Уравнения, содержащие параметр

Муниципальное казенное учреждение

Солонецкая СОШ

Работа по математике

                                                 на тему

«Уравнения, содержащие параметр»

                                                                        Ученика 10-го класса

                                                                       Киреева Данила

                                                                       Руководитель Василевская В.С.

                                            Солонцы, 2013

Оглавление.

I Введение ……………………………………………………………………3

IIОсновная часть…………………………………………………………..…4

1.Основные правила………………………………………………………….4

2.Основная идея решения уравнений с параметрами………………………5

3.Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным…………..6

4.Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным………9

5.Иррациональные уравнения……………………………………………….13

6.Покаательные и логарифмические уравнения……………………………18

IIIЗаключение…………………………………………………………………23

IV Список литературы………………………………………………………..24

I Введение

 Меня увлекает процесс решения уравнений. Изучая в 10 - 11 классах «Алгебру и начала анализа» по традиционной системе обучения (2 часа в неделю) невозможно хорошо изучить материал без самостоятельной работы дома, поэтому я  поставил перед собой цель: повысить уровень математической подготовки.

Одним из результатов достижения поставленной цели является работа  по теме « Уравнения, содержащие параметр».

Вопрос о решении задач с параметрами  в рамках школьного курса математики освещен недостаточно и  для учащихся общеобразовательных школ они являются задачами повышенной трудности. А задачи с параметрами часто встречаются на вступительных экзаменах по математике, поэтому мне кажется, что задачам с параметрами следовало бы уделять больше внимания. Они представляют чисто математический интерес, способствует интеллектуальному развитию, служат хорошим материалом для отработки навыков, позволяют углубить знание основных разделов математики.

В самом начале знакомства с параметром возникает некий психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой – конкретное значение параметра не известно. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой – он может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это неизвестная известная, переменная постоянная величина. Этот «каламбур» очень точно отражает существо тех сложностей, которые я решил преодолеть при работе над данной темой. А именно рассмотреть различные методы решения уравнений с параметрами и преодолеть страх при их решении, а также углубить знания по данной теме.

                                             II Основная часть

1 Основные правила

Рассмотрим уравнение f(а,в, с, ….., к., х) = ( а, в, с, ….., к., х)  ,

где  а, в, с, …., к, х – переменные величины.

Любая система значений переменных а = а0, в = в0, с = с0, …., к = к0,,

х = х0,, при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные  значения, называются системой допустимых значений переменных а, в. с, ….., к., х..  Пусть А – множество всех допустимых значений а, В - множество всех допустимых значений в,  и т.д., Х - множество всех допустимых значений х, т.е.  Если из каждого из множеств А,В, С, …, К  выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению а, в, с, …, к и подставить их в уравнение  f(а,в, с, ….., к., х) = ( а, в, с, ….., к., х), то получим уравнение относительно х, т.е. уравнение с одним неизвестным.  Решение его зависит от выбранной нами системы значений а, в, с, …, к и будет иметь определенное числовое значение при каждом таком выборе, следовательно, решение уравнения относительно х является функцией от   а, в, с, …, к. Если обозначить это уравнение через F(а, в, с, …, к), то получим

f[а,в, с,…, к., F(а, в, с,…, к), F(а, в, с,…, к)]= [ а, в, с,..., к., F(а, в, с,…, к) ].

Переменные а, в, с, …, к , которые при решении уравнения

f(а,в, с, ….., к., х) = ( а, в, с, ….., к., х) считаются постоянными,           называются параметрами, а само уравнение  f(а,в, с, ….., к., х) =

( а, в, с, ….., к., х)          называется уравнением, содержащим параметры.

Условимся в дальнейшем параметры обозначать первыми буквами латинского алфавита: а, в, с,d, ….., к,l,m,n, а неизвестные – буквами х, у, z.

Решить уравнение f(а,в, с, ….., к., х) = ( а, в, с, ….., к., х) – значит  указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения , содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Необходимо иметь в виду, что если при каком-нибудь значении параметра

   а= а0   данное уравнение не имеет смысла, то, разумеется, и решения нет при а = а0

2.Основная идея решения уравнений с параметрами 

Я начала изучение уравнений с параметрами с решения простых уравнений.

Пример 1. Решить уравнение   х – а = 0.     Ответ: при

Пример 2. Решить уравнение 5х = а.  Ответ: при :5 Пример 3. Решить уравнение х : 2 = а. Ответ: при

Пример 4. Решить уравнение   а х = 10

Пример 5.Решить уравнение 0 · х = а .

Ответ: при а 0 корней нет, при а=0 х R

Пример 6. При каждом значении параметра а решить уравнение  а х – 6 = 2а – 3х

Решение. Перепишем уравнение в виде ( а + 3) х = 2( а + 3)

Рассмотрим два случая а = - 3  и а ≠ -3

При а = - 3  имеем 0 х = 0  

При а ≠ -3  уравнение имеет единственный корень х = 2

Ответ:  при а = - 3   и  х = 2    при  а ≠ -3  

Пример 7. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнения ах – 5 = х + а   и  а2 х – 3 = х + а2 имеют общий корень.

Решение. Перепишем первое уравнение в виде ( а -1) х = а + 5

Полученное  уравнение имеет корень лишь при , равный  

Перепишем второе уравнение в виде ( а2 – 1) х = а2 + 3 . Это уравнение имеет корень лишь при , т.е.

Осталось найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнения   ах – 5 = х + а   и  а2 х – 3 = х + а2 имеют общий корень. Для этого решим уравнение . Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и, упростив разность алгебраических дробей получим уравнение

Ответ:

Вывод. Решение задач с параметрами начинается с исследования. Отдельными элементами исследования являются формирование условий нахождения области допустимых значений уравнений, т.е. нахождение множества значений неизвестного и параметров, в пределах которого определены все рассматриваемые функции. После формирования условий О.Д.З., как правило, исходное уравнение сводится к равносильному

уравнению.  

3.Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным

Пример8.Решить уравнение ( а2 -9 ) х = а2 + 2а – 3

Решение Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра. Разложим трехчлен  а2 + 2а – 3  на множители , получим

                   а2 + 2а – 3 ==(а+3)(а-1)

Запишем уравнение в виде ( а-3) (а+3)х = (а+3)(а-1).

Если а = -3, то уравнение принимает вид: 0·х = 0 Отсюда следует, что хR, т.е. корнем уравнения является любое действительное число.

Если а  -3. то уравнение принимает вид: (а – 3) х = а – 1.

При а = 3 имеем 0·х =2. Уравнение корней не имеет.

При а  3 имеем . Уравнение имеет единственный корень.

Ответ: а = -3, хR;     а = 3,  х Ø;       а  -3 и а  3,  .

Пример 9. Решить уравнение ( а2 - 1) х –(2 а2 + а – 3)=0

Решение. Перепишем в виде  ( а2 -1 ) х = 2а2 + а – 3. Данное уравнение является линейным относительно х. Оно имеет смысл при любых значениях параметра а.

 Разложим на множители левую и правую части уравнения

                               ( а -1)( а+1) х =

                               ( а -1)( а+1) х =

При а = 1 уравнение примет вид 0·х = 0 т.е. решением его служит любое действительное число.

При а = - 1 уравнение имеет вид 0·х = -2, т.е. не имеет решения

При  уравнение имеет единственное решение

Ответ:  а = 1, хR;     а = - 1, х Ø;       ,

Пример 10 .Найти корни уравнения

Решение. О.Д.З. : х -1, а 0

Преобразуем данное уравнение, умножив обе его части на а ( х+1) 0

              (х-4) а – 1 = -2 (х+1)

             ха – 4а -1 = -2 х – 2

              ха +2 х = 4 а – 2+1

               ( а+2) х = 4 а – 1

Если а = -2 то имеем 0·х = -9. Следовательно х Ø.  Если а -2 то .

Учитывая О.Д.З. х -1, проверим нет ли таких значений а, при которых найденное значение х равно -1.

, т.е. 4 а – 1 = -а – 2 или 5 а = -1, а = -0,2.

Значит, при а 0,  а -2,  а -0,2   уравнение имеет единственный корень

Ответ: х Ø при ;     х =  при

Пример 11. Решить уравнение

Решение. О.Д.З. m 1, х -3

Умножим обе части уравнения на (m-1)(х+3), получим уравнение

3 mх – 5 + (3 m-11)(х+3) = (2х+7)( m -1)

3 mх – 5 + 3 mх +9m – 11х – 33 -2 mх +2х -7m +7 = 0

4 mх - 9х -31 +2m = 0

(4m – 9) х = 31 - 2 m

При m 2,25  

Проверим, нет ли таких значений m, при которых найденное значение х равно -3.

           31 - 2 m  = -12 m +27     10 m = - 4       m = - 0,4

Таким образом:  при m 1, m 2,25, m -0,4 уравнение имеет единственное решение

                             При m=2,25, m = - 0,4 решений нет

                             При m = 1 уравнение не имеет смысла

Ответ: при m 1, m 2,25, m -0,4    

                             При m=2,25, m = - 0,4    х Ø

                             При m = 1 уравнение не имеет смысла

Пример12. Решить уравнение

Решение. О.Д.З  х  ± в2

Умножим обе части уравнения на  в4 - х2 0, получим уравнение

        (а2 + х)( в2 + х) -  (а2 - х)(в2- х)  = 4авх + 2а2 – 2в2

а2 в2 + а2х +х в2 + х2 - а2 в2 + а2х +х в2 -  х2- 4авх -2а2 + 2в2 = 0

2а2х + 2хв2   - 4авх -2а2 + 2в2 =0

а2х + хв2  - 2авх  - а2 + в2 =0

а2х + хв2  - 2авх  =  а2 - в2

(а2 +в2  - 2ав) х  =  а2 - в2

(а – в)2х  =  а2 - в2

При а = в  оно принимает вид: 0 х = 0, т.е.  х – любое действительное число  кроме х  ± в2

При а   в    

Найдем теперь те значения а и в, при которых 

а)   при а+в = а в2 - в2  т.е. при

в)  при а+в = -а в2 +  в2  т.е. при

Ответ: При а   в,   ,        

            При а = в  х – любое число, кроме х  ± в2

             При ,  решений нет.

4.Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным

Уравнения вида а х2 + в х + с =0, где х – неизвестное, а, в, с – выражения, зависящие только от параметров и а 0, называется квадратным относительно х. 

Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых а, в, с – действительны.

Пример 13. Решить уравнение m х2 + 3 m х – (m+2) = 0

Решение. Данное уравнение имеет смысл при любых значениях параметра m.

При m=0 уравнение принимает вид  0 х2 + 0 х – 2 = 0 и не имеет корней

При  m0 уравнение является квадратным  

 D = 9 m2 – 4 m (- (m+2)) = 9 m2 + 4 m2 +8 m = 13 m2 + 8 m = m ( 13 m +8)

Квадратное уравнение имеет корни, если D ≥ 0

m ( 13 m +8) ≥ 0      при m или m > 0  

т.е. при m или m > 0   уравнение имеет два корня

Ответ: при m=0 х Ø; при m или m >0  

Пример 14.Решить уравнение ( а – 5) х2 + 3 а х – ( а – 5) = 0

Решение.  При а = 5 имеем 15 х =0   х = 0

     При а 5  D=  9 а2 + 4( а – 5) ( а – 5) = 9 а2 + 4( а – 5)2

Ответ: При а = 5   х = 0

     При а 5

Пример 15.Решить уравнение

Решение. О.Д.З. х ≠ 1, х ≠ а,  а ≠ 1

Перепишем уравнение в виде (а+1) х2 – ( а2+4а+1) х + (2а2+2а) = 0

Если а = -1,  то 2х = 0 , т.е. х = 0

Если а ≠ -1, то находим, что

Найдем значения а, при которых х =1 и х = а, чтобы исключить их.

а+1 = 1, а = 0 – недопустимо по условию;

а + 1 = а,  1 = 0 – невозможно;

Итак, если   а ≠ -1, а ≠ 0, а ≠ 1, то .

Теперь рассмотрим, что происходит с уравнением при а = 1 Найдем корни уравнения: х1=1 и х2 =2, причем х1 не подходит по условию.

Ответ:  при   а ≠ ±1, а ≠ 0;

        х = 0 при а = -1;    х = 2 при  а = 1

Пример 16. Решить уравнение

Решение. О.Д.З. , х ≠ -1, х ≠ -2

Перепишем уравнение в виде х (х+2) – 2 а (х+1) = 3 – а2

х2 + 2 х – 2 а х – 2 а -3 + а2 = 0

х2 – 2 (а – 1)х + а2 – 2а – 3 = 0

D= 4( а – 1)2 – 4 (а2 – 2а – 3) = 16

               х1 = а + 1   и     х2 = а – 3

Среди полученных корней могут быть и посторонние. Поэтому узнаем при каких значениях а полученные корни принимают значения -2 или -1.

х1 = а + 1 = -2 при а = -3 , при этом        х2 = а – 3 = -6

х1 = а + 1 = -1 при а = -2,  при  этом    х2 = а – 3 = -5

  х2 = а – 3  = -2 при  а = 1, при этом     х1 = а + 1  = 2

  х2 = а – 3  = -1 при а = 2 , при этом       х1 = а + 1 = 3

Ответ:  при , а ≠ - 3, а ≠ ±2, а ≠ 1  х1 = а + 1   и     х2 = а – 3

             при а = -3    х = -6                 при а = -2    х = -5  

             при а = 1     х = 2                   при а = 2    х = 3

Пример 17. Решить уравнение

Решение.  О.Д.З.

Приведем уравнение к виду

При а = -2   имеем х = 0

При   имеем два корня

D= (2а2 + 2а + 5) (2а2 + 2а + 5) – 4 (а2 + а - 2)(а2 + а - 2)=

4а4 + 4а3 + 10а2 + 4а3 + 4а2 + 10а + 10а2 + 10а + 25 – 4а4 - 4а3 + 8а2  - 4а3 -4а2 + 8а + 8а2 + 8а – 16 = 36а2 + 36а + 9 = 9 (2а+1)2

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений а при которых х1 и х2 (или одно из них) равны 2.

Ответ: При

            При а = -2 уравнение имеет одно решение х = 0

            При а = 4 и а = -5 тоже одно решение х = 0,5

            При а = ±1 уравнение не имеет смысла

Пример 18. Решить уравнение 

Решение.  О.Д.З.

   _____________________________________

Теперь проверим, нет ли таких значений а при которых один из полученных корней равен 2.

При а = -8,   т.е.  х = 14

Ответ: При  а = -8      х = 14

           При и    два действительных корня  

           При а = -1  уравнение не имеет смысла.

5. Иррациональные уравнения.

Пример 19.Решить уравнение

Решение. О.Д.З. ,

Обозначим   , у ≥ 0, 3х – 2 =  у2 и х = .

Для у получаем уравнение

у =  + а                                                    

 у2 – 3у + 3а + 2 = 0 , у ≥ 0                                        

D = 9 – 4 ( 3 а + 2) = - 12а + 1                                    

- 12а + 1> 0 т.е. , учитывая    имеем

При      уравнение имеет два корня  

При    получаем одно решение у = 1,5

При   одно решение

Теперь возвратимся к неизвестному х 

Если , то х = =  =

Если     уравнение имеет два корня  

Если у = 1,5   х = =

Если  то решений нет

Ответ: Если , то х =  

Если    то         

Если у = 1,5   х = =

Если  , то решений нет

Пример 20. Решить уравнение  

Решение.  Возведя обе части в квадрат, получим

или

При  а = 2  уравнение принимает вид

                      0х=5,

т.е. не имеет решений.

 При а 

                    х = .

Для проверки решений подставим полученное решение х в левую и правую части уравнения

   Левая часть  

        При а и при а   

при   .

Правая часть  

                       .

Отсюда видно, что  х =  является корнём уравнения,  при а и при а.

При  решений нет.

Ответ: При    .        при , а    х =

 Пример 21. Решите уравнение   .  

Решение. Множество допустимых значений данного уравнения:  

 (0;+).    

Преобразуем  уравнение  

Далее, записывая уравнение в виде  

                                  ,  

получим:  

   при а=0 уравнение решений иметь не будет;  

   при 0 уравнение может быть записано в виде  

             .  

    При а данное уравнение решений не имеет, так как при любом х, принадлежащем множеству допустимых значений уравнения, выражения, стоящее в левой части уравнения, положительно.  

    При а уравнение имеет решение     .  

Принимая во внимание, что множество допустимых решений уравнения определяется условием  , получаем окончательно.  

При  решением иррационального уравнения  будет    .  

При всех остальных значениях а уравнение решений не имеет

Ответ: При        при  .

    Пример 22.  Решить уравнение   

Решение.

Пример 23.Наити такие значения а, в ,с при которых уравнение

имеет бесконечно много решений.

Решение. Перенесем  в правую часть и возведем обе части полученного уравнения в квадрат. После приведения подобных членов получим уравнение

   , являющееся следствием данного уравнения.

При а+2с = 0 и с-в = 0, и только в этом случае, последнее уравнение имеет бесконечно много решений.(все неотрицательные числа)

Подставив а = -2с и в = с в исходное уравнение, получим

При     это уравнение корней не имеет.

 При с=0 имеет единственное решение х = 0

При  рассмотрим такие значения неизвестного х, которые удовлетворяют неравенству . Следовательно

имеем  систему .  Итак, данное уравнение имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда а = -2с, в = с. и его решениями являются все числа и отрезка  

6. Показательные и логарифмические уравнения .

Уравнение вида , где а >0 и в >0, будем называть показательным уравнением.

Областью определения R его служит общая часть областей определения функций f(х) и g(х).

При а = в =1 решением уравнения является все значения х из области определения R.

При а = 1 и в ≠ 1 уравнение  равносильно системе

При в = 1 и а ≠ 1 уравнение  равносильно системе

При а = в (а>0, а ≠1, в >0, в ≠1) мы получим уравнение f(х) = g(х).

При а ≠в (а ≠1, в ≠1) уравнение  равносильно уравнению , где с >0, с ≠1.

Уравнение  где а>0, а ≠1, в >0, в ≠1 называется логарифмическим уравнением.

Областью определения его служит решение системы .

При а = в мы получим уравнение  равносильное уравнение f(x) = g(x).

При  а ≠ в  уравнение  приводится к одному основанию .

Пример 24. Решить уравнение         

Решение. О.Д.З.   , ограничение на параметр  а > 0  

Приведем его к виду  а –х - 1 = а -2 х + 1

При а =1

При а > 0  и а ≠ 1     –х – 1 = - 2х + 1

                                       х = 2

Ответ:    При а =1

               При а > 0  и а ≠ 1     х = 2

Пример 25.  При каких значениях а уравнение   имеет единственное решение?

Решение. Так как

   Ведем новую переменную  2х = у

а у2 – 5 у + а = 0    

Уравнение имеет единственное решение, если дискриминант равен нулю.

D = 25 – 4 а2 = 0. т.е.  а = 2,5

Ответ: а = 2,5

Пример 26. При каких а уравнение  имеет единственное решение?

Решение. Пусть 2х = у , у > 0, тогда

у2- (5а – 3 ) у + 4 а2 – 3 а = 0

D = ( 5 а – 3)2 – 4 ( 4а2 – 3 а ) = 25а2 – 30 а + 9 – 16 а2 +12 а = 9 а2 – 18 а +9 = 9 ( а – 1 )2

Уравнение имеет единственное решение, если  D = 0 , т.е. при  а = 1

Проверим  имеет ли уравнение еще корни.

 D > 0 , то  

Имеем  а = 1,  у2 = а   у = 1  т.е. 2х = 1  х = 0

Уравнение   может иметь единственное решение при D > 0 и когда корни уравнения у2- (5а – 3 ) у + 4 а2 – 3 а = 0

имеют противоположные знаки.

4 а – 3 и а являются корнями уравнения   у2- (5а – 3 ) у + 4 а2 – 3 а = 0

Рассмотрим их знаки

Предположим, что а > 0 . Тогда 4 а – 3 < 0 , т.е. а < 0,75. Имеем

Уравнение  может иметь единственное решение, если D > 0 и один из корней уравнения

  у2- (5а – 3 ) у + 4 а2 – 3 а = 0 равен нулю, а другой – положителен.

Так как у2 = а ≠ 0, то 4 а – 3 = 0   а = 0,75

В этом случае

Ответ: а = 1,  0 < а ≤ 0,75

Пример 27. При каких значениях а уравнение   имеет единственное решение?

Решение. Пусть 2000х = у, у > 0, тогда уравнение примет вид

D = 36 – 4(а2- 8а ) = 36 - 4а2 + 32 а = 4 (9 – а2 + 8а )

Уравнение  имеет единственный корень, если D = 0

4 (9 – а2 + 8а ) = 0          а2 – 8 а – 9 = 0

                                        а1=  -1,  а2 = 9

Имеем  если D = 0,  то  у = 3, 2000х = 3 ,  х = log20003 – единственный корень.

Уравнение    может иметь единственное решение при D > 0 и когда корни уравнения

имеют противоположные знаки.

 Так как уравнение 2000х = у не имеет решения при у < 0,  то

  а2- 8 а < 0 , а ( а - 8 ) < 0, ____________________________    0 < а < 8

Так как уравнение 2000х = у не имеет решения при у = 0,  то

  а2- 8 а = 0 , а ( а - 8 ) = 0,  а1 = 0 и а2 = 8  

При а1 = 0 и а2 = 8  уравнение  примет вид

у2 – 6 у = 0 , у =0 ( посторонний корень) и у = 6

при у = 6 имеем 2000х =6 , х = log20006

Ответ : а = 9,  а = -1,  0 ≤ а ≤ 8

Пример 28. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

 и введем замену . Тогда уравнение примет вид: у2 – 4 у – а = 0

Для анализа корней этого уравнения запишем уравнение в форме

  у2 – 4у = а  и построим эту зависимость в системе координат уОа.

Так как  и показательная функция

 с основанием 3 является возрастающей,

причем - . То очевидно, что 0 < у ≤ 1.

 Тогда необходимо установить, при каких

значениях а корни уравнения у2 – 4 у – а = 0

удовлетворяют этому условию.

Из рисунка видно, что 0 < у ≤ 1 только для

корня  при

-3 < а< 0.  Так как , то  

  Отсюда  

Ответ:  

Пример 29.  Решить уравнение log2( 6x2 + 25x) = 1 + log2( ax + 4a – 2)

Решение. Перейдем от данного уравнения к уравнению

log2( 6x2 + 25x) =  log22+ log2( ax + 4a – 2)

log2( 6x2 + 25x) =  log2 2( ax + 4a – 2)

6 х2 + 25 х = 2( ах + 4а – 2 )

Таким образом исходное уравнение эквивалентно системе условий.

Решим уравнение этой системы 6 х2 + 25 х - 2 ах -8 а + 4 = 0

                                                       6 х2 +  х (25 - 2 а)  + 4 -8 а = 0

Корень  -4 не удовлетворяет условию 6х2 + 25 х > 0 и не является решением исходного уравнения.

Определим, при каких значениях а  6х2 + 25 х > 0.

 Получаем неравенство

Или 2а2 + 23 а – 12 > 0,  решение которого

Ответ: при  

            При

Пример 30. При каких положительных значениях а уравнение

имеет единственный корень?

Решение. Рассмотрим два случая.

1. Пусть log3a = 0, т.е. а = 1,  

                                                               тогда х = 2.

При log3a = 0 получается линейное уравнение, которое имеет единственный корень.

2. Пусть log3a ≠ 0, т.е. а  ≠ 1. Тогда  данное уравнение является квадратным относительно х и имеет единственный корень при D = 0.

Ответ:  а = 1,  

III. Заключение.

             В своей работе я предлагаю решение  тридцати примеров линейных,  квадратных , иррациональных, показательных и логарифмических уравнений с параметрами.

           Материал данной работы   построен последовательно : от простого к сложному и поможет всем учащимся углубить знания  по теме « Решение уравнений, содержащие параметр»

Данная работа содержит различные виды уравнений и методы их решения. Изложение сопровождается необходимыми теоретическими сведениями.

Материал данной темы расширен, углублен.

Считаю, что поставленной цели я добился.

          Работая над этой темой, я еще раз убедился, что математика – это очень интересная и увлекательная наука. Уравнения с параметрами – это головоломка, которую можно решить, вооружившись математическими знаниями.

IV. Список литературы.

1.А.П.Власова, Н.И.Латанова. Задачи с параметрами. Логарифмические и показательные уравнения, неравенства, системы уравнений. Учебное пособие. Дрофа. Москва. 2005

2. Дмитрий Письменный. Готовимся к экзамену по математике. Домашний репетитор. Айрис Пресс. Москва. 2004

3.Методическое пособие по математике №3-4. Всероссийская школа математики и физики «Авангард».Москва. 2005

4. Саакян С.М. Экзамен по алгебре и началам анализа.  Пособие для учителей и старшеклассников. Вербум-М. Москва. 2001.

5. Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы. Москва. 1981.

6.Шевкин А.В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы. Русское слово. Москва. 2003.

7. Ястребицкий Г.А Уравнения и неравенства, содержащие параметры. Просвещение. Москва. 1972.