О форме капли.

                                                                      Содержание

Введение                                                                                                                                              

Изучение результата действия силы поверхностного натяжения                                          

Изучение результата действия силы сопротивления воздуха                                                  

Заключение                                                                                                                                        

Список используемой литературы                                                                                                

Введение

     О форме дождевой капли часто говорят как об эталоне обтекаемости, однако, как показывают мгновенные фотографии падающей капли (рис.1), она вовсе не имеет красивой сигарообразной обтекаемой формы. Маленькая дождевая капля с диаметром менее одного миллиметра практически сферична, а большая — напоминает крошечную сдобную булочку.

     Мне стало интересно, с чем связана «булочная» форма капли. Для этого необходимо было разобраться в роли сил, действующих на каплю. На каплю действуют: сила поверхностного натяжения, сила сопротивления воздуха и, конечно, сила тяжести.

Цель работы

Выяснить причины необычной формы капли.

Задачи

1.Изучить результат действия силы поверхностного натяжения.

2. Изучить результат действия силы сопротивления воздуха.

   Для достижения поставленных задач я изучил литературу по данному вопросу и по нескольким фотографиям выполнил  физические расчеты.

Изучение результата действия силы поверхностного натяжения.

      Сила поверхностного натяжения стремится сделать площадь поверхности капли как можно меньше. Наименьшую поверхность при одном и том же объеме имеет шар, поэтому, если бы падающая капля не испытывала сопротивления воздуха и двигалась только под действием силы тяжести, сообщающей всем участкам капли одинаковое ускорение свободного падения (в этом случае капля находилась бы в состоянии «невесомости»), то поверхность капли была бы сферической.

Стремление поверхности капли уменьшаться приводит к сжатию капли. А это значит, что давление, под которым находится жидкость внутри капли, становится больше внешнего атмосферного давления.

Нетрудно вычислить величину добавочного давления, которое испытывает жидкость в капле со стороны своей сферической поверхности. Разделим каплю воображаемой плоскостью на две равные части (рис. 2). Оба полушария притягиваются друг к другу силами поверхностного натяжения. Эти силы показаны на рисунке стрелками. На каждую единицу длины границы, разделяющей оба полушария (этой границей служит окружность экватора), действует сила, равная коэффициенту поверхностного натяжения жидкости а. Так как длина границы равна 2лR, то вся сила F взаимного притяжения между половинками капли равна 2πR. Эта сила и создает в капле дополнительное давление.

Вспомним, что давление численно равно отношению силы к площади. Поэтому давление ∆р, вызванное силой F, равно

F/πR²=2πRσ/πR²=2 σ/R

Добавочное давление ∆р, созданное поверхностным натяжением, обратно пропорционально радиусу капли. Вычислим добавочное давление в капле диаметром в два микрона. Из таких капель часто состоят облака. Коэффициент поверхностного натяжения воды σ =0,078 н/м. Поэтому

  ∆р=2 σ/R=2*0,078/0.0000001=1,6 атмосферы    

Формула  ∆р= 2σ/R; верна только для сферической поверхности. Если проделать аналогичный расчет   для случая, когда жидкость находится под цилиндрической поверхностью, то окажется, что ∆р=2σ/R. Следовательно, меняется коэффициент перед отношением π/R.

И вообще, давление, которое оказывает любая поверхность на находящуюся под ней  жидкость,   пропорционально отношению π/Rср. где Rср. это некоторый средний радиус кривизны этой поверхности.

Изучение результата действия силы сопротивления воздуха.

      В случае дождевой капли все осложняется тем, что на неё действует еще сила сопротивления воздуха.

Эта сила направлена против силы тяжести и возрастает с увеличением скорости падения капли.

Раз сила тяжести постоянна, а направленная в противоположную сторону сила сопротивления воздуха растет, непременно наступит такой момент, когда эти силы будут равны по величине, следовательно  результирующая сила станет равной нулю, и скорость капли уже не будет меняться. Капля будет падать равномерно (по инерции) аналогично состоянию покоя и это обстоятельство существенно изменяет форму капли.

Рисунок 3 объясняет почему равномерное движение капли приводит к искажению ее сферической формы.

Для того чтобы столбик воды высотой h в центральном сечении капли двигался равномерно, сила f1 действующая на него снизу, должна превышать силу f2, действующую на столбик сверху, ровно на величину силы тяжести, действующей на столбик, то есть f1-f2=mg, где m — масса столбика.

Масса столбика m=ρV. Здесь ρ — плотность воды, а V — объем столбика, равный hS (S — площадь сечения столбика). Значит, f1-f2 = ρghS. А разность давлений, соответствующая этой разности сил, равна:

                                                                           (f1-f2)/S=ρgh

Итак, давление в точке А должно быть больше давления в точке Б (рис. 3) на величину pgh. Эта разность давлений позволяет нижним слоям столбика удерживать верхние.

Именно это искажает форму капли.

Для того чтобы давление в точке А было больше давления в точке Б, радиус кривизны поверхности  в этой точке должен быть меньше (в соответствии  с формулой  Δр =2 σ/R), чем радиус кривизны в точке Б.

 Из этого следует: если атмосферное давление везде одинаково, то дно капли должно быть более выпуклым, то есть иметь большую кривизну, чем верхушка. Такое отклонение от сферической формы незаметно для мелких капелек, парящих в восходящих потоках воздуха. Радиус подобной капли равен приблизительно одному микрону, и гидростатическая разность давлений ρgh составляет величину порядка 2*0,0001 Н/м². Эта разность давлений настолько мала по сравнению с 1,6 атмосферы избыточного давления Δр в такой капле, что заметить вызванное ею отклонение от сферичности практически невозможно. Такая капля может по праву считаться эталоном сферической формы. Иное дело — крупная капля.

Для капли диаметром 5—6 мм, падающей на землю во время летней грозы, гидростатическая разность давлений равна примерно:

                                                 103 кг/м3*10м/с2*6*10-3м≈

                                                 ≈ 60н/м3       6*10-1атм

Эта величина вполне сравнима с давлением   Δр=2 σ/ R        вызванным силами

поверхностного натяжения.

Действительно,     в    этом    случае

                                                    2σ/ R = 2*0.078н/м / 6*10-3м ≈30 н/м2

Поэтому влияние гидростатической разности давлений на форму капли должно быть заметным, и нижняя поверхность капли должна быть заметно более выпуклой, чем верхняя. Но это находится в противоречии с фотографиями падающей капли (рис.  1). Почему?

Давление воздуха в разных точках вокруг капли совсем не одинаково, как это мы вначале предполагали. Оказывается, при больших скоростях, с которыми падают крупные дождевые капли, позади нее возникает запутанное вихреобразное движение воздуха (рис. 4). В области, как говорят, «турбулентного хвоста» давление воздуха ниже, чем давление вдали от капли. В то же время давление перед каплей, наоборот, оказывается выше, чем давление воздуха вдали от капли. Разность давлений на дно и на верхушку капли создает силу сопротивления при падении капли в воздухе. Эту силу называют лобовым сопротивлением.

Можно оценить величину лобового сопротивления. Пусть S — площадь поперечного сечения капли, v — ее скорость. За время Δt падающая капля проходит расстояние vΔt, увлекая за собой объем воздуха

SVΔt с массой m=pSvΔt (p плотность воздуха). Пришедшей в движение массе воздуха, передается

импульс mv=pSv²Δt. В соответствии со вторым законом Ньютона на воздух со стороны капли действует сила                                                    

                                                     F = ρ0Sυ2Δt/Δt= ρ0Sυ2.

По третьему закону Ньютона точно такая же по величине сила, но противоположно направленная, действует на каплю со стороны воздуха.

В реальных условиях воздух приобретает не всю скорость, а только часть ее, но соотношение:

                                                               F=Aρ0Sυ2

остается справедливым. А — безразмерный коэффициент, зависящий от формы тела. Для шара, например, А = 0,2,  для диска А = 0,6. Этот коэффициент находят экспериментально.

Из формулы для лобового сопротивления можно найти давление, оказываемое потоком на переднюю поверхность   тела. Оно равно:

                                                              F/S= Аρ0υ2 

Вокруг тела давление меняется от точки к точке. Для шара разность давления у поверхности и статического давления далеко от поверхности меняется так, как показано на рисунке 5.

Так как разность давлений на дно и на верхушку больше, чем перепад давлений, необходимый для равномерного движения столбика АБ, то для восстановления равновесия капли часть жидкости должна переместиться из области верхушки ко дну, и верхушка капли должна иметь большую кривизну, чем дно. Дно же из-за большого аэродинамического давления на него должно быть почти плоским. Такую форму и имеют капли на фотографиях.

Приложение.

Рис. 1. Мгновенные фотографии падающих капель воды.

                                                    Объем верхней капли равен объему сферы диаметром 6,5 мм.

                                                     второй — 6 мм, третьей - 4,8 мм,

                                                     четвертой — 2,8 мм.

                                                     Скорость падения первой капли —8,9 м/сек,

                                                     второй —8,8 м/сек, третьей— 8,3 м/сек,

                                                     четвертой — 6,8 м/сек.

Рисунок 2                    Рисунок 3                   Рисунок 4                                    

Рисунок 5                                                          Рисунок 6

Распределение давления возле шарика         Распределение давления

обтекаемого потоками воздуха. Длины         вокруг падающей капли.

стрелок пропорциональны разности

давления на поверхность шарика и        

атмосферного давления вдали от шарика.

.

       Заключение.

      В результате выполнения работы я:

1.Выяснил причины необычной формы капли.

2.Изучил результаты действия силы сопротивления воздуха, действия силы тяжести и силы поверхностного натяжения, на каплю.

Я выяснил, что капли среднего и большого объёма (более 1 мм.) имеют форму далёкую от аэродинамического идеала, однако маленькие капли имеют сигарообразную форму и их можно считать идеалом аэродинамики.

В своей работе я доказал обоснованность утверждения о «булочной» форме капли на основе использования физических формул и мгновенных фотографий летящих капель воды.

       В дальнейшем я намерен продолжать свои исследования с формой капель разных веществ, и выяснить влияет ли плотность и род вещества на форму его капли, находящийся в состоянии свободного полёта.

Список используемой литературы

1  А. И. Кикоин  «Свободное падение тел»  М: Наука, 1984 г.

2. И.Ш. Слободецкий  «О форме капель» М: Просвещение 1985 г.

3. Л. Асламазов «Силы трения и движение» М: Просвещение 1979 г.

4. Я.Е. Гегузин  «Капля» М: Наука 1979 г.