Изучение методов решения показательных и логарифмических неравенств

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Староюрьевская средняя общеобразовательная школа

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:

«Изучение методов решения показательных и логарифмических неравенств»

работу выполнила:

ученица 11 «В» класса

Горшкова Оксана

руководитель:

Стребкова Наталия Сергеевна

учитель математики

Староюрьево

2012

                    «Изучение методов решения показательных и

                                        логарифмических неравенств»

         Цель: познакомиться с методами решения показательных и логарифмических      

 неравенств, с целью их применения на ЕГЭ.

          Задачи:

1. Вывести наиболее рациональные способы решения показательных, логарифмических неравенств;
2. Продемонстрировать эти способы на конкретных неравенствах;
3. Закрепить данные способы в решении заданий из вариантов вступительных экзаменов.

               В школьном курсе математики рассматриваются неравенства, содержащие алгебраические, логарифмические, показательные и тригонометрические функции. При решении этих неравенств универсальным методом является метод интервалов.

        С помощью этого метода решаются очень многие неравенства, в том числе и неравенства с параметром. Поэтому, начав изучать решение показательных, логарифмических применяют  метод интервалов и к их решению. На сегодняшний день все6 учителя и ученики заинтересованы в более качественном написании ЕГЭ, поэтому всё должно быть направлено на использование рациональных приёмов в решении, в целях экономии времени при выполнении работы.

         Неравенства вида      разобраны в пособиях достаточно подробно.

Хочется только заметить, что знак последнего интервала всегда совпадает со знаком коэффициента, стоящего перед х в наивысшей степени, после умножения числителя на знаменатель. Далее знаки чередуются, если нет кратных, т.е. чётного числа нулей. Если кратность нуля чётная, то знак функции при переходе через такую точку не меняется. Этот приём в решении рациональных неравенств, более эффективен, чем определение знаков функции на промежутках с помощью пробных точек. В своей работе мне бы хотелось более конкретно остановиться на решении более сложных логарифмических, показательных неравенств. Предложу нестандартный способ решения этих неравенств.

Например, неравенств вида:    ;       

           Для того чтобы хорошо решать сложные показательные и логарифмические неравенства, нужно быстро и уверенно решать обычные, алгебраические неравенства

           Алгоритм решения алгебраических неравенств методом интервалов:

Добиться того, чтобы справа был нуль;

Выполнить необходимые преобразования, для того, чтобы слева была дробь    (целое выражение);

Найти нули выражения и значения х, в которых оно не имеет смысла;

Отметить эти значения на числовой оси;

Расставить знаки выражения на каждом из промежутков;

Выбрать знак интервала, соответствующий знаку неравенства;

Записать ответ.

              Остановимся более детально на решениях показательных и логарифмических неравенствах.

              Решение показательных и логарифмических неравенств основано на монотонности показательной и логарифмических функций. В общем случае, если функция у = f(x) монотонно возрастает, то из неравенства f(a) > f(b) следует, что a > b. Подчеркнём, что именно из первого следует второе, поскольку обратное утверждение может оказаться неверным, т. к. a и b (вместе или порозень) могут не принадлежать области определения функции у= f(x).

               Если же у = f(x) монотонно возрастает (или убывает) и определена при всех  x, то неравенства  f(a) > f(b) и  a > b (a < b) оказывается эквивалентными. Именно это место для показательной функции.

                Рассмотрим решение некоторых неравенств:

             Пример 1:    

                   Перейдём к одному и тому же основанию. Так как , то , тогда ,учитывая то , что  у = монотонно возрастает, то

   ;  ;  ;

Разложив на числитель на множители, получим ; построим решение данного неравенства

                                                                                          Ответ:

             Пример 2: 

                                ;

Для того чтобы решить неравенство, мы должны сравнить основание степени с 1, учитывая то, что оно при всех значениях - положительно. Тогда:

1. если , то ;
2. если , то    

 Попробуем обобщить два случая. Тогда если записать наше неравенство в виде , то при a>1 оно будет иметь тот же знак, что и , противоположный – если . Поэтому, оба случая можно объединить в один: выражения  и  имеют один знак. Следовательно, решение исходного неравенства можно свести к алгебраическому неравенству, при условии, что ;

    ;          ; , изображая решение на числовой оси, получим

                               0                            

Ответ:

Попробуем вывести равносильный переход от логарифмического неравенства к алгебраическому. Данный переход можно осуществлять на ОДЗ данного неравенства. Так как в результате применения свойств логарифмов, ОДЗ может расширяться или сужаться.

            Рассмотрим, как решается обычное логарифмическое неравенство, не содержащее в основании переменной.

           Пример 3:     .

В силу монотонного возрастания функции у =, учитывая её ОДЗ, получим

  Построим решение системы:

Ответ:

               Пример 4:  

Начнём решение с нахождения ОДЗ: ;    ;  

Получим . На данной области функции   может, как монотонно возрастать, так и убывать, а, следовательно, необходимо рассмотреть два случая:

                          и                      

                                  и                      

Объединяя решения системы, получим решение исходного неравенства:

Нетрудно заметить, что и  имеют один и тот же знак.

                                                        Доказательство:

Предположим, что нужно решить неравенство: , тогда

 Если а>1, то в силу возрастающей функции b>1, а значит выражение ;

 Если , то в силу убывающей функции b<1, а значит выражение , что и   требовалось доказать.

Таким образом, решение логарифмического неравенства тоже можно свести к решению алгебраического неравенства, на ОДЗ первоначального неравенства. Нес следует забывать про ОДЗ, Так как формальная замена множителя  выражением  приводит к расширению области определения, что недопустимо.

Попробуем применить полученный вывод к решению неравенства.

             Пример 5:   .

Найдём ОДЗ неравенства:           

Заменим каждый множитель на выражение того же знака, получим неравенство:

;

;

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Учитывая ОДЗ, получим решение:  .

Рассмотрим неравенство, в котором встречаются обе замены: Показательная и логарифмические функции в одном неравенстве.

               Пример 6:   

Не отступая от алгоритма, находим ОДЗ:              

Заменяя каждый множитель на выражение того же знака, приходим к неравенству:

                                             ;

                                              ;

Учитывая ОДЗ, получим:

Из решения видно, что данный способ проще, решение короче, появление постороннего или потеря решений исключена.

                            Методы решения логарифмических неравенств:

А) перебор случаев «основание больше единицы», «основание меньше единицы»;

  Б) переход к равносильным совокупностям систем неравенств, не содержащих  

       логарифмов;

  В) обобщённый метод интервалов;

  Г) графический метод.

            Рассмотрим все эти методы на решении конкретного примера:

           Пример:

                    Сначала проведём преобразования, необходимые при любом способе решения:

             Решение №1(подход А)

             Если 0 < 0,5х < 1, т. е. 0 < х < 2, то по свойствам логарифмов исходное неравенство   равносильно неравенству  0,25- 1,25х+1,5  0,5х, или неравенствам

                                             ,

                                              ,

                                              .

              Значит,  или . Учитывая , получаем .

              Если , т.е. , то получаем

                                               .

              Значит,     и . Учитывая , получаем . Объединяя с , получаем .

                                                                                     Ответ:.

               Решение №2(подход Б) 

         Данное неравенство равносильно совокупности следующих систем неравенств.

                                                                                        Ответ:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

                   Решение №3(подход В)

           Функции  определена и непрерывна при . Найдём её нули:

           Определяем знаки функции:

  .

                             -       +       +              -                        +

                         0       1       2       3                     6                                     х

     Значит, .

                                                                                           Ответ:.

                   Решение №4(подход Г)

               Найдём точки пересечения графиков  и  .

                 .

               Первый график – прямая, второй график- парабола, ветви вверх.

   Если , то .

   Если  то .

Значит,            

                                                                                               Ответ:

         Неравенства, решаемые данным способом из вариантов вступительных экзаменов:

Уральский государственный технический университет (УПИ)

Решите неравенство:  

                                                 Решение:

Найдём ОДЗ:    

Заменяя каждый множитель на выражение того же знака, приходим к неравенству: ; Решая неравенство методом интервалов, найдём нули выражения:

Найдём решение неравенства с учётом ОДЗ:

                      1                                

Ответ:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова (МГУ)

Решите неравенство:

                                                    Решение:

Используя свойство логарифмов, получим:  так как правая часть не равна 0, то рассмотрим два случая

1.

2. ;

Ответ: