Симметрия вокруг нас

        Оглавление.

1.Титульный лист ………………………………………………….1

2.Оглавление ……………………………………………………….2

3.Введение ………………………………………………………….3

4.Основная часть ………………………………………………… ..5

5.Иллюстрации……………………………………………………..12

5.Вывод и список литературы ……… ..…………………………..21

Введение.

Данный реферат посвящён такому понятию как СИММЕТРИЯ.

Темой всего реферата является понятие симметрии, играющей (есть мнение) ведущую, хотя и не всегда осознанную, роль в современной науке, искусстве, технике и окружающей нас жизни. Симметрия пронизывает буквально все вокруг, захватывая, казалось бы, совершенно неожиданные области и объекты. Ньюмен говорил, что симметрия устанавливает забавное и удивительное сходство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, скарабеями, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности...

Этот реферат выходит за рамки базового школьного курса, он помогает изучить основы геометрии на плоскости. Для данной работы характерно рациональное сочетание логической строгости и  геометрической наглядности. Её направленность обеспечивает постоянное обращение к наглядности, использование чертежей. Реферат предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление математических способностей. Содержание работы нацелено также на дальнейшее использование полученных знаний в жизни, работе, учёбе.

Обычный школьный курс задевает эту проблему вскользь, в то время как этот реферат нацелен на более глубокое погружение в неё, на понимание «проблемы» и умении получить из неё информацию, которая понадобится в дальнейшей жизни, на работе, в учёбе, ведь симметрия касается множества видов деятельности. Практически всё в этом мире связанно с симметрией, так давайте же получше узнаем её, чтобы лучше узнать сам мир.

Цели

1.Показать пути взаимодействия и взаимообогащения двух великих сфер человеческой культуры-науки и искусства;

2.расширить представления о сферах применения математики;

3. показать, что закономерности математики являются формообразующими в архитектуре, в музыке, живописи и т. д.

Задачи

 1.Рассмотреть различные виды симметрии и их свойства,

 2.Познакомиться с классификацией фигур по порядку (классу) симметрии,   возможностью конструирования фигуры, заданного порядка симметрии.

 3.Познакомиться с различными видами симметрии в живой и неживой природе.

 4.Использование различных видов симметрии в архитектуре, живописи, литературе, и  в предметах декоративно прикладного искусства.

Основная часть.

    Термин «симметрия» по-гречески означает «соразмерность,     пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

   Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно - в XIX веке. В наиболее простой трактовке (по Г. Вейлю) современное определение симметрии выглядит примерно так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. Мы будем называть симметрией фигуры любое преобразование, переводящее фигуру в себя, т. е. обеспечивающее ее само совмещение.

 Перечислим виды симметрии.

 Осевая симметрия.

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси 1 точку А, при этом отрезок АА' перпендикулярен l,называется осевой симметрией.

Если точка А лежит на оси 1, то она симметрична самой себе, т. е. А совпадает с А'. В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси 1 фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси 1, а ось 1 называется ее осью симметрии.

 Центральная симметрия.

Преобразование, переводящее каждую точку А фигуры (тела) в точку А',

симметричную ей относительно центра О, называется преобразованием

центральной симметрии или просто центральной симметрией. Точка О называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Если при преобразовании

центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра О.

Знакомые понятия поворота и параллельного переноса используются при определении так называемой трансляционной симметрии.

Рассмотрим трансляционную симметрию более подробно.

       1. Поворот.

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (тела) поворачивается на один и тот же угол а. вокруг заданного центра О, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол а. – углом вращения. Точка О является неподвижной точкой этого преобразования.

 Центральная симметрия есть поворот фигуры (тела) на 180.

2. Параллельный перенос.

Преобразование, при котором каждая точка фигуры (тела) перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом. Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно задать вектор а.

3. Скользящая симметрия.

Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором

последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

Все перечисленные преобразования будем называть преобразованиями симметрии. Для преобразований симметрии имеют место следующие свойства:

1. отрезок переходит в равный ему отрезок;
2. угол переходит в равный ему угол;
3. окружность переходит в равную ей окружность;

93837008. любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник и т. д.;

5) параллельные прямые переходят в параллельные, перпендикулярные в перпендикулярные.

В стереометрии вводится еще один вид симметрии - симметрия относительно плоскости.

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру (тело) в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости, а данная плоскость – плоскостью симметрии этой фигуры. В некоторых источниках, такую симметрию называют зеркальной. А зеркало не просто копирует объект, но и меняет местами (переставляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. В сравнении с самим объектом его за зеркальный двойник оказывается, вывернутым вдоль направления, перпендикулярного плоскости зеркала.

Примерами фигур - зеркальных отражений одна другой - могут служить правая и левая рука человека, правый и левый винты, части архитектурных форм, некоторые природные кристаллы и орнаменты. Исторически сложилось, что именно зеркальная симметрия (ее называют геральдической) использовалась разными народами для изготовления предметов быта. Типичен в этом отношении рисунок на известной серебряной вазе царя Шумеров Энтемены, правившего в городе Лагаше около 2700 г. до н. э.

На рисунке изображен орел с львиной головой и распростертыми крыльями. В когтях у него с каждой стороны по оленю, а на оленей нападают львы. Перенесение точной симметрии, присущей орлу, на других животных заставило, очевидно, удвоить изображение. Позже орла стали изображать с двумя головами, смотрящими в разные стороны. Так требование симметрии полностью восторжествовало над принципом подражания природе. Затем этот геральдический мотив был обнаружен в Персии, в Сирии, а потом стал гербом Византии, символизируя устремленность государства как на запад, так на восток. После падения Византии племянница ее последнего императора Софья Палеолог бежала в Рим, а оттуда была выдана замуж за великого князя московского Ивана ПI. Самым ценным приданым своей невесты жених считал ее родство с византийским императором, что давало ему повод объявить Москву третьим Римом, завладеть государственным гербом - двуглавым орлом - и объявить себя уже не великим князем, а государем (царем) всея Руси. Двуглавый орел хорошо послужил государству

Российскому как символ объединения русских земель вокруг богатого города и умного, волевого лидера.

Зеркальная симметрия.

«Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо, чем их собственное

отражение в зеркале? И все же руку, которую я вижу в зеркале «нельзя поставить на место настоящей руки ... ». (Иммануил Кант.)

Все знают, что увидеть за зеркальный двойник объекта совсем нетрудно. Достаточно поместить объект перед зеркалом и заглянуть в это зеркало. Обычно считают, что наблюдаемый в зеркале двойник является точной копией самого объекта. В действительности же это совсем не так. Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами (представляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. Например, если у вас родинка находится на правой щеке, то у за зеркального двойника на левой. Обратимся к более интересному примеру.

Если конус неподвижен, то его легко можно совместить со своим двойником. Если же конус вращать относительно оси, проходя щей через вершину, то направление вращения изменяется при отражении на противоположное. Теперь уже никакими перемещениями и поворотами нельзя совместить объект с за зеркальным двойником.

Впрочем, можно обойтись и без вращения конуса. Достаточно изготовить из конуса винт. Винт-объект и винт-двойник имеют разные направления нарезки: чтобы ввинтить в дерево винт-объект, надо вращать его головку по часовой стрелке, а чтобы ввинтить винт-двойник, - против часовой стрелки.

Пара зеркально асимметричных объектов (фигур), являющихся зеркальным изображением один другого, называются энантиоморфами.

Энантиоморфами могут быть отдельные объекты, но могут быть и половинки соответствующим образом разрезанного объекта. Чтобы различить энантиоморфы в данной паре, вводят обозначения «левой» и «правой». Двумерные энантиоморфы можно совместить друг с другом, выполнив поворот в трехмерном пространстве, перевернуть плоскость обратной_стороной. Что же касается трехмерных энантиоморфов, то для их совмещения потребовался бы поворот в фантастическом четырехмерном пространстве. Поэтому для трехмерных энантиоморфов справедливо утверждение: никакие перемещения и повороты не в состоянии обратить левый энантиоморф в правый, и наоборот. Как бы ни вертели левый ботинок, он никогда не подойдет к правой ноге. Итак, на плоскости мы имеем четыре вида движений, переводящих фигуру F (тела) в равную фигуру F, (тело):

1. параллельный перенос;
2. осевая симметрия (отражение от прямой);

3) поворот вокруг точки (частичный случай - центральная симметрия);

4) «скользящее» отражение.

В пространстве к вышеперечисленным видам симметрии добавляется зеркальная.

Одна из самых симметричных фигур конечных размеров - это круг. Каждая прямая, проходящая через его центр, является его осью. симметрии, а центр круга является центром поворотной симметрии, причем поворот может быть совершен на любой угол. Рассмотрим симметрию простейших фигур.

1) Отрезок имеет две оси симметрии и центр симметрии.  

2) Треугольник общего вида не имеет никакой симметрии.

У равнобедренного (но не равностороннего) треугольника одна ось симметрии – серединный перпендикуляр, проведенный к его основанию.

     3) У равностороннего треугольника три оси симметрии, и он имеет поворотную симметрию с углом поворота 120 градусов.

     4) У каждого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он имеет также поворотную симметрию с углом поворота 360 градусов/n.При п - четном одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие - через середины противоположных сторон (и тех и других осей по n/2).

При нечетным n каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны.

Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет. Рассмотрим более подробно поворотную симметрию. Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360 градусов/n .

На рисунке даны примеры простых объектов с поворотными осями разного порядка - от 2-го до 5-го.

У трехмерного объекта может быть несколько поворотных осей. Например, у кирпича – три поворотные оси 2-го порядка.

Тело, изображенное на рисунке, имеет наряду с поворотной осью 4-го порядка четыре поворотные оси 2-го порядка.

Рассмотрим куб. Он имеет три поворотные оси 4-го порядка, шесть поворотных осей 2-го порядка, проходящих через середины противоположных параллельных ребер, а также четыре поворотные оси 3-го порядка, совпадающие с внутренними диагоналями куба. Таким образом, куб имеет всего 13 поворотных осей.

Интересна поворотная симметрия кругового цилиндра n=2   n=бесконечность. Он имеет бесконечное число поворотных осей 2-го порядка и одну поворотную ось

бесконечно высокого порядка.

Для описания симметрии конкретного объекта (фигуры, тела) надо указать все поворотные оси и их порядок, а также все плоскости симметрии.

По тому, сколько симметрий имеют фигуры, можно проводить их классификацию. Например, все фигуры, изображенные на рисунке, обладают теми же симметриями, что и квадрат, поэтому их относят к одному классу симметрий.

Распределение по классам симметрий дает нам новый взгляд на фигуры.

Раньше мы видели только их хаотическое множество, теперь же можно навести в этом множестве порядок. Мы будем рассматривать всевозможные виды симметрий. Остановимся подробнее на осевой симметрии (обозначение S1) и на повороте вокруг данной точки О на угол а (обозначим R0^a).

Рассмотрим одну из простейших фигур - отрезок А1А2• Повернем его вокруг произвольной точки О на 60градусов, потом еще на 60градусов. Через 6 поворотов мы возвратим отрезок на прежнее место, а в фигуре, которую он опишет, узнаем правильный шестиугольник. Значит, он отображается сам в себе при шести поворотах. Легко заметить, что каждая из прямых OA1, ОА2, ОАз, 0B1, 0B2, 0Bз служат осью симметрии правильного шестиугольника.

В математике доказано, что множество симметрий правильного п-угольника состоит из 2п преобразований: n-поворотов и n-осевых симметрий. Класс симметрий обозначается через Dn. Вообще, порядком оси называется число самосовмещений фигуры при повороте вокруг данной оси на 360°. Легко видеть, что порядок оси симметрии правильного шестиугольника равен 6, а о нем самом говорят, что он имеет класс симметрии D6• Задавая  симметрии, можно самим конструировать фигуры. Построим, например, фигуру с симметрией D8• Ее внешний вид будет зависеть от фигуры, которую мы выберем в качестве исходной. Пусть это будет отрезок ОА, с четырьмя дугами на нем. Центром поворота пусть

служит один из концов данного отрезка - точка О. Теперь определим углы, на которые будем поворачивать нашу фигуру:

А0 = 360°· О= 0; а1 = 360° ·1= 45; а2 = 360°·2= 90; ...

          8                    8                                    8

        а7= 360°·7 =315;а8= 360°·8 =360

8                       8

к построению фигур с заданной симметрией можно подойти и несколько иным способом. Выберем в плоскости произвольную точку О и из нее проведем п лучей, которые разделят плоскость на п углов. В одном из углов нарисуем какую-нибудь фигуру Ф, а потом выполним повороты на угол 360*0/n;360*1/n...В общем случае на 360*k/n.Например, для фигуры класса симметрии D 16.

В основе строения любой живой формы лежит принцип симметрии. Из прямого наблюдения мы можем вывести законы геометрии и почувствовать их несравненное совершенство. Этот порядок, являющийся закономерной необходимостью, поскольку ничто в природе не служит чисто декоративным целям, помогает нам найти общую гармонию, на которой зиждется все мироздание. Когда мы хотим нарисовать лист растения или бабочку, то нам приходится учитывать их осевую симметрию. Средняя жилка для листа и туловище для бабочки служит осью симметрии. Центральная симметрия характерна для кристаллов, низших животных и цветов. Мы видим, что природа проектирует любой живой организм согласно определенной геометрической схеме, причем законы мироздания имеют четкое обоснование. В своей книге «Этот правый, левый мир» М. Гарднер пишет: «На Земле жизнь зародилась в сферически симметричных формах, а потом стала развиваться по двум главным линиям: образовался мир растений, обладающих симметрией конуса, и мир животных с билатеральной симметрией». Термин «билатеральная симметрия» часто применяется в биологии. При этом имеется в виду зеркальная симметрия. Характерная для растений симметрия конуса хорошо видна на примере фактически любого дерева. Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и питательные вещества из почвы, то есть снизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, т. е. наверху. В то же время направления в плоскости, перпендикулярной к вертикали, для дерева фактически

неразличимы; по всем этим направлениям к дереву в равной мере поступает воздух, свет, влага. Дерево имеет вертикальную поворотную ось (ось конуса) и вертикальные плоскости симметрии. Отметим, что вертикальная ориентация оси конуса, характеризующего симметрию дерева, определяется направлением силы тяжести. Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы, плоды. Зеркальная симметрия характерна для листьев, но встречается и у цветов. Для цветов характерна поворотная симметрия. «Кристаллы блещут симметрией», - писал Е. с. Федоров в своем «Курсе

кристаллографии ».

При слове «кристалл» в воображении рисуется среди драгоценных камней - алмаз: кристальная чистота и прозрачность, чудесная, непередаваемая игра света, идеальная прав ильная форма. Но теперь алмазы уже не только красивый предмет роскоши. Сегодня они служат для обработки наиболее твердых металлов и сплавов. Без них не мыслится современная металлообрабатывающая промышленность. Оказывается, кристаллы не только алмазы. Обычный сахар и поваренная соль, лед и песок состоят из множества кристалликов. Больше того, основная масса горных пород, образующих земную кору, состоит из кристаллов. Даже обыкновенная глина представляет собой нагромождение мельчайших кристалликов.

Словом, большинство строительных материалов - металлы, камень, песок, глина – кристаллические вещества. Можно сказать, что мы живем в домах, построенных из кристаллов. Не удивительно, что кристаллы являются предметом тщательного изучения. Кристаллы - это твердые тела, имеющие естественную форму многогранников. Характерная особенность того или иного вещества состоит в постоянстве углов между соответственными гранями и ребрами для всех образцов кристаллов одного и того же вещества. Что же касается формы граней, то для одного и того же вещества они могут

значительно отличаться друг от друга. Для каждого данного вещества существует своя, присущая только ему одному, идеальная форма его кристалла. Эта форма обладает свойством симметрии, т. е. свойством кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путем поворотов, отражений, параллельных переносов.

Кристалл каждого вещества характеризуется определенным комплексом элементов симметрии - видом (классом) симметрии.

Внутреннее устройство кристалла представляется в виде так называемой

пространственной решетки, в одинаковых ячейках которой, имеющих форму параллелепипедов, размещены по законам симметрии одинаковые мельчайшие материальные частицы - молекулы, атомы, ионы или их группы.

Опираясь на эти представления, А. В. Гадолин в 1867 г. доказал, что всего существует 32 вида симметрии идеальных форм кристалла. Любое кристаллическое вещество, каждый кристалл должны принадлежать к одному из этих видов симметрии. Эти утверждения представляет закон симметрии, один из законов кристаллографии. Следующий фундаментальный результат был получен в 1890 г. русским кристаллографом

Е. С. Федоровым и одновременно немецким математиком А. Шенфлисом, доказавшими чисто геометрически, что существует 230 типов пространственных решеток. В 1912 г.

исследованиями кристаллов при помощи рентгеновских лучей была установлена реальность кристаллической решетки.

Многие, если не все, кристаллы более или менее легко раскалываются по некоторым строго определенным плоскостям. Это явление, называемое спайностью, свидетельствует о том, что механические свойства кристаллов анизотропные, т. е. не одинаковы по разным направлениям. Но кристаллы анизотропные и в отношении многих других физических свойств. Свет, например, в определенных кристаллах распространяется по различным направлениям с различной скоростью. При нагревании кристалл расширяется по различным направлениям различно. Это же можно сказать о теплопроводности, электропроводности и т. д.

Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. На этот счет хорошо высказался известный французский архитектор Ле Корбюзье, в своей книге «Архитектура ХХ века он писал: «Человеку необходим порядок: без него все его действия теряют согласованность, логическую взаимосвязь. Чем совершеннее порядок, тем спокойнее и увереннее чувствует себя человек. Он делает умозрительные построения, основываясь на порядок, который продиктован ему потребностями его психики, - это творческий процесс. Творчество есть акт упорядочения». Нагляднее всего видна симметрия в архитектуре. Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Причем древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляют природой. В сознании древних греков симметрия стала олицетворением закономерности, целесообразности, красоты. Не говоря уже об архитектуре и скульптуре, симметрия господствует в изобразительном искусстве Древнего Египта, Древней Греции и Рима, Средневековья и Возрождения. Зеркальная симметрия широко встречается в произведениях искусства примитивных цивилизаций и в древней живописи. Религиозные средневековые картины также характеризуются этим видом симметрии. Композиция таких картин скучна, поскольку симметрия слишком очевидна. Симметрия часто используется и в других видах искусства. В том числе в музыке. Ряд музыкальных форм строится симметрично. В этом отношении особо характерно рондо (рондо от фр.круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех раз в основной тональности, а эпизоды – в других тональностях. Это напоминает зеркальную симметрию, основная тема служит плоскостью, от которой как бы отражаются эпизоды. Но тот эпизод, который раньше прозвучал в высокой тональности, повторяется в низкой, и наоборот. Так накладывается правая рука на левую (если их не переворачивать): мизинец оказывается на большом пальце, безымянный на указательном.

«Душа музыки» - ритм - состоит в правильном периодическом повторении частей музыкального произведения», - писал в 1908 г. известный русский физик Г. В. Вульф, - Правильное же повторение - сущность симметрии».

Мы с тем большим правом можем приложить к музыкальному произведению понятие симметрии, что это произведение записывается при помощи нот, т. е. получаем пространственный геометрический образ. Гамма до мажор. Композитор в своем произведении может по несколько раз возвращаться к одной и той же теме, постепенно разрабатывая ее.

Примером данной формы является «Рондо-каприччио» (фортепиано) Бетховена. В литературных произведениях существует симметрия образов, положений, мышления. Вспомним хотя бы закон возмездия в греческой трагедии, где виновный становится жертвой такого же преступления. В «Евгении Онегине» А. С. Пушкина мы наблюдаем симметрию положений: «Онегин, отвергнувший когда-то любовь Татьяны, сам через несколько лет вынужден испытывать горечь отвергнутой любви». В трагедии А. С. Пушкина «Борис Годунов» прекрасно выписана симметрия образов. Убийцу царственного наследника, занявшего престол, сменяет на троне такой же умный, такой же наглый и беспощадный убийца юноши-царевича. Буквы русского языка тоже можно рассмотреть с точки зрения симметрии.

А; д; л; М; п; Т; Ф; Ш. В; Е; 3; К; с; э; Ю.

Вертикальная ось симметрии:

Горизонтальная ось симметрии:

Ж; Н; о; Х.

И вертикальные и горизонтальные оси симметрии:

Б·г·и·й·р,у·ц- щ·я.

        «         ,., , , , , , ..

Ни вертикальные, ни горизонтальные оси:

Математик, так же как художник или поэт, создает узоры. г. Харди Принцип симметрии используется в построении орнамента. Орнамент (от лат. orпameпtum - украшения) - узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов.

   Орнамент предназначен для украшения различных предметов (посуды, мебели, текстильных изделий, оружия) и архитектурных сооружений. Связанный с поверхностью, которую он украшает и зрительно организует, орнамент, как правило, выявляет и подчеркивает своим построением, формой и цветом конструктивные особенности предмета, природную красоту материала. В народном творчестве, каждая национальная культура выработала свою систему орнамента - мотивы, формы, расположения на украшаемой поверхности. Поэтому часто по орнаменту можно определить, к какому времени и к какой стране относится то или иное произведение искусства. Так, в орнаментах Древнего Египта наибольшее распространение нашли растительные мотивы, и среди них особенно часто встречались листья и цветы лотоса.

   Классическими стали наиболее распространенные древнегреческие орнаменты - меандр и акант. Слово «меандр» происходит от названия очень извилистой реки в Малой Азии. Ныне она называется Большой Мендерес. Орнамент меандр как будто повторяет излучины этой прихотливой реки. Акант - это род травянистого растения, распространенного в Средиземноморье. У него большие листья, красиво изогнутые стебли. Орнаментальное искусство достигло совершенства на мусульманском Востоке. Для него характерно сочетание геометрических и растительных мотивов, так как Кораном было запрещено изображение людей и животных. Впоследствии, распространившись по Европе, этот вид орнамента получил название «арабеска» (от ИТ. arabesco – арабский). В исламских странах арабеска безраздельно господствует в архитектурном декоре. Высокого развития орнамент достиг в средневековой Руси. Для русского орнамента характерны как геометрические и растительные формы, так и изображения птиц, зверей, фантастических животных и человеческих фигур. Наиболее ярко русский орнамент выражен в резьбе по дереву и вышивке. В плоском орнаменте одним из наиболее часто используемых мотивов является так называемая плетенка - различного вида переплетение полосок типа лент, ремней, стеблей цветов. Трудно встретить человека, не любовавшегося орнаментами.

     Один из примеров - это обои, которыми оклеивают стены.

Тип плоской решетки определяет характер переносной симметрии данного орнамента. Орнамент «Летящие птицы» основан на косой решетке, «Ящерицы» - на гексагональной решетке, а египетский орнамент - основан на квадратной решетке. Орнаменты можно классифицировать. Всего существует 17 типов симметрии орнаментов. Любопытно, что все они были известны еще в древности, а классификация их была дана лишь в XIX веке.

Иллюстрации.

                 Dс

            А'

Вывод.

Рассматривая различные виды симметрии, их свойства, я убедился в закономерности наличия симметрий как формообразующих в архитектуре, в музыке, живописи, в предметах декоративно прикладного искусства, в живой и неживой природе, в точных науках.Расширил обычный школьный курс по теме симметрия и углубил познания об окружающем меня мире.

Список литературы.

Список литературы.

1. Васютинский, Н Н Золотая пропорция. - М.: Молодая гвардия,1990.

2.Вейль.Г.Симметрия.Пер.с англ.-М.:Наука,1968.

3. Волошинов, А. В. Математика и искусство. - М.: Просвещение, 1992.

4.Гарднер, М Этот правый, левый мир. Пер. сангл. - М.: Мир, 1967.

5. Пuдоу, Д Геометрия и искусство. -. М.:1979.

6.Штейнгауз, Г Математический калейдоскоп. - М.: 1981.

7.Шубнитшв, А. В., Копцик, В. А. Симметрия в науке и искусстве. - М., 1972.