Тригонометрическая подстановка

Слайд 1

Слайд 2

над проектом работал ученик 10 класса Воропаев Владислав.

Слайд 3

Цель работы : исследовать методику применения тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач. Объект исследования : процесс применения тригонометрической подстановки как метода решения разнообразных алгебраических задач . Предмет исследования : алгебраические задачи, решаемые средствами тригонометрии.

Слайд 4

Гипотеза: не только алгебра применяется в тригонометрии , но и тригонометрия в алгебре. Причем, применение тригонометрии упрощает процесс решения задачи. Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи : выявить теоретические основы возможности введения тригонометрической подстановки. провести сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее.

Слайд 5

Прорабатывались задачи по темам. §1. Решение уравнений. 1.1 Иррациональные уравнения . 1.2 Рациональные уравнения . §2. Решение систем . §3. Доказательство неравенств . §4. Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции . §5. Решение задач с параметрами .

Слайд 6

Рассмотрим примеры.

Слайд 7

Пример 1 . Решить уравнение . Решение. Если для задачи не удается найти традиционный путь решения, то можно в качестве одного из нестандартных методов использовать метод тригонометрической подстановки. Поделим все члены уравнения на 2. .Докажем, что все корни данного уравнения по модулю не превосходят единицы. Пусть, , тогда . Получили, что при левая часть уравнения по модулю больше единицы, а правая – меньше единицы, что невозможно. Положим . Уравнение примет вид .

Слайд 8

Условию удовлетворяют три значения Поскольку кубическое уравнение не может иметь больше трех различных корней и , то мы нашли все решения. Ответ: .

Слайд 9

Пример 3 . Найти наименьшее и наибольшее значения выражения , если . Рассмотрим решение с помощью тригонометрической подстановки. Уравнение преобразуем так, чтобы в левой части получилась сумма квадратов : . Так как сумма квадратов и равна единице, то каждое из этих выражений по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Пусть . Выразим . Так как , то .

Слайд 10

Ответ: наименьшее значение , наибольшее значение . Алгебраическое решение. Найти наименьшее и наибольшее значения выражения , если . Пусть , тогда задача сводится к определению при каком значении параметра а система имеет решения. Умножим второе уравнение на а и вычтем полученное уравнение из первого. Получили: Это однородное уравнение относительно переменных x и y . Проверкой устанавливается, что при y=0 система решений не имеет, поэтому уравнение можно разделить на

Слайд 11

Получили уравнение: Чтобы это уравнение имело решения необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен. Исходная система равносильна системе Следует заметить , что промежуток получен для первого уравнения, но он содержит лишь положительные числа значит и второе уравнение системы на этом отрезке имеет решения. Значит система имеет решения при . Ответ: , . .

Слайд 12

Выводы. 1. Существует ряд алгебраических задач, для которых метод введения тригонометрической подстановки является наиболее рациональным или единственно возможным. 2. Задачу можно решать методом введения тригонометрической подстановки, если область допустимых значений переменных, входящих в задачу совпадает со множеством значений какой-либо тригонометрической функции. Далее алгебраическое уравнение, система или неравенство заменяется на соответствующую тригонометрическую задачу.

Слайд 13

Отчет о выполнении задач проекта . 1.выявлены теоретические основы возможности введения тригонометрической подстановки; проведен сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее; Создан и далее будет пополнятся банк задач по теме проекта.

Слайд 14

Литература. Шарыгин И.Ф « Решение задач» учебное пособие для 10,11 классов общеобразовательных учреждений, М.: «Просвещение»,1994. Козко А.И., Макаров Ю.Н., Чирский В.Г. «Математика. Решение задач, методы, идеи»,м.: «Экзамен»,2007. Евсюк С.Л. « Математика» пособие для школьников и абитуриентов. Минск: «Книжный дом», 2006.