Способы решения квадратных уравнений

Слайд 1

Слайд 2

Что есть квадратное уравнение Квадратные уравнения - это фундамент , на котором покоится величественное здание алгебры . Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических , показательных , логарифмических , иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств . Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи , до окончания вуза . В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений , с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения . Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений , которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения . Имеется десять способов решения квадратных уравнений .

Слайд 3

Разложение левой части уравнения на множители Решим уравнение Х 2 + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители : Х 2 + 10х - 24 = Х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2). Следовательно , уравнение можно переписать так : (х + 12)(х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю , то , по крайней мере , один из его множителей равен нулю . Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает , что число 2 и - 12 являются корнями уравнения Х 2 + 10х - 24 = 0.

Слайд 4

Метод выделения полного квадрата Решим уравнение Х 2 + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение Х 2 + 6х в следующем виде: Х 2 + 6х = х2 + 2• х • 3. В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как Х 2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2. Преобразуем теперь левую часть уравнения Х 2 + 6х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем: Х 2 + 6х - 7 = Х 2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16. Следовательно, х + 3 - 4 = 0, X 1 = 1, или х + 3 = -4, X 2 = -7.

Слайд 5

Решение квадратных уравнений по формуле Умножим обе части уравнения а Х 2 + bх + с = 0, а ≠ 0 на 4а и последовательно имеем : 4а2 Х 2 + 4аbх + 4ас = 0, ((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0, (2ax + b)2 = b2 - 4ac, 2ax + b = ± √ b2 - 4ac, 2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

Слайд 6

Франсуа Виет Франсуа Виет (1540-1603) — французский математик. Разработал почти всю элементарную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения (Виета теорема — установленная Ф. Виетом теорема: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену). Виет ввел буквенные обозначения для коэффициентов в уравнениях. Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления. Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Пьера Ферма, Рене Декарта, Исаака Ньютона .

Слайд 7

Решение уравнений с использованием теоремы Виета Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид Х 2 + px + c = 0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид X 1 X 2 = q, X 1 + x 2 = - p Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней). Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны. Например, Х 2 – 3x + 2 = 0; X 1 = 2 и X 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0; Х 2 + 8x + 7 = 0; X 1 = - 7 и X 2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0. Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 . Например, Х 2 + 4x – 5 = 0; X 1 = - 5 и X 2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0; Х 2 – 8x – 9 = 0; X 1 = 9 и X 2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

Слайд 8

Решение уравнений способом « переброски » Рассмотрим квадратное уравнение а Х 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение a 2 Х 2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению y 2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни y 1 и y 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем X 1 = y 1 /а и X 1 = y 2 /а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Слайд 9

Свойства коэффициентов квадратного уравнения Пусть дано квадратное уравнение а x 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то x 1 = 1, x 2 = с/а. Доказательство . Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + b/a • x + c/a = 0. Согласно теореме Виета X 1 + X 2 = - b/a, X 1 x 2 = 1• c/a. По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом, X 1 + X 2 = - а + b/a= -1 – c/a, X 1 X 2 = - 1• ( - c/a), т.е. X 1 = -1 и X 2 = c/a, что м требовалось доказать.

Слайд 10

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения а Х 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5). Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В( X 1 ; 0 ) и D (х2; 0), где x 1 и x 2 - корни уравнения а Х 2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= X 1 X 2 / 1 = c/a. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

Слайд 11

При этом возможны три случая . 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках ( рис . 6,а) В( X 1 ; 0) и D( X 1 ; 0), где X 1 и X 2 - корни квадратного уравнения а Х 2 + bх + с = 0. 2 ) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох ( рис . 6,б) в точке В( X 1 ; 0), где X 1 - корень квадратного уравнения . 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения .

Слайд 12

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений , помещенный на с.83 ( см . Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы . - М., Просвещение , 1990). Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения Z 2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет , не решая квадратного уравнения , по его коэффициен там определить корни уравнения .

Слайд 13

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение Z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы . Криволинейная шкала номограммы построена по формулам : Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а ( все в см .), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

Слайд 14

Геометрический способ решения квадратных уравнений В древности , когда геометрия была более развита , чем алгебра , квадратные уравнения решали не алгебраически , а геометрически . Приведу ставший знаменитым пример из « Алгебры » ал - Хорезми . Примеры . 1) Решим уравнение Х 2 + 10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом : « Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15). Решение . Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так , что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно , площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Слайд 15

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей : первоначального квадрата Х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е . S = Х 2 +10х + 25. Заменяя Х 2 + 10х числом 39, получим , что S = 39 + 25 = 64, откуда следует , что сторона квадрата ABCD, т.е . отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Слайд 16

Спасибо за внимание