Старинные способы умножения

Колосовский Муниципальный район Омской области

Муниципальное общеобразовательное учреждение  

«Крайчиковская средняя общеобразовательная кола»

Секция точных наук Математика.

 Старинные способы умножения.

                                                          Автор: Шорец Анастасия Борисовна,

                                                                        Филонин Роман Владимирович,

                                                      учащиеся 5 класса ,

                                                                             МОУ «Крайчиковская СОШ».

                                                    Руководитель: Поморова Елена Владимировна,

                                                      учитель математики,

                                                                          I квалификационной категории.                                                                                                                                                                                    

2011

Содержание

Введение…………………………………………………………………………3

1. Глава I. История  умножения……………………………………………………6
2.             1.1.Первые ступени вычисления………………………………………..6
3.             1.2.Таблица умножения………………………………………………….7

  Глава II. Старинные способы умножения……………………………………8          

2.1. Старинные приемы умножения……………………………………………8

4. Глава III. Результаты исследования по теме «Старинные способы
5. умножения»……………………………………………………………………..15

Заключение………………………………………………………………………16

Список использованной литературы……………………………………… …..17

Приложение №1……………………………………………………………….    18

Введение

   С небольшими числами иметь дело очень просто: наборы из трех-четырех предметов легко узнать «в лицо», так что считать их нет необходимости. Но как, к примеру, выяснить, не потерялась ли овца из большого стада? Или сколько нужно корма для каждого животного? Здесь уже не обойтись без подсчета. Чтобы пересчитать стадо, проще всего использовать камешки: один камешек – один объект, в данном случае овца.

    Считать при помощи камешков удобно и просто, если объектов немного. С большими числами уже сложнее: и нужного количества камешков можно не набрать, и поднять такой мешок не каждому под силу. В некоторых сообществах для счета использовались пальцы рук и ног, но все равно оставалась проблема с числами больше 20.

   Для современного ученика это не проблема, так как он знает таблицу умножения и с помощью действия   умножения легко справится с заданием.

Но мало кто подозревает, что нынешние способы выполнения арифметических действий тоже не всегда были так просты и удобны, так прямо и быстро приводили к результату.

Предки наши пользовались гораздо более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник XX века мог перенестись на четыре, на три столетия  назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих арифметических выкладок. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера счетного дела.

Но проблема в том, что не все  современные ученики  хорошо знают таблицу умножения?  А  способы умножения, используемые в старину, им не известны вовсе. В школьной библиотеке книг на эту тему очень мало. Информация находится в разных   источниках. Тогда у нас в голове зародилась мысль, создать книгу по теме «Старинные способы умножения».

     Объектом нашего исследования являются математическое действие умножения; предметом исследования - старинные способы умножения.

Тема нашей работы актуальна тем, что без умножения в современном мире не обойтись, но, к сожалению, мало кто знает историю создания этого действия. Таким образом, проблема умножения до сих пор остаётся актуальной

Таким образом, мы выдвинули гипотезу: если наши предки умели умножать старинными способами, то если мы изучим по данной проблеме литературу,  возможно ли современному школьнику этому научиться, или нужны какие-то сверхъестественные способности.

        Цель: Изучить старинные способы умножения и создать книгу по этой теме.

     Нас очень заинтересовала данная идея. Мы захотели узнать   способы умножения  наших предков, если они смогли разобраться с ними, почему бы и нам не попробовать. Ведь это  очень загадочно и интересно.

 Отсюда были определены следующие задачи:

• Изучить историю возникновения умножения.
• Провести анкетирование по исследуемой теме.
• Донести эту информацию до наших сверстников.
• Оформить информацию о старинных способах умножения в виде книги для учащихся 5-8 классов.

В процессе работы были использованы следующие методы исследования:

• теоретические (теоретический анализ исторических источников и печатных изданий)
• эмпирические (опрос, беседа)

Исследования осуществлялись в три этапа:

    На первом этапе исследования – поисковом (сентябрь-ноябрь2010г)

Изучались различные источники, в том числе интернет по проблеме исследования, были  определены актуальность, его значимость.

    На втором этапе исследования (декабрь) – проводили опрос учащихся 5-8 классов, обрабатывался и систематизировался полученный  материал.

    На третьем этапе – обобщающем (январь-февраль) были обобщены и проанализированы все сведения.

   Материал данной работы можно рекомендовать к использованию на уроках математики или на занятиях школьного математического кружка в качестве дополнительного материала с целью появления заинтересованности к учебному предмету и пробуждения желания к изучению математики у учеников, а также для расширения их кругозора.  

13. Глава I. История умножения
14. 1.1.Первые ступени вычисления

       Как считали наши предки, жившие в отдаленные времена, задолго до Рождества Христова, развитие письменного счета зависит от общего развития образования, а наши древнейшие родичи находились, очевидно, на низших ступенях образованности. Судить о первых шагах арифметики мы можем только по догадкам,  средством же для сравнения являются те дикие и малообразованные народы, затерявшийся в укромных уголках внутренней Африки, Америки и т. д., которые в настоящее время едва выходят из первобытного состояния.

     Так Индейцы Таманаки пользуются при счете пальцами рук и ног. Вместо «один» они говорятъ «палец» и при этом обязательно протягивают палец; вместо «два» – «два пальца», «три» – «три пальца». Пять у них зовется «рука», 6 – «палец на другой руке», 7 – «два пальца на другой руке», 10 – «две руки». Покончивший с руками, они перебираются к ногам, и так как обувь не закрывает их ног, то продолжают считать наглядно: 11 – «палец на ноге», 12 – «два пальца на ноге», 15 – «нога и две руки», 16 – «палец на другой ноге». Но вот подходит дело к 20ти, использованы, следовательно, и руки и ноги, тогда является на помощь «человек». 20 называется «человек», так как у него 20 пальцев; как же выразить, напр., 27? Это будет «2 пальца на другой руке другого человека». Сотня заменяется у них пятью человеками, а выше сотни бедные индейцы едва ли и порываются считать, потому что у них нет для этого ни потребностей, ни развития. Кстати сказать, и эскимосы, обитатели холодных стран Северной Америки, вместо «20» говорят «человек» и вместо «100» пять человек.

«…папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук,

 например «бе,бе,бе»…Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе»(рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе,бе, бе…»,пока не дойдет до «ибон-али»(2 руки). Затем он идет дальше, приговаривая «бе,бе»., пока не дойдет до «самба-бе»(одна нога) и «самба-али»(2 ноги). Если нужно считать дальше, то папуас пользуется пальцами рук  и ног кого-нибудь другого». Так пальцевый счет туземцев Новой Гвинеи описал знаменитый русский путешественник                                                 Н. Н. Миклухо-Маклай.

    Таким образом, пальцы для того человека, который едва умеет считать, являются неоцененным и удобнейшим пособием. Это мы можем проследить во всех странах земного шара и у всех людей. Для счета им нужно наглядное пособие, а какое же пособие ближе к человеку, как не его собственные пальцы? Особенно их любят дикари и малые дети.

    Римляне были большие любители всевозможных вычислений на пальцах. Они  умели производить при помощи пальцев некоторые действия. И сейчас еще потомки римлян, румыны и южные французы, в состоянии быстро и искусно проделывать на пальцах таблицу умножения.

        Умножали на пальцах  однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные  пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

       Пальцевым счетом можно воспользоваться также и при умножении двузначных чисел, но только таких,  чтобы они были не выше 20.

    Чтобы показать это на примере,  умножим этим способом 13 на 14;

• для этого 3 и  4 складываем, будет 7 (столько десятков);
•  эти же числа 3 и 4, перемножаем, будет 12, (столько единиц);
•  а за то, что множители принадлежат ко 2  десятку, надо к полученным ответам добавить еще сотню, тогда  получится: 100+70+12=182.

15. 1.2.Таблица умножения

     Вы не можете выполнить умножения многозначных чисел, — хотя бы даже двузначных, — если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения.

         В римских школах таблицу заучивали хором на распев. В наших современных учебниках по арифметике таблица умножения содержит в себе обыкновенно произведения всех однозначных чисел, начиная с 2×2 и кончая 9×9. В средние века смотрели на это дело иначе; тогда и в арифметике, и в других науках давали большой простор памяти, а поэтому заучивание применяли широко; требования в этом отношении простирались так далеко, что ученики обязаны были запоминать произведения всех первых сорока чисел на однозначных множителей, следовательно, 360 произведений. Кроме того, квадраты всех чисел, выраженных полными десятками, кончая 90X90, и произведения всех однозначных чисел на полные десятки, кончая 9×90. Всего набирается более 400 произведений. И такую  - то массу должна была поглотить память учащихся! Сколько же труда и сколько времени надо было истратить на это! Ведь учили прямо наизусть, без всяких разъяснений и в громадном большинстве случаев без всякого понимания. Трудно и теперь ребятам, когда их заставляют заучивать таблицу умножения, не практиковавшийся их, как она составляется; но неизмеримо труднее приходилось ученикам  средневековой школы, в которой требовали гораздо больше, а давали гораздо меньше.

47. Глава II. Старинные способы умножения
48. 2.1.Старинные  приемы умножения

        За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения.  Кроме таблицы умножения, все они громоздкие, сложные и трудно запоминаются.  Считалось, что для овладения искусством быстрого умножения нужно особое природное дарование. Простым людям, не обладающим особым математическим даром, это искусство недоступно.
    Итальянский математик 15 века Лука Пачоли  приводит 8 способов умножения. А в книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

   И все эти приемы умножения — «шахматный или органчиком», «загибанием», «по частям или в разрыв», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником», «кубком или чашей», «алмазом» и прочие, а также все способы деления, носившие не менее затейливые наименования, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности. Усваивались они с большим трудом и лишь после продолжительной практики. Рассмотрим некоторые из них.

    Автором нашего  способа умножения многозначного числа на многозначное следует считать Адама Ризе, популярного немецкого педагога (1492–1559). В его руках он получил последнюю отделку и завершение, и теперь он считается самым удобным. Главное отличие способа Адама Ризе заключается в том, что разряды всех чисел и множимого, и множителя, и произведения стоят один под другим в одном вертикальном столбце; благодаря этому сразу видно, к какому разряду принадлежит известная цифра, и следовательно сбиться в этом почти нельзя.  Наш настоящий способ умножения больше  всего напоминает вычисление по колоннам абака.

     Второй способ «маленький замок» принадлежит Вендлеру и отличается  тем же самым, чем  второй от первого, именно лишними нулями на месте десятков, сотен и т. д.

     Следующий способ предложил итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» (1494г) приводит описание различных методом умножения, один из которых носит название «ревность, или решётчатое умножение». Рисуем прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки делим по диагонали, и «…получается картина, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть сидящих у окон дам и монахинь»

Пример: перемножим 987 и 12:

• рисуем прямоугольник 3 на 2
• затем квадратные клетки делим по диагонали;
• вверху  таблицы записываем число 987;
• слева таблицы число 12;
•  теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр – сомножителей, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки выше диагонали, единицы ниже;
•  после  заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали;
• результат записываем справа и внизу таблицы

      Этот способ, непохожий на наши школьные приемы, употребителен был в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности и получил название «русский крестьянский способ умножения» Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.

                                     2  :   32         13 ×2

                                            16          26

                                              8          52

                                             4           104

                                             2            208

                                             1            416      

   Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.

   Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное?  Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо, - гласит правило, - в случае нечётного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число.

                                            2  :   19                17×2*

                                                     9                  34*

                                                     4                   68

                                                     2                 136

                                                      1               272*

Сложив  числа отмеченные звездочками, получаем вполне правильный результат: 17 + 34 + 272 = 323.  

  Весьма вероятно, что описанный сейчас способ дошел до нас из глубочайшей древности и из отдаленной страны — из Египта. Мы мало знаем, как производили арифметические действия обитатели древней Страны пирамид. Но сохранился любопытный документ — папирус, на котором записаны арифметические упражнения ученика одной из землемерных школ древнего Египта; это, так называемый «папирус Ринда», относящийся ко времени между 2000 и 1700 г. до нашей эры и представляющий собой копию еще более древней рукописи, переписанную неким Ахмесом. Писец Ахмес, найдя «ученическую тетрадку» этой отдаленнейшей эпохи, тщательно переписал все арифметические упражнения будущего землемера — вместе с их ошибками и исправлениями учителя, — и дал своему списку торжественное заглавие, которое дошло до нас в следующем неполном виде:   «Наставление, как достигнуть знания всех темных вещей... всех тайн, сокрытых в вещах» Составлено при царе Верхнего и Нижнего Египта Ра-а-усе, дающем жизнь, по образцу древних сочинений времен царя Ра-ен-мата писцом Ахмесом».

В этом интересном документе, насчитывающем за собой около 40 веков и свидетельствующем о еще более глубокой древности, мы находим четыре примера умножения, выполненные по способу, живо напоминающему наш русский народный способ. Вот эти примеры (точки впереди чисел обозначают число единиц множителя; знаком + мы отметили числа, подлежащие сложению):

    Мы видим из этих примеров, что еще за тысячелетия до нас египтяне пользовались приемом умножения, довольно сходным с нашим крестьянским.  Неведомыми путями он как бы перекочевал из древней страны пирамид в современную эпоху. Если бы обитателю земли фараонов предложили перемножить, например, 19 * 17, он произвел бы это действие следующим образом: написал бы ряд последовательных удвоений числа 17,

 и затем сложил бы те числа, которые отмечены здесь знаком «+»,  17 + 34 + 272. Он получил бы, конечно, вполне правильный результат: 17 + (2 * 17) + (16 * 17) = 19 * 17. Легко видеть, что подобный прием по существу весьма близок к нашему «крестьянскому» (замена умножения рядом последовательных удвоений).

В одной старинной русской рукописи описывается интересный прием «умножения крестиком», применявшийся еще в древней Индии под названием «молниеносного».

Пример:      24 х 32 = 7684                                       2             4

                                                                                   I      X     I

                                                                                  3             2

Последовательно производим следующие действия:

                 1.    4 х 2 = 8 – это последняя цифра результата.

                 2.    2 х 2 = 4; 4 х 3 = 12; 4 + 12 = 16.

                       6 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.

                3.    2 х 3 = 6,  6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе.

                                                                                                   Ответ – 768.

Этим способом удобно пользоваться и в настоящее время.

   Закончим нашу беседу об умножении объяснением последнего, в высшей степени оригинального приема, который незнающего наблюдателя может даже поразить. Передают, будто один немецкий школьный учитель показал детям это умножение, а потом при посетителях просил считать, устно и приводил в удивление быстротой счета, разумеется, в том случае, если посетитель не знал секрета.

Учитель: «83×87!»

– Ученик: «80×90 = 7200 да 3жды семь 21, всего 7221».

–Учитель: «24×26!»

–Ученик: «20×30 = 600, да четырежды шесть 24, всего 624».

– Учитель: «92 × 98!»

–Ученик «90 × 100 = 9000, да дважды восемь 16, всего 9016».

Секрет, как видно, заключается в том, что не всякий пример годится для этого правила, а только такой, где бы десятки в обоих множителях были одинаковыми, а единицы составляли в сумме десять; так что если взять один множитель, например 41, то парным к нему множителем обязательно должен быть 49. Правило для подобных примеров следующее: надо десятки умножить на следующие десятки (40×50=2000), а единицы просто перемножить (1×9 = 9) и все сложить: 2000 + 9 = 2009. Правило это дал итальянец Тарталья (XVI в.), большой изобретатель разных способов, и письменных, и устных.

      Нами рассмотрены лишь некоторые старинные способы умножения.   Используя некоторые из этих способов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.  

49. Глава III . Результаты исследования по теме
50. «Старинные способы умножения»

Для того чтобы выяснить, знают ли нынешние ученики  старинные способы умножения, нами было проведено небольшое исследование. Для этого мы составили вопросы для анкеты, вот они:

• Умеете ли вы умножать?
• Знаете ли вы таблицу умножения?
• Знаете ли вы, другие способы умножения  кроме нашего современного?
• Хотели бы вы узнать другие способы умножения?

     После этого был проведён опрос учащихся, в котором принимали участие  учащиеся 5-8 классов. Обработав полученный материал, были составлены следующие результаты. [см. Приложение №1]

      В результате исследования выяснилось, что все опрошенные умеют умножать и делить. А вот  таблицу умножения знают не  все  на «отлично»:    

                      5 класс-81%;

                      6 класс – 89%;

                      7 класс- 83%;

                      8 класс- 85%.

  Также  выяснилось, что о старинных способов умножения  никто не слышал, кроме 5 класса. И есть желающие познакомиться с ними.

Заключение

   В истории математики есть много интересных событий и открытий, к сожалению не вся эта информация доходит до нас, современных учеников.

   Этой работай, мы хотели хоть чуть - чуть заполнить этот пробел и донести до наших сверстников информацию о старинных способах  умножения.

    В ходе роботы мы узнали о происхождении действия умножения. В старину было не лёгким делом владеть этим действием, тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения  — приемы один другого запутаннее, твердо, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.  Признавалось даже, что для овладения искусством быстрого и безошибочного умножения  многозначных чисел нужно особое природное дарование, исключительные способности; рядовым людям премудрость эта недоступна.

     Своей работой мы доказали, что наша гипотеза верна, не нужно обладать  сверхъестественными способностями, чтобы уметь пользоваться старинными способами умножения. А ещё мы научились подбирать материал, обрабатывать его, то есть выделять главное и систематизировать.

    Результатом нашей работы стала книга «Старинные способы умножения». Смело, рекомендуем эту книгу вниманию любителей арифметики.

Литература

1.История математики в школе IV-VI классах. Г.И. Глейзер. М.Просвещение 1981г.

2.Занимательная арифметика. Перельман Я. И.Издание: 8од изд.:1954

3. За страницами учебника математики. И.Я.Депман, Н.Я.Виленкин М.Просвещение 1989г.

1. 4. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей. Общедоступные очерки для любителей арифметики. Составитель: В. Билюстин. М:1939г.

5.Энцеклопедия для детей. Т.11 Математика. М: Аванта+ 2003г.

Приложение I.

Результаты анкетирования по теме «Старинные способы умножения».

Умеете ли вы умножать?

Знаете ли вы таблицу умножения?

Знаете ли вы, другие способы умножения  кроме нашего современного. ?

Хотели бы вы узнать другие способы умножения ?

Выступление.

Тема нашего исследования «Старинные способы умножения и деления» (Слайд1)

Мы выбрали эту тему потому что, эта тема актуальна и актуальность её мы поняли после небольшого исследования. ( слайд )

Был проведён опрос учащихся 5-8 классов. По следующим вопросам и были получены следующие результаты: (слайд)

Оказывается, что таблицу умножения знают на «отлично» не все, а способы умножения и деления,  кроме как «уголком», и «столбиком», никто вообще не слышал. Но все не против с ними познакомиться. В школьной библиотеке книг на эту тему очень мало. Информация находится в разных   источниках. Тогда у нас в голове зародилась мысль, создать книгу по теме «Старинные способы умножения и деления», и познакомить с её содержанием наших сверстников. Отсюда была определена цель( слайд )

Изучить старинные способы умножения и деления.

Чтобы достичь цели были поставлены следующие задачи.

1. Изучить историю возникновения умножения и деления.
2. Изучить различные способы умножения и деления.
3. Донести эту информацию до наших сверстников.

Нас очень заинтересовала данная идея. Мы захотели узнать   способы умножения и деления наших предков, если они смогли разобраться с ними, почему бы и нам не попробовать. Ведь это  очень загадочно и интересно. ( слайд )

       Первым счетным средством для человека были его  пальцы. ( слайд )

Пальцы для того человека, который едва умеет считать, являются неоцененным и удобнейшим пособием. Это мы можем проследить во всех странах земного шара и у всех людей. ( слайд )

Способов умножения и деления много,  Итальянский математик 15 века Лука Пачоли  приводит 8 способов умножения, а в книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения, причем это ещё не все, мы предложим вам на наш взгляд самые интересные. ( слайд )

Один из них носит название «ревность, или  решётчатое умножение».( слайд )

Крестьянский способ может пригодиться тем, которые не в ладах с таблицей умножения.( слайд )

Следующий способ называется «Маленький замок» очень похож на наш отличие его в том, что умножать начинают с высшего разряда, и ставят нули на месте десятков, сотен и т.д. .( слайд )

В ходу было огромное множество способов деления, но все они были запутанными и громоздкими («крестиком», «алмазом», «ромбом»). .( слайд )

Один из самых интересных носит название  «лодкой или галерой». ( слайд )

Знаменитый итальянский математик того времени Николай Тарталья (XVI век) в своем обширном учебнике арифметики писал об этом способе следующее: «Второй способ деления называется в Венеции лодкой или галерой, вследствие некоторого сходства фигуры, получающейся при этом, потому что при делении некоторых родов чисел составляется фигура, похожая на лодку, а в других — на галеру, которая, в самом деле, красиво выглядит; галера получается иной раз хорошо отделанная и снабженная всеми принадлежностями — выкладывается из чисел так, что она действительно представляется в виде галеры с кормою и носом, мачтою, парусами и веслами».

В истории математики есть много интересных событий и открытий, к сожалению не вся эта информация доходит до нас, современных учеников. Своей работай мы хотели хоть чуть - чуть заполнить этот пробел и донести до наших сверстников информацию о старинных способах деления и умножения.

Мы считаем, что цель нашей работы достигнута. ( слайд  )

   Изучив литературу по данной теме, мы

 познакомились с различными способами умножения и деления;

Изучили историю возникновения каждого способа;

 полученную информацию систематизировали и объединили;

составили книгу «Старинные способы умножения и деления»

Благодарим за внимание.