Площади правильных криволинейников

Слайд 1

«Площади правильных криволинейников» Работу выполнил: учащийся 10»Б» класса Воистинов Кирилл Учитель-консультант: учитель высшей категории Шаповалова Е.В.

Слайд 2

Содержание: Введение. Получение формулы площади правильных криволинейников. Получение формулы площади невыпуклых правильных криволинейников. Исследование полученной формулы. Используемая литература.

Слайд 13

Цель работы Вывести формулы площади выпуклых правильных криволинейников. Вывести общую формулу площади правильных криволинейников. Исследовать полученную формулу.

Слайд 14

А)Правильный треугольный криволинейник Дано : ∆АВС – правильный АВ = ВС = АС = а Окр (А; а) Окр(В;а) Окр(С;а) Найти: S крив-ка Решение: 1)Площадь правильного треугольного криволинейника складывается из площади правильного треугольника и трёх площадей равных круговых сегментов: S крив-ка = S ABC +3 S сегм.

Слайд 15

2) 3) 4) Ответ:

Слайд 16

Б)Правильный четырёхугольный криволинейник . Дано : ABCD- квадрат AB=BC=CD=AD=a Окр ( А;а ) Окр ( В;а ) Окр ( С;а ) Окр ( D ;а) Найти: S крив-ка Решение: 1) S крив-ка = S KLMN +4 S сегм .

Слайд 17

2 ) Аналогично из ∆ВМА ∠МАВ=60. ∠МАВ=∠ LAD =60°, ∠ВА D =90°(т.к. ABCD -квадрат), следовательно ∠ LAB =∠ MAD =∠ LAM =90° - 60°=30° 3) 4) 5) Ответ:

Слайд 18

В)Правильный пятиугольный криволинейник . Дано: ABCDE - правильный пятиугольник AB=BC=CD=DE=AE=a Окр(А;а) Окр(В;а) Окр(С;а) Окр( D ;а) Окр(Е;а) Найти: S крив-ка Решение: 1. S крив-ка = S RSTUQ +5 S сегм .

Слайд 19

2 ) ∠ AED =108°, ∠ SEA =60°,∠ RED =60°⇒∠ RES =60 ° ∙ 2 - 108 ° =12 ° 3) R ( E ; a ), S ( E ; a ) ⇒ ER = ES = a ⇒ ∆ RES -равнобедренный. 4)

Слайд 20

5) Ответ:

Слайд 21

Итак, мы получили три формулы площади: 1) Для правильного треугольного криволинейника : 2) Для правильного четырехугольного криволинейника : 3) Для правильного пятиугольного криволинейника : Теперь приступим к решению второй задачи.

Слайд 22

Получение общей формулы площади правильных криволинейников . Рассмотрим правильный n -угольник А 1 А 2 А 3 …А n c проведенными в нем согласно операции отображения дугами. Проведя отрезки С 1 С 2 ,С 2 С 3 ,…,С n C 1 , получим правильный n -угольник С 1 С 2 С 3 …С n . Найдем коэффициент гомотетии правильных n -угольников :

Слайд 23

k=OC 2 /OA 2 OC 2 = OL - LC 2 , где LC 2 -высота равнобедренного ∆ A 1 C 2 A 2

Слайд 24

Обозначим угол правильного n -угольника α ,а ∠ C 3 A 3 C 4 - β ,тогда β = α -120°.

Слайд 25

Ответ:

Слайд 27

Исследование полученной формулы. Подставив в полученную формулу значения n =3, n =4, n =5,то получаться уже известные из задачи №1 формулы. Следовательно, можно сделать вывод, что данная формула является общей формулой площади праильных криволинейников . Если этот вывод верен, то формула не должна иметь смысла при n =0, n =1, n =2, т.к. таких многоугольников не существует. При n =0 и n =1 формула, действительно, не имеет смысла, а вот при n =2 площадь получается равна: Это удвоенная площадь правильного треугольного криволинейника , лишенного одного из своих сегментов.

Слайд 28

Также при изучении формулы я заметил, что если подставить в неё значение n =6, то площадь такого криволинейника получается равна нулю. Построив правильный шестиугольный криволинейник , я убедился, что это действительно так.

Слайд 29

Таким образом, я изучил незнакомый мне тип геометрических фигур, познакомился с операцией отображения множества на множество геометрических фигур, получил возможность самостоятельно конструировать для себя объекты исследования, вывел общую формулу для подсчета площади правильного n -угольного криволинейника на основе правильного n -угольника со стороной , исследовал эту формулу и сделал очень интересные выводы.

Слайд 30

Спасибо за внимание