НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА Числа правят миром (направление – математика)

Исследовательская работа «Числа правят миром».

Первая общероссийская заочная научно-практическая конференция

научно-исследовательских работ обучающихся 2013-2014 учебного года.

«АГОРА-2013!»

                        НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

                               Числа правят миром                                 

                            (направление – математика)

Работу выполнила:

Антипова Алена Витальевна,

обучающаяся 6 класса

МОУ «Колосковская СОШ»

Валуйского района

Белгородской области.

Научный руководитель:

Никонова Светлана Георгиевна, 

учитель математики

МОУ «Колосковская СОШ»

Валуйского района

Белгородской области

Колосково – 2013

Содержание.

1.Введение.

2.Числа правят миром.

       2.1.Фигурные числа

       2.2. Совершенные и дружественные числа.

       2.3. Исследование  совершенных и дружественных чисел.

       2.4. Анкетирование учащихся и диагностика результатов по итогам исследовательской работы.

3. Заключение.

4. Список литературы.

1. Введение.

              Мир без чисел…Возможно ли это? В современной жизни мы используем числа, даже не задумываясь об этом. Идем в магазин, смотрим на часы, набираем телефонный номер. Без чисел невозможно ни одно научное открытие. Одна ошибка в расчетах и космический корабль просто не взлетит. Не случайно открытие числа – одно из самых гениальных проявлений человеческого разума.

       Самые древние по происхождению числа натуральные. Еще в начальной школе мы знакомились с четными и нечетными числами, на уроках математики в 6 классе появляются простые, близнецы. Но, оказывается среди натуральных чисел есть еще совершенные, дружественные, когда-то были и фигурные числа. Именно они являются родоначальниками всех натуральных чисел.

Актуальность работы заключается в возможности получения и практического применения достоверной и интересной информации о фигурных, совершенных и дружественных числах.

Гипотеза: Без фигурных чисел невозможно было бы становление математики, как науки.

Объект исследования – фигурные, совершенные, дружественные числа.

Предмет исследования – свойства натуральных чисел, полученные благодаря фигурным числам.

Цель работы: на основе исследования познакомиться с удивительными числами  и установить роль этих чисел в изучении  свойств натуральных чисел.

Задачи:

1. Выяснить историю возникновения фигурных чисел.
2. Рассмотреть свойства совершенных и дружественных чисел.

Методы исследования: изучение и использование научно-публицистических и учебных изданий, метод сопоставления, аналитический метод.

Информационной базой для написания исследовательской работы послужили труды отечественных и зарубежных ученых и практиков, статьи периодических изданий.

Практическая значимость заключается в возможности применения итогов исследования на уроках математики и во внеурочной деятельности.

2. Числа правят миром.

2.1.Фигурные числа.    

            Жизнь наших предков была намного проще, но даже они были вынуждены прибегать к использованию цифр. Древний человек хотел учить вещи, которыми он владел.  Сколько у него инструментов? Сколько оружия? Сколько животных? Как только появилась необходимость передавать идеи, связанные с количеством, он начал пользоваться математикой. Вообще счет стал началом математики. Это искусство счета развивалось на протяжении длительного времени. Сначала для этого делались зарубки на стене или отметки на папирусе. Древний человек мог ответить на вопрос: Сколько?; глядя на такие зарубки, хотя не имел слов, чтобы назвать это.

             О числах первым стал рассуждать грек Пифагор, который родился на острове Самосе. Об этом человеке было создано много легенд. Некоторые из его учеников уверяли, что он – сын бога Аполлона, что его бедро сделано из чистого золота, а когда он подошел к одной реке, река вышла из берегов, чтобы приветствовать Пифагора.

              О том, что числа бывают четными и нечетными, знали очень давно. Ведь математика – наука, которая возникла благодаря практическим нуждам человека. У торговца на рынке, раскладывающего товар на прилавке парами, иногда оставались лишними яблоко, хлеб или топор. Но Пифагор занялся изучением свойств четных и нечетных чисел. При сложении двух четных чисел он получил четное число, когда сложил два нечетных числа, тоже получил четное. При сложении четного и нечетного чисел получил нечетное число. Объяснить это у Пифагора вначале не получилось. Но потом он придумал уникальный способ доказательства общих утверждений о числах: стал обозначать числа точками.

              Число 7 Пифагор изображал так: . . . . . . . ; число 6: . . . . . . 

Картинки получались двух видов – у первых была средняя точка, числа стали называть нечетными; у вторых – такой точки не было (нечетные). А произведения чисел Пифагор изображал в виде прямоугольников, доказав, что произведение четного и нечетного чисел – четно; нечетных чисел – нечетно; четных чисел – четно, опираясь на существование средней точки произведения.

…….                          …..                           ….

…….                          …..                           ….                                                

…….                                                           ….

                                                                    ….

            А потом Пифагор усложнил свои фигуры из точек. Стал строить треугольники из чисел:

при этом получались числа 1, 3, 6, 10, 15,… Эти числа получили название треугольных.

                      Свойства:
• Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат: 1+3=4;3+6=9;10+15=25
• Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

За треугольниками последовали квадраты:

Рисунки имели 1, 4, 9, 16 и т.д. точек. Числа соответственно назвали квадратными.

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120 – шестиугольные числа.

          А затем за плоскими фигурами пришел черед многогранников. Из точек Пифагор складывал пирамиды, кубы и другие тела.

1. Совершенные и дружественные числа.  

          Но все эти игры с числами не приносили мыслителю удовлетворения. Его идея, что числа правят миром, требовала подкрепления. Пифагор решил, что справедливость надо изображать числом 4, так как 22 = 4 ( произведение двух первых равных множителей). Кроме того, первыми четырьмя числами он обозначил элементы, из которых, по его мнению, состоял мир.

А вот число 10 он объявил совершенным, ведь 10 = 1 + 2 + 3 + 4.

             Изучая числа, Пифагор занялся делителями чисел. Так, числа 2, 3, 5, 7 он объявил линейными (простыми), эти числа делятся только на единицу и на самих себя.

            Плоские числа – 6,10…, их можно представить в виде произведения только двух множителей.

            Телесные числа – 8, 12,…, эти числа представлялись произведением трех множителей.

            Пифагору очень хотелось получить совершенное число, для этого он складывал все делители числа, кроме самого числа. Пифагор считал число совершенным, если сумма делителей равнялась числу, если сумма делителей меньше числа, число считал недостаточным; если сумма делителей больше числа – избыточным.

         Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них.

Пифагор нашел первое совершенное число 6, ведь его делители 1,2,3 и

               6 = 1+ 2 + 3.

Из-за трудности нахождения и таинственной непостежимости совершенные

числа в старину считались божественными. Так, средневековая церковь

полагала, что изучение совершенных чисел ведет к спасению души, что

нашедшему новое совершенное число гарантировано вечное блаженство.

Существовало такое убеждение: мир потому прекрасен, что сотворен

создателем за 6 дней. А вот род человеческий несовершенен, ибо произошел

от числа 8. Ведь только 8 людей спаслось от всемирного потопа в Ноевом

ковчеге. Знающие могут возразить, что в том же ковчеге спаслись еще семь

пар чистых и семь пар нечистых животных, что в сумме составляет

следующее совершенное число 28. Мартин Гарднер усматривал в этом числе

особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что

число "28" - совершенное. Человеческие руки тоже можно объявить

совершенным орудием по той простой причине, что на обеих руках

насчитывается 28 фаланг. В Риме в 1917 году при подземных работах было

открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала

расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской

академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени

столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давно

забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах. До Евклида

были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал,

существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще

может быть. К концу 20 века было найдено 27 совершенных чисел и все эти

числа являются четными.

    Однажды Пифагор на вопрос, кого следует считать другом, якобы ответил так: «Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Видимо, какое – то необычное свойство сблизило эти числа настолько, что сам Пифагор признал их парой дружественных чисел.

   Дружественными числами называются два натуральных числа, если сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому.

            Возможно, что именно Пифагор и был первооткрывателем этой пары дружественных чисел - первой, наименьшей из возможных и единственно известной на протяжении более чем 15 последующих веков.

 Вторую пару: 17296 и 18416 – открыл марокканский учёный ибн аль-Банна (около 1300 г). Не зная этого через 300 лет (в 1636 г) эту же пару открыл Пьер Ферма.

 Третью пару нашел Ране Декарт в 1638 году, а через 100 лет Эйлер излагает 5 различных методов выявления дружественных чисел и преподносит их ровно 59 пар!

 Следующим математиком после Эйлера, кто пополнил коллекцию дружественных чисел ещё одной парой, был наш великий соотечественник П.Л. Чебышев (в 1851 г), а за ним - тоже одной парой (в 1866 г) – шестнадцатилетний итальянец Николо Паганини (тезка знаменитого скрипача).

           К настоящему времени коллекция дружественных чисел превышает 1000 пар, в ней имеются теперь даже двадцатипятизначные пары чисел.

2.3.Исследование  дружественных и совершенных чисел.

І. Проверю, что каждое из чисел 220 и 284 равно сумме делителей другого числа, не считая его самого.

1.  Найду делители  чисел 220 и 284.

Делители 220:  1;2;4;5;10;11;20;22;44;55;110.

Делители 284: 1;2;4;71;142.

Вычислю сумму делителей числа  220: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110= 284.

Вычислю сумму делителей числа  284: 1+2+4+71+142= 220

Делаю вывод: сумма делителей числа 220 равна числу 284, а сумма делителей числа 284 равна числу 220, значит, числа 220 и 284 являются дружественными.

ІІ. Проверю, что каждое из чисел 6, 28, 496, равно сумме всех его делителей, не считая самого числа.

1. Найду делители числа 6: 1;2;3.

Вычислю сумму его делителей 1+2+3 = 6.

2. Найду делители числа 28: 1;2;4;7;14.

Вычислю сумму его делителей 1+2+4+7+14 = 28.

3. Найду делители числа 496: 1;2;4;8;16;31;62;124;248.

Вычислю сумму его делителей 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496.

Вывод: сумма  всех делителей этих чисел, не считая самого числа,  равна самому числу, значит, это есть совершенные числа.

2.4. Анкетирование учащихся и диагностика результатов по итогам исследовательской работы.

Перед началом работы я решила выяснить актуальность темы.

 Для этого провела в школе среди учащихся 6 – 7 классов анкетирование и выяснила, что с понятием натурального числа знакомы  91% опрошеных, какие числа называются простыми знают также 91%, какие числа называются дружественными – 10%, о числах – близнецах слышали 64%, о совершенных числах – 11%, какие натуральные числа назывались фигурными не знает никто из учеников нашей школы.

    22 из 30 опрошенных учащихся хотели бы узнать об этих числах больше.

На уроке математики, я познакомила учащихся с результатами исследовательской работы. Все факты вызвали большой интерес у моих товарищей.

            3.   Заключение.

В результате изучения различных источников я познакомилась с удивительными натуральными числами: фигурными, совершенными, дружественными.

Предметом исследования стали совершенные и дружественные числа.

При выполнении работы было доказано, что 220 и 284 являются дружественными числами, а числа 6; 28; 496 – совершенными.

При нахождении делителей этих чисел я раскладывала их на простые множители.

Анализ наших решений показал, что  простые числа – это «кирпичики», из  которых строятся все натуральные числа, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».

Эта работа вызвала у меня интерес, и я надеюсь, что она заинтересует и других учащихся. А мне очень хочется узнать еще и о репьюнитах. Думаю, что это станет следующей исследовательской работой.

4. Список   литературы.

1. Волошинов А.В. Пифагор. М. 1993.
2. Депман И.Я. За страницами учебника математики. М. 1989.
3. Депман И.Я. Из истории математики. М.1985.
4. Депман И.Я. Мир чисел. М. 1979.
5. Математический энциклопедический словарь. М. 1988

Интернет-ресурсы                                                  

http://1september.ru 

http://www.iro.yar.ru:8101/resource/distant/math/metrol_00/

http://www.iro.yar.ru 

     http://www.class-fizika.narod.ru