Проект "Изучение показательных и логарифмических функций"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Староюрьевская средняя общеобразовательная школа

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:

«Изучение показательных и логарифмических функций»

работу выполнила:

ученица 11 класса

Пустовалова Ольга

руководитель:

Стребкова Наталия Сергеевна

учитель математики

Староюрьево,2012

Содержание

1.Введение_________________________________________________3

2. Логарифмическая функция__________________________________4

3. Применение логарифмической функции_______________________7

4. Показательная функция___________________________________10

5. Применение показательной функции ________________________17

7.Заключение______________________________________________18

8. Список литературы_______________________________________19

ВВЕДЕНИЕ

   На протяжении последних лет Единый Государственный Экзамен стал экзаменом,  позволяющим проверить знания выпускников по тому или иному предмету. Успешная сдача единого государственного экзамена   по математике является основным  способом для поступления в высшее учебное заведение. Для того чтобы сдать этот,  без сомнения,  тяжелый экзамен нужно долго и упорно готовиться. А чтобы   успешно сдать экзамен, нужно многое  знать, что, собственно, требуется от экзаменующегося.  В материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ и на вступительных экзаменах в ВУЗы предлагаются задания, содержащие показательные и логарифмические задачи. Такого типа задания вызывают затруднения у учащихся,  популярность этой темы обусловлена удивительными свойствами логарифмических и показательных уравнений и функций , многие из которых совершенно не отражены в школьных учебниках. С понятиями показательнаые и логарифмические функции ученики начинают знакомиться  в старших классах,  где они проходят самые азы решения данных уравнений.

   Меня заинтересовала эта тема, потому что она  требует более глубокого и досконального исследования.

 Цели моей работы -  изучить методы решения уравнений,  содержащих показательные и логарифмические функции и рассмотреть различные примеры их применения.

Задачи, необходимые для достижения поставленной  цели:

-рассмотреть понятия логарифмической и показательной функций;

-рассмотреть методы решения уравнений  данного вида;

-применить изученные методы к конкретным примерам;

-выяснить,  какой способ наиболее рациональный.  

Актуальность данной работы неоспорима. Мне, как и всем одиннадцатиклассникам, будет интересен данный вопрос и систематизация знаний по теме  «Решение задач, содержащих показательную и логарифмическую функции»  при подготовке к экзамену на уроках математики.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Вспомним, что logаb (логарифм числа b по основанию a) — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. При этом b > 0, a > 0, a = 1 6.

Зафиксируем некоторое основание a. Тогда каждому положительному числу x можно поставить в соответствие число logах— показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы

получить x. Иными словами, можно задать логарифмическую функцию y = logаx.

Свойства функции

• ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (0;∞)
• ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ R
• ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ: 
  функция не является ни четной, ни нечетной
• НУЛИ: y = 0 при x = 1
• ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:
  если 0 < a < 1, то y > 0 при x  (0; 1), y < 0 при x  (1; ∞)
  если a > 1, то y > 0 при x  (1; ∞), y < 0 при x  (0; 1)
• ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:
  при 0 < a < 1 функция убывает при x  (0; ∞)
  при a > 1 функция возрастает при x  (0; ∞)
• ЭКСТРЕМУМОВ НЕТ
• ГРАФИК ФУНКЦИИ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ: (1; 0)
• АСИМПТОТА x = 0

Преобразование графика.

При решении уравнений часто используется теорема:

Если loga х1 = loga х2, где а > 0, а ≠ 1, х1 > 0, х2 >0, то х1 = х2.

Предположим, что х1 ≠ х2, например х2  > х1. Если а > 0, то из неравенства
х2  > х1 следует, что loga х2 > loga х1; если 0 < а < 1, то из неравенства х2  > х1 следует, что loga х2 < loga х1. В обоих случаях получилось противоречие с условием loga х1 = loga х2. Следовательно, х1 = х2.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Решить уравнение log5 (3х– 2) = log5 7.

Решение. Используя доказанную теорему, получаем 3х– 2 = 7, откуда 3х = 9, х = 3.

Ответ. х = 3.

Задача 2. Решить неравенство log2 х < 3.

Решение. Пользуясь тем, что 3 = log2 23 = log2 8, запишем данное неравенство так: log2 х < log2 8. Так как функция у = log2 х определена при х > 0 и возрастает, то неравенство log2 х < log2 8 выполняется при х > 0 и х < 8.

Ответ. 0 < х < 8.

Задача 3. Решить неравенство log1/3 х ≤ – 2.

Решение. Запишем данное неравенство таким образом: log1/3 х ≤ log1/3 9. Функция у = log1/3 х определена при х ≥ 0 и убывает, поэтому неравенство выполняется при х > 0 и х ≥ 9.

Ответ. х ≥ 9.

ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Широкое применение нашла логарифмическая функция в астрономии: 
Например по ней изменяется величина блеска звезд, если сравнивать характеристики блеска отмеченные глазом и с помощью приборов, то можно составить следующий график:

Здесь по вертикальной оси отложим блеск звезд в единицах Гиппарха (распределение звезд по субъективным характеристикам (на глаз) на 6 групп), а на горизонтальной - показания приборов.
По графику видно, что объективные и субъективные характеристики не пропорциональны, а прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, а в 2,5 раза. Эта зависимость выражается логарифмической функцией.

Ещё одно применение логарифмической функции можно найти, если рассматривать логарифмическую спираль. 

Спираль, по определению - это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала. Если начало спирали выбрать за полюс полярной системы координат, то математически спираль может быть представлена с помощью некоторого полярного уравнения r = f(j), где r - радиус-вектор спирали, j - угол, откладываемый на полярной оси, f(j) - некоторая монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. В случае с логарифмической спиралью точка удаляется по экспоненциальному закону ( , где a - произвольное положительное число).

- логарифмическая спираль.

Если взглянуть на форму многих галактик, то можно обнаружить, что некоторые из них имеют форму логарифмической спирали. 

Галактика млечный путь - типичная спиральная галактика.

Но форму логарифмической спирали имеют не только объекты астрономии, но и например: ракушки многих улиток , рога козлов, паутина паука , семечки подсолнуха.

В физике тоже есть немало примеров применения логарифмической функции и логарифмов. 
Например, подобно оценки блеска звезд в предыдущем пункте, оценивается громкость шума. Единицей громкости служит «бел», практически его десятая доля – децибел. Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бела и т.д. – составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая сила этих шумов составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Разности громкости в 1 бел соответствует отношение силы шумов 10. Это значит, что выраженная в белах громкость шума, равна десятичному логарифму его физической силы. 
Заметим, что в физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов показательная, логарифмическая функции, экспонента и логарифмы применяются очень широко, но как правило не как описание отдельного процесса или комплекса процессов, а входят в состав сложных уравнений и систем уравнений и

формул, описывающих данный процесс.

Также широкое применение нашла логарифмическая функция и в экономике: Например капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза, не слишком впечатляющее возрастание, если рассматривать его на небольшом промежутке времени (в несколько лет), а если рассмотреть размер этой суммы через десять, сто лет или даже более долгий срок, то увеличение будет более чем значительным.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Функция вида называется показательной функцией.

Замечание. Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений a объясняется следующими обстоятельствами:

Само аналитическое выражение ax в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения xy точка x = 1; y = 1 входит в область допустимых значений.

Построить графики функций:  и .

Свойства показательной функции

Когда заполняется таблица, то параллельно с заполнением решаются задания.

Задание № 1. (Для нахождения области определения функции).

Какие значения аргумента  являются допустимыми для функций:

Задание № 2. (Для нахождения области значений функции).

На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:

Задание № 3. (Для указания промежутков сравнения с единицей).

Каждую из следующих степеней сравните с единицей:

Задание № 4. (Для исследования функции на монотонность).

Сравнить по величине действительные числа m и n если:

Задание № 5. (Для исследования функции на монотонность).

Сделайте заключение относительно основания a, если:

В одной координатной плоскости построены графики функций:

y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?

Вывод:

В одной координатной плоскости построены графики функций:

y(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5)x; z(x) = (0,8)x.

Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?

Вывод:

ПРИМЕНЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

    Показательная функция, подобно линейной и квадратичной, очень часто реализуется в физических, биологических и иных законах. И это, конечно, не является случайностью. В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине (размножение бактерий, ход химической реакции и т.д.). В этом случае рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид: y =у0 ах.

    По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т. е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому –распространение Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием. Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число “потомков” одного растения равнялось бы 243 • 1015 или приблизительно 2000 растений на 1 м2 суши.

  Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 • 1014 . Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.

   В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества –процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови, донора или раненого, потерявшего много крови, рост дрожжей, ферментов, микроорганизмов. Закон органического роста выражается формулой: N = N0 e kt. По этому же закону изменяется количество древесины в дереве, что имеет большое значение для рационального ведения лесного хозяйства.

   Радий распадается в зависимости от времени по закону М = М0 e kt, где: М0 –начальное количество радия, k –некоторый коэффициент. Пользуясь этой формулой, ученые смогли подсчитать возраст Земли, то есть время, в течение которого радий смог распадаться нормально.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    Я думаю,  что моя работа может послужить как справочное пособие по данному вопросу. Возможно,  не всё подробно,  но я попыталась отобразить основные положения данной темы.

   В ходе моей работы,  я сделала вывод,  что речь не идёт о каком-то противопоставлении    геометрических и аналитических    методов решения.  Напротив, наиболее успешным может быть именно их разумное сочетание. Тогда на экзаменах не будет случаев, когда с помощью головоломных вычислений решается простая задача.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Математика.  Решение сложных задач Единого государственного экзамена. Колесникова С.И - М:  Айрис-пресс, 2005.-272  с. (Домашний репетитор:  Подготовка кЕГЭ

2.Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012: учебно-методическое пособие\Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова.=Ростов-на-Дону:Легион-М,2011.-416 с. – (Готовимся к ЕГЭ)

3. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа.Крамор В.С. М.: Просвещение, 1990.—416с

4.Математика для поступающих в вузы:  Пособие.-  Г.Дорофеев,  М.Потапов,

Н.Розов.- М.:Дрофа,1999.-560

5.Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://prmat.ru/