"Многовариантные задачи"

XXXV открытый региональный конкурс исследовательских работ

учащихся в области социально-гуманитарных и

естественно-математических наук

Математика

Многовариантные задачи

                                                               Вуккерт Никита Фёдорович

                                               г. Красновишерск  

                                                                            МОУСОШ №8 11 «А»  класс

                                          Руководитель:

                                                                            Быстрых Валентина Николаевна,

                                                   учитель МСОШ №8

Красновишерск - 2013

Оглавление

1 Введение        

2 Многовариантные задачи в школьном курсе геометрии        

3 Многовариантные задачи в ЕГЭ        

4 Классификация многовариантных задач.        

4.1 Полезные утверждения необходимые для решения задач.        

5 Многовариантные задачи и их решение.        

5.1 Взаимное расположение линейных фигур        

5.2 Взаимное расположение прямолинейных фигур        

5.3 Взаимное расположение окружностей        

5.4 Взаимное расположение элементов фигур.        

5.5 Соответствие между множеством фигур и множеством их свойств        

6 Эксперимент.        

Заключение

Список источников литературы

Приложения

   Введение

 Человеку любой профессии приходится сталкиваться с нестандартными ситуациями, то есть ситуациями, в которых неизвестен алгоритм необходимых действий. Такие проблемы возникают и у учащихся в процессе обучения математике. Это в конечном итоге приводит к необходимости формирования у школьников умений ставить и решать задачи самых разнообразных типов. Решение задач способствует пробуждению у школьников потребности соединять знания и труд, овладевать способами познания. Такая активная самостоятельная мыслительная деятельность приводит к формированию новых связей, новых свойств личности, качеств ума и тем самым к повышению уровня интеллектуального развития. Особая роль в подготовке учащихся к самостоятельной деятельности принадлежит нестандартным задачам, так как именно умение решать такие задачи способствует организации и осуществлению эффективных действий в различных ситуациях к серии таких задач  относятся и планиметрические задачи, содержащие в условии некую неопределенность, которая позволяет трактовать условие неоднозначно. В результате удается построить несколько чертежей, удовлетворяющих условию задачи - поэтому подобные задачи называют многовариантными.

          Согласно статистике, эти задачи  зачастую оказываются самыми трудными задачами, с которыми очень плохо справляются ученики, на ЕГЭ большинство учащихся даже не начинают решать планиметрическую задачу, и, как следствие, теряют баллы, учитывая актуальность данной темы, нами проведена исследовательская работа.

Объект исследования  - многовариантные задачи.

Предмет исследования – многовариантные задачи, включенные в школьные учебники, сборники задач, КИМы ЕГЭ.

 Гипотеза исследования – если выделить основные умения, необходимые при решении многовариантных задач, то это будет способствовать качественному решению задач данного содержания. 

Цель исследования –  математическая классификация многовариантных задач.

Цель, предмет и гипотеза исследования обусловили выдвижение и решение следующих задач исследования:

1. изучить теоретический материал по данной теме;
2. проанализировать тексты многовариантных задач школьных учебников и задачников для средней школы, КИМов;
3. составить электронный продукт
4. научиться решать многовариантные задачи самому;
5. проанализировать умение решать многовариантные задачи учащимися 10 – 11 классов МСОШ №8 и МСОШ №1.

Методы исследования:

        - анализ

        - эксперимент

     Структура работы:    

Работа состоит из введения, четырёх глав, эксперимента, заключения и списка используемых источников.

Во введении описана актуальность темы, сформулирована цель, дана структура исследовательской работы.

В первой главе проведён анализ школьных учебников.

Во второй главе исследованы КИМы ЕГЭ на наличие в них многовариантных задач.

В третьей главе многовариантные задачи расклассифицированы на несколько типов.

В четвёртой главе предоставлены примеры решения многовариантных задач всех типов.

Эксперимент даёт возможность проанализировать готовность учащихся старших классов к сдаче Единого Государственного Экзамена.

В заключении сформулированы основные выводы к работе и её целесообразность.  

В приложении предложены задачи с сайта http://www.diary.ru/~eek/p170414248.htm.

2 Многовариантные задачи в школьном курсе геометрии

2.1 Содержание и анализ материала в различных школьных учебниках.

Рассмотрим содержание материала по многовариантным задачам изложенного в различных школьных  учебниках по геометрии за курс 7 – 9 класс основной школы, с целью его сравнения и анализа.

А.В.Погорелов «Геометрия 7-11»  (рассмотрим курс 7 -9)

      Данный курс разбит на 14 параграфов:

7 класс:

1) Основные свойства простейших геометрических фигур.

2) Смежные и вертикальные углы.

3) Признаки равенства треугольников.

4) Сумма углов треугольника.

5) Геометрические построения.

8 класс:

1) Четырёхугольники.

2) Теорема Пифагора.

3) Декартовы координаты на плоскости.

4) Движение.

5) Векторы.

9 класс:

1) Подобие фигур.

2) Решение треугольников.

3) Многоугольники.

4) Площади фигур.

Каждый параграф содержит в себе несколько теоретических пунктов. После завершения теоретического курса предлагаются контрольные вопросы и задачи. Ни в одном из параграфов данного учебника многовариантные задачи не встречаются.

Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк и И.И. Юдин «Геометрия 7-9»

Учебник разбит на 14 глав:

1. Начальные геометрические сведения.
2. Треугольники.
3. Параллельные прямые.
4. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
5. Четырёхугольники.
6. Площадь.
7. Подобные треугольники.
8. Окружность.
9. Векторы.
10. Метод координат.
11. Скалярное произведение векторов.
12. Длина окружности и площадь круга.
13. Движения.
14. Начальные сведения из стереометрии.

Каждая глава разбита на несколько параграфов, а те в свою очередь на несколько пунктов. После каждого параграфа автор предлагает практические задачи и вопросы. После каждой главы вопросы для повторения по всей главе и дополнительные задачи. Задач с неоднозначностью в условии мы встретили только две.

После детального изучения наиболее распространенных школьных учебников мы можем отметить, что и в первом и во втором учебнике авторы практически не предлагают нам практику решения многовариантных задач, а потребность в умении решать задачи данного типа довольно велика, следовательно, данный материал необходимо изучить самостоятельно.

3 Многовариантные задачи в ЕГЭ

Ежегодно, в целях подготовки учащихся к ЕГЭ, предлагаются образцы тестов КИМов, по другому называемые демонстрационными вариантами (демоварианты). Собрав демоварианты за последние 7 лет и проведя анализ, мы пришли к следующим выводам:

Демонстрационные варианты за 2007; 2008; 2009 годов не содержат многовариантных задач.

В демонстрационном варианте за 2010 год уже присутствует многовариантная задача с 2-мя вариантами решений.

В 2011 – также есть задача с 2-мя вариантами решений, причём это та же задача, что предлагалась в 2010 году.

В 2012 мы видим ту же саму задачу, предложенную в 2010 и 2011 годах.

2013 год не стал сюрпризом, и в демоварианте за этот год та же задача, которая была предложена в 2010, 2011, 2012.

Таким образом, за последние четыре года в демонстрационных тестах ЕГЭ по математике учащимся была предложена одна и та же задача. Другие же источники для подготовки к ЕГЭ предлагают ряд разнообразных многовариантных задач.

4 Классификация многовариантных задач

Чтобы научиться решать многовариантные задачи, учащимся приходиться обращаться к литературе, специально предназначенной для этого. В последнее время большим спросом пользуются учебные пособия А.Г. Корянова, А.А. Прокофьева, Р.К. Гордина, И.Ф. Шарыгина, Э.Г. Готмана. Разумеется, мы не могли не изучить данную литературу и, собрав информацию из разных источников и проведя её анализ, мы в согласии с авторами определяем пять видов расположения геометрических фигур:

1. Взаимное расположение линейных фигур
2. Взаимное расположение прямолинейных фигур
3. Взаимное расположение окружностей
4. Взаимное расположение элементов фигур
5. Соответствие между множеством фигур и множеством их свойств

Данная классификация помогает более качественно осмыслить подходы к решению многовариантных задач и увидеть эту многовариантность в условии. Также при решении данных задач полезно знать некоторые утверждения, которые, как правило, не встречаются в школьных учебниках.

4.1 Полезные утверждения необходимые для решения задач

1) Пересекающиеся окружности в точках А и В имеют общую хорду АВ.

2) Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.

3) Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.

4) Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника.

5) Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

6) Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной.

7) Радиус (диаметр), перпендикулярный хорде, делит хорду пополам.

8) Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания.

9) Трапеция разбивается диагоналями на два равновеликих треугольника (примыкающих к боковым сторонам) и два подобных треугольника (примыкающих к основаниям).

10) Прямая параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник, подобный данному.

11) Вписанный угол измеряется половиной дуг, на которую он опирается.

12) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

5 Многовариантные задачи и их решение

5.1 Взаимное расположение линейных фигур        

Начнём с элементарной задачи на взаимное расположение точек на прямой.

Пример 1: На прямой взяты точки А, В и С так, что расстояние между точка А и В равно 5, а между В и С равно 3. Найдите расстояние между точками А и С.

Решение: Неоднозначность данной задачи состоит в том, что на прямой не указано взаимное расположение точек А, В и С относительно друг друга. Можно записать шесть различных вариантов расположения этих точек: А, В и С или   С, В, А;   А, С, В или В, С, А;  С, А, В или В, А, С. Если точка В лежит между точками А и С (см. рис. 1а), то

АС = АВ + ВС = 5 + 3= 8, т.е. расстояние между точками А и С равно 8.

Если точка С лежит между А и В (см. рис.1б), то АВ = ВС + АС и тогда АС = 5 – 3 = 2, т.е. расстояние между точками А и С равно 2. Случай, когда точка А лежит между В и С (см. рис.1в) невозможен так как тогда по условию

СВ < АВ.

Ответ: 8 или 2. [7; http://miet.ru/upload/content/abiturient_ru/]

Пример 2:  Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали BD и делит её в отношении 1:2. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырёхугольника ABCM равна 60.

Решение: 

Поскольку в условии задачи не указано относительно какого из концов отрезка BD он делится точкой М в отношении 1:2, то необходимо рассмотреть два случая (см. рис.2)  расположения точки М такие, что BM : MD = 1:2 (см.рис.2а) и BM : MD = 2:1   (см.рис.2б). Так как диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника, то SABC = S BCD  = ½ S ABCD.

1. Если BM : MD = 1:2, то ВМ = 1/3 BD  и  SABM  = 1/3  SABD = 1/6 SABCD  (треугольники ABM и ABD имеют общую высоту).

Аналогично SBCM  = 1/3 SBCD = 1/6 SABCD

Тогда SABCM = SABM + SBCM = 1/3 SABCD.    

Отсюда SABCD = 3*SABCM = 3*60 = 180.

2. Если BM : MD = 2:1, то, проводя аналогичные рассуждения, получим

SABCM = 2/3 SABCD.

Отсюда SABCD = 3/2 SABCM = 3/2 * 60 = 90.

Ответ: 180 или 90. [7; http://miet.ru/upload/content/abiturient_ru/]

Пример 3:  На стороне ВС параллелограмма ABCD выбрана точка Е, делящая эту сторону прямой в отношении 2 : 3. Отрезок DE пересекает диагональ АС в точке F. Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника AFD?

Решение:

Поскольку в условии задачи не указано относительно какого из концов отрезка BC он делится точка Е в отношении 2 : 3, то возможны два случая (на рис.3 точки Е и Е1 такие, что BE : EC = 2 : 3 и E1C : BE1 = 2 : 3).

Если BE : EC = 2: 3, то BE = 2/3 EC и ВС = ЕС +  2/3 ЕС = 5/3 ЕС. Треугольники ECF и AFD подобны по трём угла и AF : CF = AD : EC = BC : EC = 5 : 3. Тогда FC = 3/5 AF и AC =  8/5 AF.

Диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника. Тогда

SADC = ½ SABCD

Треугольники AFD и ACD имеют общею вершину D и их основания лежат на одной прямой. Следовательно, их площади относятся как основания, т.е.

SAFD : SACD = AF :AC = 5 : 8. Отсюда SAFD = 5/8 SACD = 5/8 . ½ SABCD = 5/16 .

2. В случае E1C : BE1 = 2 : 3, решая аналогичным образом, получим SAF1D = 5/14 SABCD.

Ответ: 5/14 или 5/16.

Пример 4: В прямоугольнике ABCD AB = 2,  BC = . Точка Е на прямой АВ выбрана так что угол AED = углу DEC. Найдите АЕ.

Решение:

По свойству параллельных прямых угол AED = углу EDC. Следовательно треугольник DEC  равнобедренный и EC = CD = 2. Получим прямоугольный треугольник ВЕС с гипотенузой ЕС = 2 и катетом  BC = . По теореме Пифагора ВЕ = 1.

Ключевым моментом этой задачи является расположение точки на прямой относительно двух данных на ней точек.

                  Рис.4

1. Если точка Е лежит между точками А и В (точка Е1 на рис.4), то АЕ = 1.
2. Если точка В лежит между точками А и Е (точка У2 на рис.4), то АЕ = 3.
3. Положение точки  А между точками В и Е невозможно так как в этой случае ∠AED > ∠ DEC т.е. не выполняется условие задачи.

Ответ: 1 или 3. [7; http://miet.ru/upload/content/abiturient_ru/]

Пример 5:  В треугольнике АВС известно, что АВ = 18, ВС = 16, cos В = 4/9, АН – высота. Через точку Н проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону АВ в точке М. Найдите НМ.

Решение:

 По теореме косинусов

Поэтому треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС, значит, Н – середина ВС.

Заметим, что существует ровно два случая расположения точки М на стороне АВ:

Либо ∠BHM = ∠BCA (рис.5), либо ∠BHM = ∠BAC (рис.6).

Рис.5                                Рис.6

В первом из этих случаев НМ || ВС. Тогда НМ – средняя линия треугольника АВС, значит НМ = ½ АС = 9.

Во втором случае треугольник BHM будет подобен равнобедренному треугольнику ВАС, следовательно, НМ = НВ = ½ ВС = 8.

Ответ: 9 или 8.

Пример 6: Дан параллелограмм АВСD. Биссектрисы его углов A и D делят сторону ВС на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его периметр равен 40.

Решение:  

Обозначим точку пересечения биссектрис через М, а точки пересечения биссектрис АМ и DM со стороной ВС через N и K соответственно. В зависимости от расположения точки М относительно прямой CD возможны два варианта для чертёжа.                                    

Рис. 7

1) Пусть точка М расположена вне параллелограмма. Так как биссектриса АМ отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник  ABN (рис. 7 a) то AB = BN = NK = KC = x

Периметр параллелограмма равен 40, поэтому из уравнения

2( x+3x ) = 40  Находим x = 5

Значит АВ = 5, ВС = 15.

2) Из уравнения 2( 2х + 3х ) = 40

Находим х = 4, значит АВ = 8 и ВС = 8 + 4 = 12.

Ответ:  5; 15 или 8; 12.

5.2 Взаимное расположение прямолинейных фигур

Пример 7: Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая прямые CD и AD в точках М и Т соответственно и образующая с прямой АВ угол α,  tgα = 3. Найдите площадь треугольника ВМТ, если сторона квадрата ABCD равна 4.

Решение:

1 Случай:  

 Рис. 8

S DBMT  =  S DBKT + S DBKM    По условию:    1) AB = 4 Þ AK = КВ = 2;

2) В DКАТ:  tg a = 3 Þ АТ = 6.

S DBMT =  6 + 4 = 10.

2 Случай:

                    Рис. 9

S DBMT = S DBKT - S DBKM

 В DКАТ:  tg a = 3 Þ АТ = 6.

S DBMT = 6 - 4 = 2            

Ответ:  10 или 2.

Пример 8:  Дан равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС = 10 и АС = 12. Параллельно боковым сторонам треугольника  на одинаковые расстояния от них проведены прямые. Найти это расстояние, если площадь треугольника, образованного этими двумя прямыми и основанием, лежащим на прямой АС, равна 12.

Решение:

 Проведём прямую BD, где точка D – основание высоты данного треугольника. Проводя прямые, параллельные сторонам ВС и ВА, убеждаемся, что они могут образовывать треугольник с основанием, лежащим на прямой АС, расположенный в верхней или нижней полуплоскости относительно АС.

1) Рассмотри случай, представленный ниже когда прямые EF || BC и EG || AB.

Рис. 10

Тогда DC = 6 и BD = 8. Пусть DF = x, а DE = y, тогда используя подобия треугольников BDC и EDF, площадь треугольника GFE, составим систему уравнений

Отсюда следует, что коэффициент подобия равен

Проведём перпендикуляры DH и FP на прямую ВС. Так как высота DH  в прямоугольном треугольнике BDC равна

, то

Рис. 11

2) Второй случай расположения прямых EF и EG приводит к ответу 7,2. Другие варианты расположения прямых не соответствуют условия задачи.

Ответ: 2,4 или 7,2.

Пример 9: Вершины M и N квадрата KLMN лежат на гипотенузе прямоугольного треугольника АВС ( N между В и М ), а вершины K и L на

катетах ВС и АС соответственно. Известно, что АМ = a  и BN = b. Найдите площадь квадрата.

Решение: 1)

 Рис.12

Через точку L проведём прямую, параллельную ВС, до пересечения с гипотенузой АВ в точке Р. Из равенства прямоугольных треугольников BNK и PML следует, что PМ =BN=b.

     Сторона LM указанного квадрата есть высота прямоугольного треугольника APL, проведённого из вершины прямого угла, поэтому:         

     2) Обозначим ∠ ВАС = 𝛼. Тогда ∠ BKN = 𝛼. Из прямоугольных треугольников ALM и NKB находим, что

   поэтому

    Рис. 13

Следовательно:

Ответ: ab.

Пример 10: Найти длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34.

Решение:

1 Случай:

Рис. 14

ОАВО1 – прямоугольная трапеция, ОН = АВ – высота

2 Случай:

Рис.15        DОНО1 – прямоугольный, ОН = АВ – высота  

Ответ:  30 или 16.

Пример 11: Точки M, K и N лежат на сторонах соответственно АВ, ВС и АС треугольника АВС, причём AMNK – параллелограмм, площадь которого 4/9 площади треугольника АВС. Найти диагональ MN параллелограмма, если известно, что АВ = 21,  АС = 12 и   угол ВАС = 1200 .

Решение:

 Анализ условия задачи показывает, что существует два параллелограмма AMNK, удовлетворяющих условию задачи. Пусть площадь треугольника АВС равна S, а ВК/ВС = k. Тогда треугольники МВК и АВС подобны с коэффициентом подобия k, а треугольники NKC и АВС подобны с коэффициентом подобия 1-k. Поскольку SABC = SAMNK + SMBK + SNKC , то имеем

Отсюда получаем: k = 2/3 или k = 1/3 .

5.3 Взаимное расположение окружностей

Пример 12: Около треугольника АВС описана окружность с центром в точке О. Найдите величину угла АСВ, если угол ОСВ равен 100, а угол АОС = 400

Решение: 

Нарисуем окружность с центром в точке О (см.рис.16). Зафиксируем сторону ВС. Проведём диаметр СС1. Тогда дуга окружности ВС1, на которую опирается центральный угол ВОС1, равна 200. Рассмотрим радиус ОС. В зависимости расположения точек А и В относительно прямой ОС можно построить два центральных угла СОА и СОА1 (см. рис.16),

равных 400. Тогда возникает два треугольника, удовлетворяющим условию задачи, АВС и СВА1.    Угол АСВ треугольника АВС опирается на дугу АВ, равную 1200 . Значит угол АСВ = 600 . Угол А1СВ треугольника СВА1 опирается на дугу  А1С1В, равную 1600 , значит угол А1СВ равен 800.

Рис. 16                

Ответ: 600 или 800. [7; http://miet.ru/upload/content/abiturient_ru/]

Пример 13: Дана трапеция АВСD, основания которой ВС = 44, AD = 100, AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и АС, касается стороны CD в точке К. Найдите длину отрезка СК.

Решение:  

1 Случай:  Возможно два случая касания окружности и прямых AD и АС:

внутри трапеции и вне её.

Рассмотрим первый случай. По свойству окружности вписанной в  DACD:

CK = CM = x, тогда KD = DN = 35-x, NA = AM = 100-(35-x) = 65+x Þ 

Þ AC = 65+2x

Рис. 17

Из вершин В и С опустим высоты BH и CP на основание AD.

Трапеция равнобедренная, значит ВСРН – прямоугольник,

AH=PD=(100-44)/2=28, AN = AH+HN= 28 + 44 = 72.

D CPD– прямоугольный, Þ

D АСР – прямоугольный, Þ 

Из выражения для АС находим: 65 + 2х = 75,   х = 5   СК = 5.

2 Случай:

Рис. 18

Пусть CS = CK = x, тогда KD = DТ = 35 - x,

ТA = AS = 100 + (35-x) = 135 - x, с другой стороны, AS = AC + CS = AC + x.

Получаем уравнение:  75 + х = 135 – х, Þ х = 30

Итак, во втором случае СК = 30.    

Ответ: 5 или 30.

Пример 14:  Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках А и В. Найдите расстояние между центрами окружностей, если АВ = 16.

Решение:

Отрезок АВ – общая хорда данных окружностей. В условии не указано расположение центров окружностей относительно АВ. Поэтому задача допускает два вида чертежа.         Рис.19

1. Пусть центры окружности лежат по разные стороны от их общей хорды АВ. Линия центров О1О2 перпендикулярна хорде АВ и делит её в точке пересечения С пополам. Это следует из равенства треугольников О1АО2 и О1ВО2 по трём сторонам и совпадения оснований высот, опущенных из точек А и В. Тогда из прямоугольных треугольников О1АС и О2АС соответственно получаем:

О1С =  = 15

О2С = = 6

Искомое расстояние между центрами равно О1О2 = О1С + О2С = 15 + 6 = 21.

2. Пусть центры окружностей лежат по одну сторону от хорды АВ. Аналогично поступая, находим  О1О2 = О1С - О2С = 15 – 6 = 9.

Ответ: 21 или 9.

Пример 15:  Прямая касается окружностей радиусов R и r. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a, причём R > r и a > R + r. Найдите расстояние между точками касания.

Решение:

 Рис. 20

Пусть О1  центр окружности радиусом R, О2 центр окружности радиуса r, А1А2 и В1В2 – внешняя и внутренние касательные. Из центра меньшей окружности опустим перпендикуляры О2К1 и О2К2 на радиус О1А1 и продолжение радиуса О1В1 соответственно.

Рассмотрим прямоугольные треугольники О1К1О2  (гипотенуза О1О2 = а, катет О1К1 = R – r)  и О1К2 О2 (гипотенуза О1О2 = а, катет О1К2 = R + r ).

Из теоремы Пифагора для этих треугольников получим:

 (длина внешней касательной)

 (длина внутренней касательной)

Ответ:   или  .

5.4 Взаимное расположение элементов фигур.

Пример 16: В параллелограмме ABCD один из углов равен 600 . Точки Е и F являются серединами смежных сторон, образующих острый угол. Площадь треугольника, отсекаемого прямой EF от параллелограмма ABCD, равна S. Найдите площадь треугольника, вершинами которого служат точки Е, F, С.

Правила:

Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.

Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника.

Решение:

используя приведённые выше факты и построив пунктиром два дополнительных отрезка (см. рис. 21), получим, что площадь параллелограмма равна 8S.

Рис. 21

          Обозначение буквами вершин параллелограмма можно начинать с любой вершины. поэтому возникают четыре разных рисунка, соответствующих условию данной задачи (см.рис. 22 а, б, в, г). Треугольники, площадь которых нужно найти,  выделены на каждом из рисунков.

       Площадь треугольника ECF на рис. 22 а находим следующим образом:

SECF = SABCD – SAEF – SEBC – SFDC = 8S – S – ½ SABC – ½ SADC =  8S – S – 2S -2S =3S.

В остальных случаях искомая площадь будет равна S.

 Рис. 22           

Ответ: 3S или S.

Пример 17: Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что СН = АВ. Найдите угол АСВ.

Рис. 23

Решение:

 1. Пусть треугольник АВС – остроугольный (см. рис. 23 а). Пусть ВЕ и СD – высоты треугольника. △АВЕ и △НСЕ равны, как углы соответственно перпендикулярными сторонами. Треугольники АЕВ и НЕС равны по гипотенузе (СН = АВ) и острому углу. Отсюда АЕ = ЕН, и значит, углы ЕАН и АНЕ = 45о . В прямоугольном треугольнике ACF имеем угол CAF = 45о , поэтому угол ACF = 45о .

Рассмотрев остальные варианты, когда:

2. Если  угол ВАС – тупой (см. рис. 23 б).

3. Угол АВС  - тупой.

4.  Угол АСВ – тупой.

5. Угол АВС – прямой.

6. Угол ВАС – прямой.

Находим, что ответом являются 45о или 135о .

Ответ: 45о или 135о

Пример 18: Точки А1В1С1 – основания высот треугольника АВС. Углы треугольника А1В1С1 равны 900, 600 и 300 . Найти углы треугольника АВС.

Решение: Рассмотрим разные виды треугольника, связанные с выбором острого или тупого угла.

                                               Рис. 24

1.Треугольник АВС – остроугольный.

Так как треугольник ВС1 А1 подобен треугольнику АВС, то угол ВС1 А1 равен углу ВСА.

Аналогично из подобия треугольников АВ1С1  и АВС имеем угол АВ1С1 равен углу ВСА.

 Далее развёрнутый угол при вершине С1 составлен из суммы углов ВС1 А1 , АВ1С1 , В1С1А1 .

Отсюда получаем соотношение:

Такие же равенства можно получить для других острых углов. Используем данные углы:

Также мы рассмотрели другие варианты и получили следующие результаты:

2. Если угол АСВ – тупой, то получаются углы 1350 , 150 , 300

3. Если угол АВС – тупой, то углы равны 1200 , 150 , 450

4. Если угол Вас – тупой, то углы равны 1050 , 450 , 300 .

Случаи, когда один из углов треугольника АВС прямой невозможны.

Ответ: 450 , 600 , 750  или  1350 , 150 , 300   или  1200 , 150 , 450   или  1050 , 450 , 300 .

5.5 Соответствие между множеством фигур и множеством их свойств

Пример 19:  Медиана ВМ треугольника АВС, равна его высоте АН. Найдите угол МВС.

Решение:

Рис. 25

        Пусть угол МВС = t. Найдём площадь треугольника АВС двумя способами. Так как медиана ВМ треугольника АВС разбивает его на два равновеликих треугольника, то

SABC = 2SCMB = 2 . ½ BC . BM sint = BC . BM sint.

С другой стороны: SABC = ½ ВС . АН.

Учитывая, что АН = ВМ, приравняем площади BC . BM sint = ½ ВС .  АН. Получаем, что sint = 0,5. Отсюда t = 300 (см. Рис. 25) или t = 1500 (см. рис. 26).

Рис.26

Ответ: 300 или 1500 .

Пример 20: Радиус окружности равен 1. Найдите величину вписанного угла, опирающегося на хорду, равную .  Ответ дайте в градусах.

Решение:          

Рис.27                

      Хорда ВС разбивает окружность на две дуги. Все вписанные углы, опирающиеся на эту хорду, с вершинами, лежащими на одной дуге, будут равны. Для любой точки А (см.рис.27), используя формулу:

, где  и R = 1, получим

. Значит или

Ответ:  450 или  1350 . [4;26]

Пример 21: Дана окружность радиуса 14. Точка М  - середина радиуса ОК. Хорда АС перпендикулярна радиусу ОК. Найти расстояние ВМ, если известно, что АВ – ВК = 4

(рис. 28).

Решение: 

Обозначим ВМ через х (см.рис.28 а), тогда имеем ОВ = 6,5 – х и

, ВК = 6,5 + х. Используя теорему Пифагора для треугольника АОВ, получаем уравнение:

Отсюда находим корни: х1 = 1,5  и х2 = -5,5.

Рис.28        

Интерпретируем отрицательный корень: точка В расположена между точками М и К, то есть отрезок МВ откладывается в противоположном направлении (см.рис.28б). Оба корня удовлетворяют решению задачи.      

Ответ: 1,5 или 5,

6 Эксперимент

       Для подтверждения актуальности проблемы решения многовариантных задач, мы провели эксперимент. Учащимся 10х-11х классов была предложена простейшая задача не с единственным вариантом решения:

      На прямой взяты точки А, В и С так, что расстояние между точка А и В равно 5, а между В и С равно 3. Найдите расстояние между точками А и С.

      Неоднозначность данной задачи состоит в том, что на прямой не указано взаимное расположение точек А, В и С относительно друг друга.

     Можно записать шесть различных вариантов расположения этих точек: А, В и С или   С, В, А;   А, С, В или В, С, А;  С, А, В или В, А, С. Если точка В лежит между точками А и С (см. рис. 1а), то

АС = АВ + ВС = 5 + 3= 8, т.е. расстояние между точками А и С равно 8.

      Если точка С лежит между А и В (см. рис.1б), то АВ = ВС + АС и тогда АС = 5 – 3 = 2, т.е. расстояние между точками А и С равно 2. Случай, когда точка А лежит между В и С (см. рис.1в) невозможен так как тогда по условию СВ < АВ.

Ответ: 8 или 2.

Результаты таковы: (Приложение №1 )

     Из МОУСОШ №1 с поставленной задачей справились из десятых классов 15% учащихся (28 человек), из 11 классов 28% (25 человек).

     В МОУСОШ №8 результаты немного лучше, из десятых классов различные варианты решения нашли 57 человек, что составило 36%, а в 11-х классах с задачей справились 25% (49 человек).

       Из этого можно сделать вывод, что мы были правы, данная проблема действительно актуальна, и мы не зря обратили внимание на неё.  

7 Заключение

Подводя итоги работы, нам бы еще раз хотелось подчеркнуть, что в школьном курсе геометрии многовариантным задачам место не отведено. Школьные программы не предусматривают детальную работу с задачами данного типа, а другой литературы бывает недостаточно.

Одновременно с этим эти задачи  традиционно популярны при проведении всевозможных конкурсов, олимпиад, отбором математически одарённых учащихся, а так же имеет место  на ЕГЭ.

Умение решать многовариантные задачи позволяет учащимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, развития умственных способностей, умение извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа, самостоятельно выполнять различные творческие работы.

Значимость нашей работы заключается в том, что в ней собрана классификация многовариантных задач, показано, что если выделить основные умения, необходимые при решении задач с неоднозначным условием, то можно быть успешным при сдаче ЕГЭ, предложены задания для самоподготовки (Приложение 2). Наша работа принесет пользу, как  учащимся, так и педагогам. Учителями она может использоваться при подготовке к урокам и проведении элективных курсов, а учащимися при самоподготовке к ЕГЭ. Итогом нашей работы является электронный продукт  (Приложение 3), в котором  представлена классификация расположения фигур, некоторые утверждения полезные при решении задач и подробное решение ряда задач.

Список литературы и источников

1.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. «Геометрия 7-9» 15-е изд., доп. – М.: Просвещение, 2006. – 256 с.

2. Гордин Р.К. «ЕГЭ-2012 Задача С4» 3-е изд., испр. и доп. – М. : МЦНMO, 2011 - 176 c.

3. Готман Э.Г. «Задачи по планиметрии и методы их решения»  Пособие для учащихся. – М. : Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996 - 256 с.

4. Погорелов А.В. «Геометрия 7-9» - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2001 - 224 с.

5. Шарыгин И.Ф. «Задачи по геометрии. Планиметрия.» - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982 – 160 с.

6. Демоварианты ЕГЭ по математике 2007, 2008, 2009, 2010, 211, 2012, 2013 годов.

7. http://miet.ru/upload/content/abiturient_ru/EGE/С4. pdf.

8. http://abiturient.ru/upload/content/abiturient_ru/EGE/C4-2012.pdf.

A