Музыка и математика

Районная научная конференция учащихся

Секция «Математика»

«Математика в музыке»

Автор:

ученица 6 «А» класса

ГБОУ СОШ ж.-д. ст. Погрузная

Пелевина Екатерина

Научный руководитель:

учитель математики

Степанова Галина Алексеевна

С. Кошки, 2013год

Оглавление.

Введение

Глава 1. Восприятие математики и музыки

Глава 2. Общее в музыке и математике

Симметрия в музыке

Ритмы

Прогрессии

Математический анализ гармонии в музыке

Заключение

Список литературы

Введение.

Я учусь в 4 классе музыкальной школы. С большим увлечением посещаю музыкальную школу, так как это очень важно для меня и интересно, но и в то же время трудно. Теория музыки (сольфеджио)  давалась мне очень нелегко. В общеобразовательной школе на уроках математики мы заговорили о том, что древнегреческий философ Пифагор один из самых первых установил связь между музыкой и математикой. Он создал учение о звуке, изучал философскую математическую стороны звука, даже пытался связать музыку с астрономией. Используя особый инструмент – монохорд, Пифагор изучал интервалы, открывал математические соотношения между отдельными звуками. Пифагор развил учение о врачевании болезней при помощи музыки. Он считал, что определенные мелодии могут избавить человека от зависти, ревности, гордыни и других пороков.

 Я задумалась: в какой же связи находятся эти, казалось бы, на первый взгляд несовместимые предметы? Какая связь может быть между математикой, мудрой царицей всех наук, и музыкой? Как могут взаимодействовать такие совершенно разные человеческие культуры? Появилась проблема: что же общего между наукой, пользующейся только строгими доказательствами, формулами, и музыкой – одним из прекраснейших видов искусства, произведения которых создаются в порыве вдохновения?

Мне показалось интересным найти эти связи, найти ответ. На память пришло когда-то услышанное изречение, что «Математика и музыка - сестры». Каким образом? Появилась гипотеза, что существует связь между музыкой и математикой. Я поставила перед собой цель: найти общие точки соприкосновения точной науки математики и прекрасного, изящного искусства – музыки…

Для достижения цели надо решить  задачи:

• проанализировать литературу по теме исследования;
• сравнить материал, изучаемый в музыкальной школе, и материал, который изучают ученики в школьном курсе математики;
• сформулировать выводы.

Объект исследования: музыка и математика

Предмет исследования: математика в музыке

Методы исследования: работа с источниками информации, анализ,сравнения, наблюдения.

Глава 1. Восприятие математики и музыки.

             На первых же уроках сольфеджио – так называются уроки музыкальной грамоты – мы, ученики музыкальных школ, сразу же сталкиваемся с математикой.

В музыке все считать надо. Как и в математике. 7 нот, 5 линеек нотного стана, интервалы. А ноты -то все разные. Одни коротенькие совсем, другие длинные.

Чтобы записать слова – мы используем буквы, числа – цифры, а музыку – ноты.

При записи мелодии, звуки имеют свою длину (длительность). Здесь и происходит сопоставление целого числа и целой длительности, дробного числа и длительности коротких нот, записываемых при помощи дроби.

          Первым, кто в построении теории музыки отдавал приоритет слуховым ощущениям, был ученик Аристотеля Аристоксен. Основателем школы, ставившей во главу угла математические соотношения, был Пифагор. Его же признают создателем первой музыкальной теории.         Еще в Древней Греции математика и музыка назывались родными сёстрами, а со времён Пифагора наука о музыке входила в пифагорейскую систему знаний, наряду с арифметикой (наукой о числах), геометрией (наукой о фигурах и их измерений) и астрономией (наукой о строении Вселенной).

             Для своих исследований Пифагор использовал так называемый монохорд (в переводе с греческого - однострунный). Инструмент представлял собой четырехугольный ящик длиной около 1 метра, над верхней декой (доской) располагалась одна струна, ограниченная с двух сторон порожками. Под струной располагалась двигающаяся подставка, которая позволяла изменять высоту звука.         Выяснилось, что приятные слуху созвучия – консонансы получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, соотносятся как целые числа первой четвёрки, т.е 1:2, 2:3, 3:4. Это открытие потрясло Пифагора: оказалось, что звук и созвучие могут быть описаны простыми числами. Вообще говоря, высота звука, издаваемого струной, определяется несколькими параметрами - длиной и толщиной струны, плотностью материала, из которого она изготовлена, натяжением и т.д. Когда свойства звука изучаются на монохорде, то толщина струны, ее натяжение и плотность материала остаются неизменными. Высота извлекаемого звука изменяется простым смещением подставки.         Частота, с  которой колеблется вся струна целиком, определяет так называемый основной тон. Колебания частей струны вызывают появление обертонов. Самые сильный обертон возникает при колебаниях 1/2 части струны, слабее 1/3, 1/4, 1/5 и т.д. Соответственно соотношение частот (или высот) этих обертонов выглядит так: 1:2:3:4:5:6... Это так называемый натуральный или гармонический ряд звуков, и соответствующие обертоны тоже называются гармоническими.        Математическое описание этого явления было дано значительно позже усилиями д' Аламбера, Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа.

             В эпоху Средневековья (с конца XII – начала XIII века) вся совокупность знаний делилась на 7 основных наук: тривиум – начальный курс образования, включавший в себя грамматику, риторику и диалектику; квадриум – повышенный курс светского образования, куда музыка входила так же, как и у пифагорейцев вместе с арифметикой, геометрией и астрономией. Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики прошлого : Рене Декарт, Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан д'Аламбер, Леонард Эйлер, Даниил Бернулли. Первый труд Рене Декарта - "Compendium Musicae" ("Трактат о музыке"); первая крупная работа Леонарда Эйлера - "Диссертация о звуке".

           Таким образом, связь музыки и математики просматривалась задолго до наших дней.

Глава 2. Что общего в   математике и музыке?

Всякий звук - это колебания обычного воздуха. Когда человек поет, у него происходит колебание голосовых связок. Когда звучит музыкальный инструмент, колеблются струны. Отсюда появляется термин «высота звука». Как измерить эту высоту? Сегодня вряд ли кто-нибудь решится сводить музыку к определенным числовым действиям. Очевидно, надо начать с другого. Окружающий нас мир кроме звуков наполнен еще и ритмами. О чем говорит это слово? Посмотрите вокруг: ритмично звучат шаги, ритмичен ход часов, ритмично биение пульса человека, ритмично наше дыхание и т.д. И стоит нам услышать слово «ритм», как наши мысли невольно обращаются к музыке. И это понятно: ведь ритм – один из важнейших элементов музыки.

2.1. Ритм.

            На уроке сольфеджио мы обычно при изучении произведения «прохлопываем» ритм.  Ритм – один из важнейших элементов музыки. Ритм – чередование длительностей. Оказывается, и среди чисел можно обнаружить ритмы. Первые 100 натуральных чисел расположены в виде изящной правильной фигуры – так называемого Пифагорова квадрата. Займемся поисками ритмов, скрытых в таблице. У чисел, стоящих в одной строке совпадают первые цифры, у чисел, стоящих в одном столбце, совпадают вторые цифры. А теперь обнаружим закономерности, скрытые в других таблицах. Каким ритмом обладают числа кратные, например,3?Начнем с 0 и, увеличивая каждый раз на 1, будем акцентировать все числа, кратные 3. Вот что у нас получается 0,|1,2,3|4,5,6|7,8,9|и т.д.  Мы пришли к красивому, правильному, равномерному ритму, звучащему как музыкальный размер 3/4 . Если ещё раз вглядимся в таблицы,  заметим в них правильный равномерный ритм. А что произойдет, если две такие таблицы положить друг на друга? Возьмем, например, таблицу кратных чисел 4 и наложим её на таблицу кратного числа 6.Числа, обведенные двойной рамкой, располагаются в правильной последовательности. Кратные какого числа обведены двойной рамкой?(Кратные числа 12) Такое совпадение не случайно. Число 12 – Н.О.К. чисел 4 и 6.

          Проанализировав все произведения музыкальной хрестоматии 4 класса, я убедилась еще раз в том, что в основе их лежит ритм (3/4, 6/8, 9/8, 12/8, 2/2 и т.д.)  Слово «ритм» изначально принадлежало музыке, хотя сегодня неудивительно, что оно может быть известно человеку совершенно из других источников. Даже в словаре Ожегова «ритм» определяется как равномерное чередование каких-нибудь элементов. Музыкальный ритм дается как пример, а не как определение. Таким образом, «ритм» можно назвать общим понятием в области науки и искусства.

         Исследуя математические закономерности и числовые последовательности, часто можно обнаружить ритмичность. В частности, «простейшими» примерами математических ритмов являются периодические дроби (кстати, слово «период» также знакомо музыкантам).  Взять хотя бы дробь 2/82. Ее можно записать в виде 2/82=0,0243902439…или 2/82= 0,(02439)

  Окружающий нас мир полон ритмов.      

2.2.Вариации

Что такое вариации? Музыкальное произведение, форма музыкального произведения, состоящего из нескольких частей, каждая из которой звучит с изменениями.  Существуют 3 типа вариаций:

- Мелодические

- Ритмические

- Гармонические

Композитор, разрабатывая избранную им тему, может варьировать ее мелодический рисунок, видоизменять ритм и гармонию, т.е. созвучия. Разумеется, он может варьировать одновременно 2 или даже 3 элемента, с каждой вариацией всё более уходя от начальной темы.

 Слово или число можно определить и описать многими способами. Числа тоже можно задавать словами, иногда это даже удобнее, чем обычная цифровая запись и наоборот.

- Запишите цифрами числа, заданные следующими описаниями:

Наименьшее целое число, название которого односложно (один)

Наибольшее отрицательное целое число (-1)

Наибольшее целое число, которое совпадает с числом букв в своем названии (11).

Два положительных целых числа, сумма которых равна их произведению (2+2= 2 *2) В данном случае цифровые записи удобнее. А, например, чтобы задать число, состоящее из тысячи восьмерок словесно, нам понадобится 31 буква. А теперь я хочу предложить сыграть в одну игру, которую можно было бы назвать вариациями числа.

- Назовите наименьшее трехзначное натуральное число (100)

100 = 50 + 50 = 38 + 62 = 14 999 – 14 899 и т.д.

Следующие вариации отличаются большим изяществом:

100 = 99 + 99/99 = 101 – 101/101

- Запишите число 100 при помощи цифр от 1 до 9,используя каждую цифру один и только один раз. Образец: 100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8*9 = 123 + 45 – 67 + 8 – 9

100 = (1+ 2 + 3 + 4)2 =13+ 23+ 33+ 43

2.3.Длительность

В музыке мы имеем дело с короткими и длинными длительностями, они составляют основу любого ритма: целая нота(), половинная(), одна четверная(), одна восьмая(), одна шестнадцатая()…  В музыке есть такой простенький стишок , обозначающий длительности нот:

Если нота белая ,это нота целая

Разделим ноту белую на половинки белые

Палочкой отметив, чтоб с той не спутать этих.

В каждой ноте половинке

 По две черных четвертинки,

А в каждой четвертушке

По две восьмушке.

Названия длительности служат одновременно и названиями чисел. Нетрудно понять, почему длительности музыкальных нот заимствовали свои названия у дробей. Мы видим, что  длительности получаются так же, как дроби: они возникают при делении целой ноты() на равные доли. Поэтому длительность можно подсчитывать как дробные числа, например:

 =  +  

Равенство здесь надо понимать в том смысле, что длительность слева равна сумме длительностей справа. С помощью чисел то же равенство можно записать в виде 1/4 = 1/8 + 2/10

 =  +   +  = 1/1 = 1/4 + 1/4 + 1/2 и т.д.

И наоборот: 2/4 + 1/8 + 1 = +  +  +  = 4/8 + 1/8 + 8/8 = 13/8 =+  + 

Если все длительности в музыкальном произведении увеличить вдвое, произведение надо исполнять медленнее и наоборот.

 Композитор может сочетать в различных пропорциях звучание различных музыкальных инструментов (струнных, духовых, ударных). На уроке сольфеджио я узнала значение слова «концерт». Это слово обозначает «соперничество, сопереживание». А в концертах часто звучат произведения в исполнении симфонического оркестра. Вот здесь и соблюдаются пропорции солирующего инструмента (фортепиано, скрипка и др.) Значения слов «пропорция» и «пропорциональность» существенно отличаются. В пропорции могут находиться лишь две такие величины, которые можно выразить в общих единицах измерения (например, 30 картин и 2 картины; 2 см длины и     4 см длины и т.д.) Создавая вариации на одну и ту же тему (а вариаций существует 3 типа: мелодические, ритмические, гармонические), композитор может изменять мелодический рисунок, изменять ритм и гармонию, т.е. созвучия. Он может изменить сразу 2 или даже 3 элемента, с каждой вариацией все больше уходя от начальной темы. Тогда может измениться фактура, ритм, регистр, жанр.

2.4.Параллели

           Параллели во множестве встречаются в природе. Траектории каплей дождя параллельны, гребни морских волн и т.д. В твореньях, созданных человеком –тоже много параллелей. В музыке, как и в математике, тоже есть понятие параллельности. Параллельные тональности, мажор и минор, а ещё линии нотного стана всегда параллельны, то есть никогда не пересекаются.  Поразмыслим, почему ноты приходится располагать на параллельных прямых? Так ли необходима здесь параллельность? Ведь в древности музыканты записывали музыку по-разному: и при помощи букв, и графическими знаками – невмами, передававшими общее направление интонации, но не позволявшими выразить длительность звучания или его изменение по высоте вверх или вниз. Музыканта интересует не просто то, что одна нота выше или ниже другой: ему требуется знать, насколько одна выше или ниже другой. Измерить высоту нам как раз помогают параллельные линейки. Параллельные линии можно увидеть не только в нотах, но и во внешней форме некоторых музыкальных инструментов: струны арф или органные трубы. Слово “параллельный” происходит от греческого “параллелос” - идти рядом. От него уже происходит вам знакомое слово “параллелепипед”.    “Аналогия” - понятие близкое параллелелизму. Аналогии оказывают существенную помощь при решении задач. Рассмотрим примеры, отчетливо показывающие, как внешне различные объекты обладают внутренним сходством, что позволяет сводить одну задачу к другой.

А). Сколькими способами можно прочитать слово “аналогия” на этом ромбе с отрезанной нижней вершиной?

                                                      А

                                                    Н Н

                                                  А А А

                                                 Л Л Л Л

                                               О О О О О

                                                 Г Г Г Г

                                                  И И И

                                                    Я Я

Б) Сколькими способами можно прочитать слово “подобие” на этом прямоугольнике из букв?

П О Д О Б И Е

О Д О Б И Е П

Д О Б И Е П О

О Б И Е П О Д

 Перейдем теперь к музыке. Параллели можно обнаружить не только в нотной записи, но в самом звучании музыки. Сравните, что получится, если одна и та же мелодия будет исполнена различными голосами, т.е. одновременно, в унисон будут петь 2 голоса. Какую здесь мы наблюдаем параллельность? Голоса поют одинаковую мелодию, только женский голос будет звучать в верхнем регистре, а мужской - в нижнем, а звучат они параллельно (“Голубой вагон”).

Параллельно могут звучать голос и фортепианное сопровождение со сдвигом на октаву. (“Дважды два – четыре”).

Параллельно будут звучать голоса туристов при исполнении песен у костра, а может, и в хоре при условии исполнения произведений в унисон.

2.5. Противоположности

 В математике существуют противоположности:

Отрицательное число – положительное число,

Плюс – минус,

Деление – умножение,

Четное число – нечетное число,

Больше – меньше,

Простое число – составное число   

Число х - обратное число 1/х

Сложение – вычитание

Четное число – нечетное число

Половина – вдвое больше

Делитель – кратное

Простое число – составное число

Параллельно – перпендикулярно

Прямая - кривая

           В музыке существует еще одна пара противоположностей: медленно-быстро. Эта пара играет весьма важную роль в музыке. Характер песни во многом определяется ее темпом. И искажая темпы, можно исказить и всё произведение.

          Известна одна старинная математическая задача – шутка, основанная на неожиданной замене быстрого и медленного темпов. Называется эта задача “Наследство старого шейха”.  “Предчувствуя свою кончину, старый шейх велел позвать двух своих сыновей и сообщил им, что в расположенном неподалеку оазисе закопал несметные сокровища. Шейх повелел сыновьям отправиться на поиски клада, завещав его целиком тому, чей верблюд достигнет оазиса вторым. Сыновья шейха призадумались. Если каждый из них будет стремиться отстать от другого, то они ни когда не доберутся до оазиса и не смогут выкопать сокровища. Изрядно поломав головы, но ничего и не придумав, они отправились за советом к кадию . Кадий велел сыновьям спешиться и, подозвав их к себе, прошептал что-то каждому на ухо. Выслушав совет кадия, наследники шейха торопливо вскочили на поджидавших верблюдов и что было духу помчались к оазису. Сокровище досталось тому, кто первым домчался до оазиса. Какой совет дал кадий сыновьям шейха?”

Ответ: - В завещании шейха говорилось, что весь клад достанется тому, чей верблюд достигнет оазиса вторым. Кадий посоветовал сыновьям шейха обменяться верблюдами: тот из сыновей, кто хотел бы, чтобы его верблюд пришел вторым, должен был бы поторапливаться и примчаться в оазис первым на верблюде своего брата.

                Еще одна противоположность в музыке – высокое и низкое. Такие качества относятся, прежде всего, к области не слуховых, а зрительных ощущений: высокое здание, низкий потолок и т.д. Это в большей степени относится к музыкальным инструментам. Высоким звучанием отличаются, например, флейта – пикколо, скрипка; низким – контрафагот, туба, контрабас. Противоположностей в музыке очень много: громкий – тихий, быстрый – медленный, длинный – короткий, многоголосие  - соло, вокальное исполнение – инструментальное и т.д.

2.6. Симметрия .

             Симметрия часто используется в музыке. Ряд музыкальных форм строится симметрично. В этом отношении особо характерно рондо (рондо от фр. – круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех раз в основной тональности, а эпизоды – в других тональностях. Это напоминает зеркальную симметрию, основная тема служит плоскостью, от которой как бы отражаются эпизоды. Но тот эпизод, который раньше прозвучал в высокой тональности, повторяется в низкой, и наоборот.

             «Душа музыки - ритм, он состоит в правильном периодическом повторении частей музыкального произведения», - писал в 1908 г. известный русский физик Г. В. Вульф, - « Правильное же повторение – сущность симметрии».

            Приложим к музыкальному произведению понятие симметрии при помощи нот, т. е. получаем пространственный геометрический образ.

               Гамма до мажор. Композитор в своем произведении может по несколько раз возвращаться к одной и той же теме, постепенно разрабатывая ее. Примером данной формы является «Рондо-каприччио» (фортепиано) Бетховена.  

2.7. Прогрессия

          Арифметическая прогрессия – числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

           Геометрическая прогрессия – числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

           Как ни странно, обе эти прогрессии «живут» и в музыке.

          Интересно, что принцип построения длительностей соответствует принципу построения геометрической прогрессии. И если записать длительности от «целой» (которая принята в музыке за единицу) по степени убывания, то получим:

           В математике такая последовательность называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией, как бесконечная геометрическая прогрессия, модуль знаменателя которой меньше единицы

(в данном случае – ).

Понятие арифметической прогрессии связано с музыкальным понятием квинтовый круг.         Квинтовый круг представляет собой логику создания любой тональности. (Для того, чтобы записать музыку в какой-либо тональности, необходимо знать ее тонику и знаки при ключе. Квинтовый круг реализует данные условия).

           Принцип его построения предельно прост: с увеличением тоники тональности на квинту количество знаков в тональности увеличивается на единицу (здесь мы встречаемся фактически с двумя арифметическими прогрессиями).

2.8. Математический анализ гармонии в музыке.

         Очень давно, начиная с Пифагора, а может быть и ранее, математики обратили внимание на формальную сторону организации музыки – временную и частотную шкалы. Однако, механизмы, воспроизводящие музыку по программе, появились раньше, чем механизмы-калькуляторы, поэтому я рискнула бы назвать музыкантов самыми первыми программистами. Впрочем, и в письменном наследии древних культур, пожалуй, только нотные записи, как описание временного процесса, ближе всего к текстам программ. Как в партитурах, так и в текстах программ есть блоки, условия, циклы и метки, только не многие программисты и музыканты знают об этих параллелях. Но, помня об этом, уже нельзя удивляться тому, что инженеры заставляли воспроизводить мелодии самые первые ЭВМ. Правда, музыканты не могли относить машинную музыку к настоящей, возможно потому, что в ней не было ничего, кроме мертвых звуков. Да и сам машинный звук был крайне далек от звучания акустических инструментов. Видимо поэтому следующим периодом в развитии музыкальных компьютерных технологий стали исследования и разработки методов синтеза звука.

           Инженеры обратились к анализу спектров акустических инструментов и к алгоритмам синтеза электронных тембров. В начале расчет звуковых колебаний выполнялся центральным процессором и крайне редко в реальном времени. Поэтому на первых ЭВМ создание музыкального произведения было очень утомительным процессом. Надо было закодировать ноты и назначить тембры, затем запустить программу для расчета звуковой волны и... подождать несколько часов, чтобы послушать результат. Если музыкант, а точнее программист-оператор, вносил какое-то изменение в партитуру-программу, то ему приходилось снова ждать несколько часов до прослушивания. Понятно, что такая музыкальная практика не могла быть массовой... Но исследователям феномена музыки хотелось пойти дальше, чем применение машины в виде электронной музыкальной шкатулки. Так возникло другое, вполне естественное направление в музыкальном использовании ЭВМ – порождение, генерация самого нотного текста. Если в музыке действительно есть законы и человек-композитор пишет ее по правилам, то, наверное, и машину, умеющую думать, можно попытаться заставить сочинять музыку?...

           В становлении музыкальных компьютерных технологий все это уже давно история. Что же в этой истории связано с Россией? Оказывается очень многое, если вспомнить о работах Л.Термена, Е.Мурзина, А.Володина, создавших уникальные средства синтеза звука, не «после», а «до» западных коллег, Р.Зарипова, посвятившего свои исследования анализу и генерации нотных текстов. Причем, это лишь те исследователи, работы которых признаны за пределами России...

          Таким образом, связь музыки и математики – тема довольно емкая. Мне еще предстоит постичь многие тайны обеих, рассмотренных в данной работе, сфер человеческого творчества – математики и музыки. Однако материал, с которым я познакомилась, убедил меня в том, что «математика и музыка - сестры», которые не могут существовать отдельно. И если «математика ум в порядок приводит», то музыка воспитывает уважение к числу, формирует нравственные качества человека, помогает нам понять окружающий мир и научиться более тонко его чувствовать. В этом и состоит величайшая сила музыки.

Заключение

        Примечательно также, что на протяжении многих веков судьбы музыки и математики переплетались, а сегодня музыка «вплетена» и в информатику. Теперь можно не только слушать «неживую» музыку с лазерного диска, но и самому сочинять (на сайте в Internet). Компьютеры могут и придумывать музыку, и оформлять: создавать дополнительные голоса к основной мелодии, заменять один аккомпанемент другим, использовать любые музыкальные инструменты, - словом, выполнять аранжировку. Правда, музыка эта довольно посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые не укладываются в математические каноны. В самом деле, ученые до сих пор не могут сказать, в чем качественное отличие консонанса (приятного для слуха звучания) от диссонанса (неприятного для слуха звучания). Никому так и не удалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Это можно объяснить только тем, что нам неизвестно, что в действительности происходит в голове композитора, создающего шедевр…

          Таким образом, математика и музыка – два полюса человеческой культуры, два школьных предмета, две системы мышления, тесно связанные между собой. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

           Казалось бы, искусство - весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства.

•        Музыкальные и математические операции родственны и содержательно и психологически.

•        Занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности.

         О взаимосвязях математики и музыки можно говорить бесконечно, открывая все новые и новые, неожиданные и часто странные, одинаковые определения, понятия и смыслы.  Данное исследование доказывает, что в музыке и математике много общего. А закончить я хочу словами великого математика Лейбница: «Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая».

          .

Список литературы

«Рациональность и аффект», Хельга де ля Мотт-Хабер.

«Язык, музыка, математика», Б. Варга. Ю Дюмень, Э. Лопариц.

« Элективные курсы». Издательство «Учитель», 2006 год, г. Волгоград, Л. Сагателова, В. Студенецка.

file://localhost/Математика%20. и %20 Музыка.html.

file://localhost/Математика%20. и %50 Музыка.html.

1. Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков и др. Математика. Учебник для 6 класса средней школы. – М., Просвещение, 1993.- С. 153, №926

     5. Энциклопедический словарь юного математика. – М., 1985.

6. Н.Д. Изместьева, Н.Л. Терский.

7. http://www.yandex.ru

8. http://www.google.ru

(Материал из Викицитатника )

  О.Н.Макеева Научно-исследовательская работа по теме:   «Математическое представление музыки».

  Интернет ресурс: http://ru.wikibooks.org/wiki

 Интернет ресурс: Letopisi.ru  Проект «Музыкальная математика»