Решение систем уравнений нестандартными способами

Министерство  образования и  науки  республики  Хакасия

Муниципальное  общеобразовательное  учреждение

«Устино-Копьёвская  средняя  общеобразовательная  школа»

Секция  математики

Решение  систем   уравнений  нестандартными  способами.

                                                 Автор:  Полежаева Светлана,

                                                       ученица  9а  класса.  

                                                Руководитель:  Романова  Елена Александровна,

                                                         учитель  математики,

                                                     руководитель  МО.

Устинкино,  2011

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..3

1.Определитель  2  и  3  порядка (правило Крамера)………………………......4

2.Решение  систем  линейных  уравнений  методом  последовательного  исключения  переменных (метод  Гаусса)…………………………...……..…..6

3.Матрица и действия над ними

3.1.Операции  над  матрицами………………………………………………......8

3.2.Обратимость  матриц……………………………………………………….10

3.3. Невырожденная  матрица……………………………………………….....12

4.Решение  матричных  уравнений………………………………………….....13

5.Решение  систем  уравнений  с  помощью  матриц…………………………14

Заключение……………………………………………………………………...15

Литература……………………………………………………………………....16

Приложение……………………………………………………………………..17

Введение

    Основная задача обучения математики в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения дисциплины и продолжения образования.

      Продолженное обучение наряду с решением основной задачи предусматривает выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, подготовку к обучению в ВУЗе.

      Изучив задания из сборника экзаменационных заданий, пробных экзаменационных заданий различных ВУЗов, пришли к выводу, что для успешного их решения нужны не только базовые знания формул и стандартных алгоритмов.

       В связи с этим передо мной встала проблема: при помощи дополнительной литературы выявить имеющиеся методы решения систем линейных уравнений, не рассматривающиеся или рассматривающиеся достаточно бегло в школьном курсе математики, затем помочь широкой массе школьников и будущих выпускников освоить найденные методы. Предложить хорошую возможность достойно подготовиться к вступительным экзаменам и дальнейшему обучению в ВУЗах.

     Цель моей  работы:  нестандартные способы  решения  системы  уравнений.

  Задачи:

• подобрать  и  изучить  литературу  по  данной  теме,
• научиться  решать  системы  линейных  уравнений  с  помощью                  определителя (2 порядка  и  3 порядка),
• научиться  решать  системы  линейных  уравнений  с  помощью    метода  Гаусса,
• научиться  выполнять  основные  операции  над  матрицами,
• научиться  решать  системы  линейных  уравнений  с  помощью  матриц.

Предмет - системы уравнений.

Объект - способы решения систем уравнений.

Гипотеза - существуют ли нестандартные способы решения систем уравнений

Проблема -  исследовать нестандартные способы решения систем уравнений.

1. Определитель  2  и  3  порядка

  Уравнение вида ах+ву=с, где а, в, с- некоторые  постоянные, х и у- перемен- ные, называется  линейным  уравнением  с двумя  переменными. Таковым, например, будут уравнения  2х+3у=7, х+5у=18, 4х+5у=.

Рассмотрю систему двух  линейных  уравнений  с  двумя  переменными.

                               а1 х+в1у=с1,         (1)    

                               а2 х+в2у=с2.      

Решением  системы  двух  уравнений  с двумя  переменными  называется  пара  значений  переменных, обращающая  каждое  уравнение  системы  в  верное  равенство.

Решить  систему  уравнений- значит  найти  все  её  решения  или  доказать, что  решений  нет.

При  решении  системы  двух  линейных  уравнений  с  двумя  переменными  обычно  в  школьном  курсе  алгебры  применяют  либо  метод  подстановки, либо  способ  сложения.

   При  решении  и  исследовании  систем  линейных  уравнений  важную  роль  играют  определители. Здесь  я  введу  понятие  только  определителя  второго  порядка.

Пусть  имеются  четыре  числа  А1, В1, А2, В2, расположенные  в  виде  квадратной  таблицы      А1   В1              (2)

                                          А2   В2   .

Число  А1В2-А2В1  называется  определителем  второго  порядка, соответствующим  таблице  (2). Для  обозначения  определителя  используются  символ     А1   В1              

                 А2   В2     

 Итак, по  определению    А1   В1              

                                           А2   В2     =  А1В2-А2В1

Числа А1, В1, А2, В2  называются  элементами  определителя. Говорят, что  элементы А1, В2  лежат на главной  диагонали, а элементы А2, В1–на побочной. Таким  образом, определитель  второго  порядка  равен  разности  между  произведениями  элементов, лежащих  на  главной  и  побочных  диагоналях. Например,    1  -2                                    3   1

                      5   7   = 1*7-5*(-2)=17;      6   2   = 3*2-6*1=0.

Возвращаюсь вновь  к  системе  (1). Её решение  выражается  с  помощью  формул:         с1в2-с2в1                 а1с2-а2с1         (3)

                 Х=   а1в2-а2в1   ,  У=   а1в2-а2в1    ,    

в которых  фигурируют разности : а1в2-а2в1, с1в2-с2в1, а1с2-а2с1 .

Каждая  из  этих  разностей  является  определителем  второго  порядка,

именно:   а1в2-а2в1=   а1   в1      ,  с1в2-с2в1=   с1   в1    ,  а1с2-а2с1=    а1  с1

                                                      а2   в2                         с2   в2                          а2  с2         .

Первый  из  определителей  составлен  из  коэффициентов  при  переменных  системы. Его  называют  определителем  системы  и  обозначают  через Δ.

Определитель   с1  в1  получается  из определителя Δ  в  результате  замены

                           с2   в2

столбца  из  коэффициентов  при  х  столбцом  свободных  членов  и  обозна- чается Δх.

Определитель   а1  с1    получается  из определителя Δ  в  результате  замены

                           а2  с2

столбца  из  коэффициентов  при  у  столбцом  свободных  членов  и  обозна- чается Δу.

Таким  образом, формулы (3), справедливы  при  Δ=а1в2-а2в1=0,могут  быть записаны  через  определители  в  виде        Δх  ,       Δу    (4)

                                                                      Х=  Δ       У=  Δ    .

Эти  формулы  называют  формулами  Крамера.

Решение  систем  уравнений  с  помощью  формул  Крамера:

1. 3х+7у=41,

5х-4у=-10.                                             3   7

Подсчитаю  определитель  системы: Δ=   5  -4  =3*(-4)-5*7=-12-35=-47.

Так  как  Δ=0, то  формулами (4) пользоваться  можно. Найду Δх  и  Δу:

Δх=   41    7  =-164-(-70)=-94;  Δу=   3   41  =-30-205=-235.

         -10  -4                                         5  -10

Следовательно, х=Δх  =-94=2,  у=Δу =-235 =5.

                                 Δ      -47           Δ      -47        Ответ:(2;5).

   2)  3х+4у=5,    Δ=  3   4    =3*3-5*4=9-20=-11.

           5х+3у=1.                5   3 

Δх=   5  4    =15-4=11;  Δу=  3  5     =3-25=-22.

          1  3                                5  1

х=  11  =-1,   у=  -22 =2.  

      -11                  -11        Ответ(-1;2).

    3)   х2+3у2=5,  Δ=  1   3   =1*(-2)-3*1=-2-3=-5.

          х2-2у2=4           1  -2

Δх=  5  3 =5*2-4*3=10-12=-2  Δу=   1  5  =1*4-5*1=4-5=-1    

         4  2                                             1  4

х2=-2/-5=0,4    х=√0,4 ,  х=-√0,4  ;     у2= -1/-5=0,2    у=√0,2   ,у=-√0,2      

 Ответ:( √0,4; √0,2), (- √0,4; √0,2), (-√0,4;- √0,2), (√0,4;- √0,2).

Решение  систем  линейных  уравнений  с  использованием  определителя  третьего  порядка  по  методу  Крамера:

   а1х+в1у+с1z=k1          а1 в 1   с1

    a2x+в2у+с2z=k2   Δ=  а2   в2  с2      =0-система  имеет  одно  решение.

   а3х+в3у+с3z=k3             а3   в3   с3              Δх= k1  в1 с1   Δу= а1  k1 c1    Δz= а1 в1 k1

                                                                      k1 в2  с2              а2  k2 c2               а2 в2 k2

 Δ=0   Δ i=0     x=Δx/Δ                                 k 1 в3  с3              а3 k3 c3               а3 в3 k3

                                      у=Δу/Δ     z=Δz/Δ-система  не  имеет  решения.

Δ=0   Δi=0-  система имеет  множество  решений.

1. х1-х2+3х3=3                 1 -1 3

2х1+2х2+2х3=6     Δ=  2  2  2   =10-6+6-18+10-2=0

3х1+х2+5х3=9              3  1 5

           3 -1 3                                                  1 3 3

Δх1=   6 2 2   =5-18+18-54+30-2=0    Δх2= 2 6 2  =30+18+54-54-30-18=0

           9 8 5                                                   3 9 5

           1-1 3                                            4х2-4х3=0           =>х3-свободный  член.

Δх3=   2 2 6   =18-18+6-18+18-6=0       2х1+2х2+2х3=6    

           3 1 9          х2=х3   2х1+4х3=6    х1=6/2-х3=3-2х3  Ответ:(3-2х3,х3,х3).

2. Решение  систем  линейных  уравнений  методом  последовательного  исключения  переменных (методом  Гаусса)

Решение систем  линейных  уравнений  методом  последовательного  исключения  переменных(методом  Гаусса) покажу  на  примере  решения  системы  трёх  уравнений  с  тремя  переменными:

                                             а1х+в1у+с1z=d1,

                                                                      а2х+в2у+с2z=d2,    (1)

                                             а3x+в3у+с3z=d3, 

Причём предполагается, что  в  каждом  уравнении  системы  хотя  бы  один из  коэффициентов  при  переменных  отличен  от  нуля.

Алгоритм  метода  последовательного  исключения  переменных  может быть таким:

а) Записывают  систему  в  виде(1),т.е. соблюдая  в  каждом  уравнении  системы  один  и тот  же  порядок  следования  переменных.

б) Преобразуют  систему  в  такую   равносильную  систему, в  которой  в первом  уравнении  коэффициент  при  первой  переменной  равен  единице. Для  этого  первое  уравнение  делят  на  коэффициент а1 = 0.Иногда  того  же  результата можно  добиться, меняя  порядок  следования   уравнений.

в) Исключают  первую  переменную  из  второго  уравнения. Для  этого  из  второго  уравнения  вычитают  первое  уравнение, предварительно  умноженное  на  а2.

г) Исключают  первую  переменную  из  третьего  уравнения. Для  этого из  третьего уравнения  вычитают  первое  уравнение, предварительно  умноженное  на  а3.

д) Далее  работают  со  вторым  и  третьим  уравнениями  и, повторяя  процесс,  исключают  вторую переменную  из  третьего  уравнения. В результате  система  приобретает треугольный  вид х+b1у+с1z=d1,       b2у+с2z=d2,  (2)

                                                                                    c3z=d3, 

где в1,с1,…,d3-новые, изменившиеся  в  процессе  вычислений, значения  коэффициентов.

е) Теперь  из третьего уравнения  системы(2)(если с3 = 0)находят переменную

Z=d3/c3, используя  это  значение, из  второго  уравнения  находят  у  и, наконец, из  первого  уравнения  находят  значения  переменной  х.

Если  в  третьем  уравнении  системы(2) оказалось, что  с3=0, а  d3=0, то  это  означает, что  уравнение  0*z=d3 не  имеет решений, а  значит,  не  имеет  решений и  вся  система. Если  же   с3=0  и  d3=0, то  уравнение  0*z=0 имеет  бесконечное  множество  решений, т.к.  последнее  равенство  верно  при  любом  действительном z(z€R). Следовательно, и  система (2) имеет  в  этом случае  бесконечное  множество  решений.

I)   4х-у+4z=0,             x+5y-2z=3, ׀‌∙(-4)     -4x-20y+8z=-12,      4x+20y-8z=12,          

      x+5y-2z=3,        4x-y+4z=0,          4x-y+4z=0,         -21y+12z=-12,  

      -x+8y-2z=1            -x+8y-2z=1             -x+8y-2z=1                        -x+8y-2z=1 

          x+5y-2z=3 ,                      x+5y-2z=3,                 x+5y-2z=3,          x+5y-2z=3,                              

      -21y+12z=-12,    -21y+12z=-12,    -y+4/7z=-4/7,  -13y+52/7z=-52/7,

      -x+8y-2z=1              13y-4z=4                13y-4z=4             13y-4z=4  

      x+5y-2z=3,                 x+5y-2z=3,       x-5y=1,             x=1-5∙0,       x=1,  

     -13y+52/7z=-52/7,  - y-4/7z=4/7  y=4/7-4/7,     y=0,         y=0,

      24/7z=-24/7                  z=-1                 z=-1                  z=-1              z=-1.

Ответ:(1;0;-1).

II)  x+2y-z=3,           2x+4y-2z=6,         2x+4y-2z=6,            x+2y-z=3,      

     2x-y+z=2,        2x-y+z=2,         -5y+3z=-4,            -5y+3z=-4, 

     x-3y+2z=5           x-3y+2z=5            x-3y+2z=5                x-3y+2z=5  

     x+2y-z=3,               x+2y-z=3,

        -5y+3z=-4,         -5y+3z=-4,

        -5y+3z=2                  0∙z=6.                

Последнее  уравнение  системы  при  Z€R  не  имеет  решения, поэтому  исходная  система  уравнений  не  имеет.

Ответ: решений  нет.

3. Системы  линейных  уравнений  и  матрица

3.1 Операции над  матрицами

  Матрицей  называют  прямоугольную  таблицу,  состоящую  из  чисел  или  элементов  другой   природы   принадлежащими   некоторому  полю. Элементы  матрицы  располагаются   в  строки  и  столбцы (иногда  их  называют  колонками). Строки  и  столбцы  часто  называют  собирательным  термином  «ряды  матрицы». Элементы  матрицы  часто  обозначают  двойными  индексами  -аij ; Первый  индекс  i означает  номер  строки  матрицы, в  которой  стоит  элемент  аij, второй   индекс j номер  столбца.     В  символическом  обозначении  матрицы  обычно  заключается  в  круглые  или  квадратные  скобки  или  двойные  вертикальные  черточки.

Я  буду  рассматривать  действия   матрицы ,однако   все  сказанное  для  них распространяется  и  на  матрицы, элементами  которых   являются  представители  любого  поля.              

Пара  чисел  m, n  называют  тип  матрицы  А. Если  m=n , то  матрицу А называют  квадратной  порядка n.

                а11а12 …а1n

   А=       а21а22…а2n    

                 . . . . . . .
               аm1am2...amn

 Две  матрицы  А  и  В  называются  равными,  когда  они  одинакового  типа    и  соответственные  элементы  у  них  равны.

                           Сложение  однотипных  матриц.

 Пусть  А  и  В  однотипные  матрицы,                                

 A=(aij)mn          B=(bij)mn 

суммой  А+В   называется  матрица  того  же   типа        

                                                С=(аij+bij)m

Замечание. Сложение  однотипных  матриц  сводится  к  сложению действительных  чисел, элементов  этих  матриц.

Свойства  сложения  однотипных  матриц:

1.А+В=В+А- коммутативность.

Пример:   А=   1   2       ,     В=   1   8

                         5   -1                     3   5

  А+В=   2    10          В+А=   2   10

           8     4                        8    4

А+В=В+А

2.(А+В)+С=А+(В+С)-ассоциативность.

Пример:     А=     3  2      ,      В=    1  4      ,        С=    0   -3

                             1  6                      -5  8                       9    2

    (А+В)+С=   4    3                 А+(В+С)=     4    3

                         5   16                                      5    16

(А+В)+С=А+(В+С)

                            Умножение  на  действительное  число.

 Пусть  для  любого      α €   R         A  €    ¥ mn   

 и  пусть  А=(а ij)mn ,тогда       А=( α аij)mn

Пример:   1)А=  2   3        α =3

                            1   4

3А=  6    9

         3   12

2) А= ( 1   2    4    3 )          α =2         2А= (  2   4    8    6 )

                               Умножение   матриц.

Произведение   А•В  матриц  определено  лишь  тогда, когда  количество  столбцов  в  матрице  А  равно  количеству  строк  в  матрице  В

Если   А=(аij) mn    ,    B=(bj  ) nk                                                                 

                               Умножение  матриц.

Произведением  матриц  А и  В  называется   матрица  С  типа(mk), каждый  элемент  которой   определяется  по  следующему  правилу

C=(ci   )mk

 (1)  ci  =ai1•b1  +ai2•b2   +...+ain•bn  =   ∑ aiβ•bβ      

-9-

Пример:     А=   1   2        тип(3,2)                  А•В=    1    3    5

                          -1  0          В=   1  -1  3                         -1   1  -3

                            0  3                 0   2  1                         0   6    3

 Произведение  любых  квадратных  матриц  одного  порядка   определено   всегда.

                           Свойства   умножения   матриц.

     1  А•В≠В•А-  не  коммутативно

Пример:       А=    1    2               В=     1    -1    3

                                   -1   0                          0    2     1

                               0    3        

А•В=   1    3    5             В•А=  2   11

           -1    1   -3                       -2    3                          

А•В≠В•А

      2   (А•В)•С=А•(В•С)- ассоциативно

Пример:        А=   4   1  0           В =  5   3   2

                               3   6  2                   1   0   6                        С =     1   0  

                                                             1   0  -1                                   2   4

                                                                                                            5   3

(А•В)=    115      90              А•(В•А)=    115      90              

                243     164                                 243     164                                                        

(А•В)•С=А•(В•С)

      3  (А+В)•С=А•С+В•С-  дистрибутивно

Пример:      А=     1    0    4         В=    2    0    6        С=    0    1    6

                               3    5    2                  1    3   -1                4    3   -1

                              -1    2    0                  0    4    2                5    2    4

(А+В)•С=     50     23    58            А•С+В•С =     50     23    58  

                      34     30    20                                    34     30    20

                      34     21    -4                                     34     21    -4

(А•В)•С=А•С+В•С

3.2 Обратимость   матриц

    В  этом    пункте   я   буду    рассматривать   только    квадратные  матрицы  порядка  n.

Единичная  матрица.

                           Квадратная   матрица   Е=   1    0    0 … 0

                                                                          0    1    0 … 0

  называется   единичной    матрицей.           …………….                            

                                   0    0    0 … 1

   Для  любой   квадратной  матрицы   А  порядка   n   справедливо   равенство  А•Е=Е•А=А

Пример:   А=   1    2          Е=   1   0

                         -1   3                  0   1

А•Е=   1    2         Е•А=  1   2      

           -1    3                   -1  3

А•Е=Е•А=А

Обратимые  матрицы

 Квадратная    матрица  А  называется   обратимой, если  существует   такая   матрица   В, что  выполняются  равенства:

 А•В=В•А=Е   (1)           ,                 В=А-1  (2)

  Утверждение 2: Если  матрица  А  обратима, то  существует  только  одна   матрица   удовлетворяющая   определение  2   равенству  (1).

Пример:

А=   2   3          В=   2/7      -3/7               Е=   1  0

        -1  2                 1/7       2/7                        0  1

А•В=  1   0    =В•А=Е

           0    1          

  Элементарные  матрицы

Определение: Матрица , полученная  из   единичной   при  помощи  одного   элемента  преобразования    называется   элементарной   матрицей.

Е  α  ( i )  уложение i строки   по  α.    

Е ( i )  ( j )   замена       i -й  сроки   j- й  строкой.

E ( i )  ( j )

E   - где    некоторый  элемент  преобразования.

Пример:

Е=   1   0   0             ,     Е 2i=     2   0   0           E 2i+ 1=   3  1  1

 0   1   0                               0   2   0                           1  3  1

 0   0   1                               0   0   2                           1  1  3

                     Свойства  элементарных  матриц.

1    Любая  элементарная  матрица  обратима, причем  матрица  обратная  к  элементарной , тоже  является  элементарной.

Пример:  Е=    1   2  0                  Е-1 =     1/2     1        0

                         0   5  4                                 0     5/2      2

                         0   3  1                                0      3/2     1/2

2     Произведение  элементарных   матриц  является  обратимой  матрицей.

3     Если   строчное  элементарное  преобразование      переводит  матрицу  А  в  матрицу  В , то В=Е  •А, где  Е  - элементарная   матрица.

Пример:  А=   1   0   2            умножим  i -ую  строку ( i=1) , на  2.

                        -2  4  -3

                        -1  2   1      

   B= E2 •A=    2    0    4

                        -2   4   -3

                        -1   2     1

  4     Если матрица  С  получена  из  матрицы  А  при  помощи  элементарных        преобразований φ1 ,…, φs, то  С= Еφ s • … •Еφ1•А.

3.3 Невырожденная матрица

Определение: Квадратная  матрица  А называется  невырожденной, если  ее  строчки  образуют  систему  векторов  и  вырожденной  в  противном  случае.

Теорема :   (о  приведении   невырожденной  матрицы  к  столбовой)

  Любая  невырожденная   матрица   при  помощи  строчных элементарных  преобразований  может  быть  приведена  к  столбовой.  

Пример: А=  0   1    1         1    3    1          1   3   1         1    3    0        1   0   0

                      1    3    1         0    1    1         0    1   1         0    1    0        0   1   0   =А

                      1    4    1         0    1    0         0    0  -1         0    0   -1        0   0  -1    

Практический способ  нахождения  обратной  матрицы.

Еφs •  . . . • Eφ1  •A=E  

           A-1                         

Матрица  А  обратима   как  произведение  элементарных  матриц, т. е.   Существует  матрица  А-1.                      (А/ Е)-----------(Е/А-1)

Пример:  А=   1   0   0         Найти   А-1       

                         1   0   1

                        -1   2   1    

    1  0  0       1  0  0         1  0  0       1  0  0         1  0  0      1    0      0

    1  0  1       0  1  0         0  0  1      -1  1  0         0  1  0      1  1/2   1/2

  -1   2  1       0  0  1         0  0  1       1  0  1         0  0  1      -1   1      0        

А-1=  1    0    0  

         1  1/2  1/2

         -1   1    0  

4. Решение  матричных  уравнений

А ) А•Х=В     Х=А-1•В     ( А  Е ) = ( Е  А)

А=   1  2         В=    3  5                      1  2                 3  5

        3  4                  5  9                      3  4     •Х=     5  9

 1  2      1  0         1  2       1  0       1  0     -2  2      1  0      -2      1

  3  4      0  1        0 -2     -3  1       0 -2     -3  1       0  1     3/2  -1/2

Х=   -2        1         3  5    =     -1  -1

         3/2   -1/2       5  3            2    3

Проверка:

  1  2        -1  -2        3  5

  3  4         2    3        5  3

Б)  Х•А=В      Х=В•А-1      (А Е)  =  ( Е А )

 А=    3   -2      В=   -1    2                                3   -2          -1  2

          5   -4              -5    6                       Х•     5   -4    =   -5   6

     3  -2   1   0                3   -2      1    0        3    0       6   -3       1   0        2       -2

      5  -4    0   3                  0   -2     -5    3        0   -2      -5   3        0   -2      5/2   -3/2

         -1    2          2        -1            3   -2

Х=    -5    6        5/2     -3/2     =   5    4

Проверка:

   3   -2       3  -2            -1   2

   5   -4      5   -4     =     -5   6

В)А•Х=В        Х =А-1•В    ( А Е ) = ( Е  А )

 А=    1    2    -1       В=     3     1     0             1     2   -1                3      1      0

          1    3     2                 -1    6     3             1     3    2                - 1     6      3

          -2  -4   -1                  3    -3    1             -2   -4   -1   •Х  =    3     -3      1

  1   2   -1    1   0   0      1   2  -1   1   0   0         1   2    -2    1   0   0

  1    3    2   0   1   0      0    1   3  -1  1   0         0   1      3   -1   1   0

  -2  -4  -1   0   0   1      0    0  -3   2   0   1        0   0     -3    2   0   1

 -3   -6   0   -1   0   1          -3   0   0   5   6   7         1    0    0   -5/3   -2    -7/3

   0    1    0   1    1   1          0   1   0   1   1   1          0    1    0    1      1      1

   0    0  -3    2    0   1         0    0  -3   2   0   1          0    0    1   -2/3   0    -1/3  

       -5/3    -2    -7/3      3    1    0        -10   -20/3   -25/3  

Х=      1      1       1    •  -1   6    3   =    5        4          4

        -2/3    0    -1/3       3   -3    1        -3      1/3     -1/3

Проверка:

 1    2   -1     -10   -20/3   -25/3      3    1    0

 1    3    2       5       4           4    =  -1    6   3

-2   -4  -1      -3      1/3      -1/3      3    -3   1

5. Решение  систем   уравнений   с   помощью   матриц

Пример  1:                                                Пример 2:

                     x+2y=5                                                         3x-y=2

                     4x-y=2                                                          x+2y=4

 1   2    5            1    2       5                           3   -1    2          3   -1    2

  4  -1   2            0  -9     -18                          1    2    4          0   -7   -10

-9y=-18                                                       -7y=-10       3x-10/7=2•7

y=-18/-9=2                                                  y=10/7        21x-10=14     21x=24

x=5-4=1                                                      x=24/21=8/7

Ответ: (1; 2).                                              Ответ: (8/7; 10/7).

 Пример 3:                                                  Пример 4:    

                      x2+4y2=2,                                                     x2-2y2=3 ,    x2-y2=3,

                      3x2-2y2=-1 ;                                                 2y2-x2=2 ;    -x2+2y2=2;  

 1    4        2          1      4     2                      1   -1     3       1   -1      3

 3   -2      -1          0    -14   -7                     -1   2      2       0    1      5

-14y2=-7                                                     y2=5                

у2=1/2                                                         y1=√ 5,  y2= - √5                                                

 х2+2=2,                                                      х2=8

 у1=1/√2 ,  у2=-1/√2  ;                                 x1=2 √ 2  , х2=-2 √ 2

х1=0,  х2=0

Ответ:(0; 1/ 2 ), (0;-1/ 2 ).            Ответ: (2√2; √5),(-2√2;- √5),( 2√2;-5),(-2√2;5).

                       2х+у-z=2

                        3x-2у+3z=0

                       -x+y-z=0

 2    1    -1    2    2    1   -1   2        2    1   -1      2         2x+y-z=2       x=2/3  

 3   -2     3   -1    0   -7   9   -8       0   -7    9     -8         -7y+9z=-8      y=-1

 -1   1    -1   0     0    3  -3    2       0    0    6    -10         6z=-10           z=-10/6=-5/3

-7y+9•(-5/3)=-8     -7y-15=-8     -7y=-8+15    -7y=7   y=-1

2x-1+5/3=2       2x=2+1-5/3       2x=3-5/3  •3n     6x=9-5   6x=4   x=2/3

Заключение

  В заключении следует отметить, что решением  системы  двух  уравнений  с двумя  переменными  называется  пара  значений  переменных, обращающая  каждое  уравнение  системы  в  верное  равенство.

Решить  систему  уравнений - значит  найти  все  её  решения  или  доказать, что  решений  нет.

   При  решении  и  исследовании  систем    уравнений  важную  роль  играют  определители. В своей  работе  я  рассмотрела определители  второго и  третьего порядка. Определитель и  метод  Крамера,  который характеризуется тем, что определитель  второго  порядка  равен  разности  между  произведениями  элементов, лежащих  на  главной  и  побочных  диагоналях, позволяют  с  легкостью  решить  систему уравнений.

 Одним  из  рассмотренных способов  исследования  систем уравнений, является  решение  систем  уравнений  методом  последовательного исключения переменных (методом  Гаусса), заключающегося  в  приведении  системы  в равносильную  ей  систему, имеющую треугольный  вид. Причём предполагается, что  в  каждом  уравнении  системы  хотя  бы  один из  коэффициентов  при  переменных  отличен  от  нуля. Процесс  решений  систем  уравнений  сводится  к последовательному  переходу   от  данной  системы  к  другой, более  простой, затем  к  ещё более  простой   и  т.д. , до  тех  пор, пока  не  будет  найдено  решение  системы.

  Рассмотренным  мной  способом является  решение  систем  уравнений  с  помощью   матриц. Матрица- это прямоугольная  таблица,  состоящая  из  чисел  или  элементов  другой   природы,  принадлежащая   некоторому  полю. Элементы  матрицы  располагаются   в  строки  и  столбцы. Следует отметить, что матрица необычная таблица, с которой можно производить операции: сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение двух матриц, а также решение матричных уравнений. Приводя  матрицу  к  ступенчатому  виду  можно  с лёгкостью  решить  систему  уравнений.

  Исследование показало, что с помощью определителя решение систем уравнений более просто и легко применимо, в некоторых случаях  при  решении  систем  уравнений проще использовать метод  последовательного  исключения  переменных  или  матрицы. Единственный недостаток всех методов это то,  что данными методами можно воспользоваться только при решении линейных систем уравнений или систем уравнений, все переменные которых будут иметь одну и туже степень.

  На мой взгляд, поставленная цель и задачи выполнены полностью, так как я научилась решать системы уравнений нестандартными  способами: с помощью определителя, методом  последовательного  исключения  переменных, матрицы.

Литература

1. Армонак К.С. Личность, мышление  и  я.  М., Просвещение, 1984г.

2. Бададина Е.А.  За  страницами  учебника  математики. М., Просвещение, 1988г.

3. Глейзер Г.И.  История  математики. М., Просвещение, 1982г.

4. Детская  энциклопедия. М., Наука, Т-2, стр.308.

5.Леонтьева И.Р. и  др. Упражнения  в  обучении  математики.  М., Просвещение, 1991г.

6. Литвененко В.Н.  Задачи на развитие  пространственного  представления.

  М., Просвещение, 1994г.

7. Лоповок  Л.М. Математика  на  досуге. М., Просвещение, 1981г.

8.Саранцев  Г.И. Упражнения  в  обучении  математики. М.,

Просвещение, 1995г.

9.Якиманская  И.С. Развитие  пространственного  мышления. М.,Просвещение,1989г.

10.Янеская  Е.П. Матрицы. М., Просвещение, 1984г.

Приложение

Задачник

1. Решить системы уравнений по формулам Крамера:

    а)  

     Ответ: (1; 2; 3).

    б)

    Ответ: (1; -2; 0).

    в)  

    Ответ: (-2; 1; -1).

2. Решить системы уравнений методом Гаусса:

    а)

   Ответ: (1; 1; 1;).

    б)

   Ответ: (1; -1; 2; 0).

    в)

   Ответ: (1; 1; 1).

   г)

   Ответ: несовместна.

3. Решить системы уравнений с помощью обращения матрицы:

   а)  

   Ответ: (24; -10).

   б)

   Ответ: (3; 0; -2).