. В земле иногда находят камни такой формы, как будто их кто-то тщательно выпиливал, шлифовал, полировал. Это – многогранники с плоскими гранями, с прямыми ребрами. Правильные и совершенные формы этих камней, безукоризненная гладкость их граней поражает нас. Трудно поверить, что такие идеальные многогранники образовались сами, без помощи человека. Вот эти – то камни с природой, т.е. не сделанной руками человека, правильной, симметричной, многогранной формой и называется кристаллами.

Удивительно разнообразен мир кристаллов, являющихся природными многогранниками. Кристаллы встречаются повсюду. Мы ходим по кристаллам, строим из кристаллов, обрабатываем кристаллы на заводах, выращиваем кристаллы в лабораториях и в заводских условиях, создаем приборы и изделия из кристаллов, широко применяем кристаллы в науке и технике, едим кристаллы, лечимся кристаллами, находим кристаллы в живых организмах, проникаем в тайны строения кристаллов, выходим на просторы космических дорог с помощью приборов из кристаллов и растим кристаллы в домашних условиях.

Современная промышленность не может обойтись без самых разнообразных кристаллов. Они используются в часах, транзисторных приёмниках, вычислительных машинах, лазерах и многом другом. С древности кристаллы поражали человеческое воображение своим исключительным геометрическим совершенством. Идеальные формы кристаллов симметричны. Симметрия, законы постоянства углов и ряд других свойств кристаллов привели кристаллографов к догадке о закономерном расположении частиц, составляющих кристалл. Правильные многогранники открывают  тайны мировой гармонии и показывают неотразимую привлекательность геометрии!

2.1.  Загадочные творения природы. Наблюдения под микроскопом.

 Мы решили начать работу с наблюдения за некоторыми образцами кристаллических тел под микроскопом. Увидели фигуры, напоминающие многогранники разных размеров и форм. Для дальнейшего изучения кристаллов обратились к различным источникам.

В настоящее  время  изучением   многообразия   кристаллов  занимается   наука - кристаллография.  Она  выявляет  признаки  единства  в  этом   многообразии, исследует  свойства  и  строение,   как   одиночных   кристаллов, так   и кристаллических  агрегатов.

В  давние  времена  считалось,  что  кристаллы   представляют   собой редкость. Действительно, нахождение в природе крупных однородных  кристаллов - явление нечастое. Но мелкокристаллические вещества встречаются  весьма часто. Так, например, почти все горные породы: гранит,  песчаники  известняк -  кристалличны.

В  настоящее  время  известны  способы   искусственного   выращивания кристаллов. Кристалл можно  вырастить  в  обыкновенном  стакане,  для  этого требуется лишь определенный раствор и  аккуратность,  с  которой  необходимо ухаживать за растущим кристаллом.

    2.2.  Что такое кристалл? 

В школьных  учебниках  кристаллами  обычно  называют  твердые  тела, образующиеся в  природных  или  лабораторных   условиях   и   имеющие   вид многогранников, которые напоминают самые непогрешимо строгие  геометрические построения. Поверхность таких фигур ограничена более или менее  совершенными плоскостями -  гранями,  пересекающимися  по  прямым  линиям-  ребрам.  Точки пересечения ребер  образуют  вершины.  Сразу  же  следует  оговориться,  что приведенное  выше  определение  требует  существенных  поправок.   Вспомним, например, всем известную горную породу – гранит, состоящую из  зерен  полевого шпата, слюды и кварца.  Все  эти  зерна  являются  кристаллами,  однако,  их извилистые зерна не сохранили прежней прямолинейности и плоскогранности,  а, следовательно, не подходят к  вышеуказанному  описанию.

2.3. Общее определение.

 Кристаллов в природе существует великое множество  и  так  же  много существует различных форм кристаллов. В реальности,  практически  невозможно привести определение, которое подходило бы  ко  всем  кристаллам. В результате рентгеновского анализа было установлено,  что все  кристаллы  построены  из элементарных   частиц,    расположенных    в    строгом    порядке    внутри кристаллического тела.

Во всех без исключения кристаллических  постройках   из  атомов  можно выделить  множество  одинаковых  атомов,   расположенных   наподобие   узлов пространственной  решетки.  Чтобы  представить   такую   решетку,   мысленно заполним  пространство  множеством  равных   параллелепипедов,   параллельно ориентированных и соприкасающихся по целым граням. Простейший  пример  такой постройки представляет собой кладка из одинаковых  кирпичиков.  Если  внутри кирпичиков выделить соответственные точки, например, их центры или  вершины, то мы и получим модель пространственной решетки.  

Итак,  кристаллами  называются  «все  твердые  тела,  в  которых слагающие их частицы (атомы, ионы, молекулы) расположены строго  закономерно наподобие  узлов  пространственных  решеток».  

2.4. Монокристаллы и кристаллические агрегаты.

 В отличие от других агрегатных состояний,  кристаллическое  состояние многообразно.

Если взять, например, обычную поваренную соль, то легко  увидеть  даже без микроскопа отдельные кристаллики. Каждый кристаллик есть вещество NaCl, но одновременно он имеет  черты индивидуума. Он может быть большим или малым,  кубическим  или  прямоугольно-параллелепипедальным, по-разному ограненным и т.д.

Если мы хотим подчеркнуть, что  имеем  дело  с  одиночным,  отдельным кристаллом, то называем его монокристаллом, чтобы подчеркнуть, что речь  идет о скоплении многих кристаллов, используется термин кристаллический  агрегат

2.5. Симметрия в кристаллах.

 Рассматривая различные кристаллы, мы видим, что все они разные по форме,  но любой из них представляет симметричное тело. И, действительно,  симметричность - это одно из основных свойств кристаллов. Симметричными  мы  называем  тела,  которые   состоят  из  равных одинаковых  частей.  Наиболее  известными  элементами  симметрии   для   нас являются  плоскость  симметрии  (зеркальное  отображение),   ось   симметрии (поворот вокруг  оси,  перпендикулярной  к   плоскости).  По  углу  поворота различают порядок оси симметрии, поворот  на  180о  –  ось  симметрии  2-огопорядка, 120о – 3-его  порядка  и  так  далее.   Есть  и  еще  один  элемент симметрии - центр симметрии.

 Все кристаллы симметричны.  Это значит, что в каждом  кристаллическом многограннике  можно  найти  плоскости  симметрии,  оси  симметрии,   центры симметрии и другие элементы симметрии так, чтобы совместились друг с  другом одинаковые части  многогранника.

 Введем  еще  одно  понятие,  относящееся  к симметрии - полярность. Представим конус и цилиндр, у обоих объектов  есть  по одной оси симметрии бесконечного порядка, но они   различаются  полярностью, у  конуса  ось  полярна  (представим  центральную  ось  в  виде   стрелочки, указывающей к вершине), а у цилиндра ось неполярна.

2.6. Категории кристаллов.

 Поговорим о видах симметрии в кристалле. Прежде всего,  в  кристаллах могут быть оси симметрии  только  1,  2,  3,  4  и  6  порядков.  Представим плоскость,   которую   надо   полностью   покрыть    семи   -,   восьми   -,девятиугольниками  и  т.д.,  так  чтобы   между   фигурами   не   оставалось пространства, это не получится, пятиугольниками  покрыть  плоскость  так  же нельзя. Очевидно, оси симметрии 5, 7-го и выше порядков не возможны,  потому что при такой структуре  атомные  ряды  и  сетки  не  заполнят  пространство непрерывно,  возникнут  пустоты,  промежутки  между  положениями  равновесия атомов. Атомы окажутся не в самых устойчивых  положениях  и  кристаллическая структура разрушится.

По  симметрии,  прежде всего по осям симметрии, кристаллы делятся на три категории.

К высшей категории относятся самые симметричные  кристаллы,  у  них может быть несколько  осей  симметрии  порядков  2, 3  и  4,  нет  осей  6-гопорядка, могут быть плоскости и центры симметрии. К таким  формам  относятся куб, октаэдр, тетраэдр и др. Им всем присуща общая черта: они примерно одинаковы во все стороны.

У кристаллов средней категории могут быть оси 3, 4 и 6  порядков,  но только по одной. Осей 2 порядка может  быть  несколько,  возможны  плоскости симметрии и центры симметрии. Формы этих кристаллов: призмы, пирамиды и  др. Общая черта: резкое различие вдоль и поперек главной оси симметрии.

Из кристаллов к высшей категории относятся:  алмаз, квасцы,  гранаты, германий, кремний, медь, алюминий, золото, серебро,  серое  олово  вольфрам, железо;

к средней категории – графит,  рубин,  кварц,  цинк,  магний,  белое олово, турмалин,берилл;

к низшей – гипс, слюда, медный купорос,  сегнетовая соль и др.

Каждая грань  кристалла  представляет  собой  плоскость,  на  которой располагаются  атомы.  Когда  кристалл  растет,  все   грани   передвигаются параллельно сами себе, так как на них откладываются все новые и  новые  слои атомов. По этой причине, параллельно  каждой  грани  в  структуре  кристалла располагается огромное количество атомных плоскостей,   которые  когда-то  в начальных стадиях роста  тоже  располагались   на  гранях  кристалла,  но  в процессе роста оказались внутри него.       Ребра  кристалла  представляют  собой  прямые,   на   которых   атомы располагаются в ряд. Таких рядов в кристалле тоже огромное количество и  они располагаются параллельно действительным ребрам кристалла.

2.7. Исследования ученых.

В течение долгих лет геометрия  кристаллов  казалась  таинственной  и неразрешимой загадкой. В 1619 великий немецкий математик  и  астроном  Йоган Кеплер обратил  внимание  на  шестерную  симметрию  снежинок.  Он  попытался объяснить ее тем, что кристаллы построены из мельчайших одинаковых  шариков, теснейшим образом присоединенных друг к другу  (вокруг  центрального  шарика можно  в  плотную  разложить  только  шесть  таких  же  шариков).  По  пути, намеченному Кеплером, пошли в последствии Роберт Гук и М. В. Ломоносов.  Они так же считали, что элементарные частицы кристаллов можно  уподобить  плотноупакованным шарикам. В наше время принцип плотнейших шаровых упаковок  лежит в  основе  структурной  кристаллографии,  только  сплошные  шаровые  частицы старинных авторов заменены сейчас атомами и ионами.

2.8. Закон постоянства двугранных углов. Отклонение от закона

 Симметричность кристаллов всегда привлекала внимание ученых. Уже в 79г. нашего  летоисчисления  Плиний  Старший  упоминает  о  плоскогранности  и прямобедренности кристаллов. Этот вывод и может считается первым  обобщением геометрической кристаллографии. С тех  пор  на  протяжении  многих  столетий весьма медленно и постепенно  накапливался  материал,  позволивший  в  конце XVIII в. открыть важнейший  закон  геометрической  кристаллографии  -  закон постоянства двугранных  углов.   Этот  закон  связывается  обычно  с  именем французского ученого Роме де Лиля. Для каждого  вещества  (минерала),   изученного   им,   оказалось   справедливым положение, что  углы  между  соответственными  гранями  во  всех  кристаллах одного и того же вещества являются постоянными.

История  открытия  закона   постоянства   углов   прошла огромный, почти двухвековой  путь,  прежде  чем  этот  закон  был  отчетливо сформулирован и обобщен для всех кристаллических веществ.

Так, например,  И.Кеплер  уже в 1615г. указывал на сохранение углов  в   60о  между  отдельными лучиками у снежинок. В 1669 г. Н. Стенон открыл закон  постоянства  углов  в кристаллах кварца и гематита.  Внимательно  разглядывая  реальные  кристаллы кварца,  Стенон  также  обратил  внимание  на  их  отклонение  от  идеальных геометрических многогранников с плоскими гранями и прямыми ребрами. Годом позже Стенона  Э. Бартолин  сделал тот же вывод применительно кристаллам кальцита, а в 1695 г. Левенгук - к кристаллам гипса. Он  показал, что и у микроскопически малых  и  у  больших  кристаллов  гипса  углы  между соответственными гранями одинаковы. В России  закон  постоянства  углов  был отрыт  М. В. Ломоносовым для кристаллов селитры (1749г.)  пирита,  алмаза  и некоторых других минералов.

Версии Лиля  закон  постоянства  углов  звучит  следующим  образом:   "Грани кристалла могут изменяться по своей форме и относительным  размерам,  но  их взаимные наклоны постоянны и неизменны для каждого рода кристаллов."

Однако  по  мере  совершенствования  методики  и  повышения  точности измерения кристаллов выяснилось, что закон постоянства  углов  оправдывается лишь приблизительно. В одном и том же кристалле углы  между  одинаковыми  по типу гранями  слегка отличаются друг от друга. У многих  веществ  отклонения двугранных углов между соответственными гранями  достигает  10 - 20',  а  в некоторых случаях и градуса.

2.9. Дефекты в кристаллах.

 Грани реального кристалла никогда  не  представляют  собой  идеальных плоских поверхностей.  Нередко  они  бывают  покрыты  ямками  или  бугорками роста, в  некоторых случаях грани  представляют  собой  кривые  поверхности, например у кристаллов алмаза. Иногда замечаются на гранях  плоские  участки, положение которых слегка отклонено от плоскости самой грани, на которой  они развиваются. Эти участки называются в кристаллографии вицинальными  гранями, или просто вициналями.

Таким  образом,  можно  говорить  о  скульптуре  граней,   являющейся причиной отклонения  от  равенства  двугранных  углов.  Изучением  различных наростов  занимается  раздел  кристаллографии  -  Морфология  внешней  формы кристаллов.        

Наблюдаются, конечно,  и  более  закономерные  изменения  двугранных углов, например зависимость от температуры.

Необходимо сказать о случаях резкого  изменения  углов  кристаллов,  которое возникает  при  полиморфном   превращении   вещества   (образование   данным веществом  разные по симметрии и форме кристаллы). Например,  переход ромбической серы в моноклинную, Еще резче меняет свои свойства  кристаллический углерод при  переходе алмаза в графит.

Учитывая  все   вышесказанное,   можно   так   сформулировать   закон постоянства углов: «Во всех кристаллах, принадлежащих  к  одной  полиморфной модификации  данного  вещества,   при   одинаковых   условиях   углы   между соответствующими гранями (и ребрами) постоянны».

Кристалл заполнен дефектами.  Как  же  влияют дефекты на прочность кристаллов. Они понижают прочность, в сотни, тысячи раз.

Но, по мере того, как растет деформация  кристалла, растет и число дефектов в нем. А так  как  дефекты  взаимодействуют  друг  с другом, то, чем их больше, тем труднее им двигаться в кристалле.

 Получается парадокс: если есть дефект в кристалле - кристалл деформируется  и  разрушается легче, чем, если дефекта нет. А если дефектов слишком много, то кристалл опять становится  прочным, и чем больше  дефектов,  тем  он  более  упорядочивается.  Значит,  если  мы научимся управлять числом и  расположением  дефектов,  мы  сможем  управлять прочностью материалов.

3. Заключение

При работе по теме мы прикоснулись к удивительному миру красоты, совершенства, гармонии, узнали имена учёных, художников, которые посвятили этому миру свои труды, являющиеся шедеврами науки и искусства. Ещё раз убедились, что истоки математики – в природе, окружающей нас. В ходе данного исследования был проведён анализ определений правильных многогранников, установлены условия существования правильных многогранников, выявлены свойства правильных многогранников.

Мы изготовили модели некоторых многогранников по их разверткам и хотим их продемонстрировать (куб, тетраэдр, октаэдр, шестиугольная призма, додекаэдр).

Список литературы

1. Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990

2. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2003.

3. Геометрия. Учебное пособие для 10-11 классов естейственного-научного профиля обучения. Смирнова И.М., Смирнов В.А. М. «Просвещение» 2001.

4. Геометрия. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений./ Л.С. Атанасян, В. Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. - 9-е изд. - М

5. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. Л., 1988.