Содержание

Введение        2

ГЛАВА 1 Вступление. Формулировка теоремы Ван Ламуна.        3

               1.1Медиана. Точка пересечения медиан.        4

ГЛАВА 2 Теоремы связанные с медианами.        5

               2.1 Понятие изогонального сопряжения. Точка Лемуана....................6

               2.3Замечательные линии, связанные с центроидом..............................8

ГЛАВА 3 Практическая часть. Доказательство Теоремы Ван Ламуна............13

Заключение.............................................................................................................19

Список используемых источников и литературы..............................................20

Введение.

В моей работе я бы хотел рассмотреть совсем недавно открытую теорему-теорему Ван Ламуна.

Объектом моего исследованияявляются свойства медиан.

Актуальность моей работы обосновывается тем, что данная теорема была открыта за относительно недавний срок - всего лишь 10 лет.

Целью моей работы является исследование различных фактов связанных с медианами и впоследствии доказательство выше озвученной теоремы.

С данной теоремой меня познакомил мой учитель математики, и она сразу поразила меня своим классическим характером. Замечу, что данная теорема широко не известна и моя работа призвана восполнить данный пробел.

Гипотеза:

Теорема Ван Ламуна может быть доказана школьными методами.

Методы исследования, которые использовались в данной работе:

1. Изучение всех свойств, необходимых для доказательства данной теоремы
2. Изучение литературы связанной с данной проблемой
3. Практическая работа -непосредственное доказательство данной теоремы

ГЛАВА 1

Вступление.

Формулировка теоремы Ван Ламуна.

Геометрия существует уже 3 тысячелетия, а треугольник основополагающая фигура геометрии. Казалось бы, что нового может быть нового в изученной вдоль и поперёк такой области геометрии, как треугольник?

Но в 1913 году Фрэнком Морли была открыта удивительная теорема, которая утверждает:

Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.

     Рис.1(Теорема Морлея)                         Рис.2(Теорема Ван Ламуна)

На рисунке 1 три разноцветных угла при каждой вершине большого треугольника равны. Теорема утверждает, что независимо от выбора большого треугольника маленький фиолетовый треугольник будет равносторонним.

Разумеется, подобные, носящие классический характер теоремы рождаются нечасто. Ведь уже сейчас крайне затруднительно обнаружить утверждение, формулируемое в основных геометрических понятиях, нетривиально доказуемое и при этом никому не известное, учитывая почтенный возраст геометрии как науки.

Что может быть красивее этой теоремы? Но вот в 2002 году геометр из Голландии Фло Ван Ламун открыл удивительную теорему, сравнимую по эстетическим параметрам с теоремой Морлея:

Центры описанных окружностей, описанных около шести треугольников на которые произвольный треугольник разбивается своими медианами лежат на одной окружности. (Рис.2)

Моей основной целью является доказательство этой красивой теоремы. Я также докажу справедливость обратного утверждения, а попутно вспомню другие интересные свойства точки пересечения медиан треугольника.

1.1 Медиана. Точка пересечения медиан.

Для начала вспомним, что же такое медиана?

Медиана треугольника - чевиана^[1],  соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая эту чевиану.

Основное свойство медианы:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом(центром тяжести), и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Из множества имеющихся доказательств этой теоремы приведём два.

Способ №1.

Поместим в точки A, B и C единичные массы. Пусть O—центр масс  этой системы точек(он существует по свойству центра масс). Точка O является также центром масс точки A с массой 1 и точки  с массой 2, где A1—центр масс точек B и C с единичными массами, т. е. A1—середина отрезка BC. Поэтому O лежит на медиане AA1и делит её в отношении AO:OA1 = 2:1. Аналогично доказывается, что остальные медианы проходят через точку O и делятся ею в отношении 2:1.

Из данного доказательства следует физическое свойство центроида:

Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.

Способ №2(векторный).

Выберем произвольную точку O в качестве общего начала векторов. На медиане AA1 возьмём точку G, делящую её в отношении 2:1(рис.3), считая от точки A. Тогда на основании формулы деления отрезка в данном отношении  будем иметь:OA1= (OB+OC);OG=,

Рис.3 (Векторное доказательство свойства медиан)

Из этих равенств следует OG =1/3(OA + OB + OC).

Так как в данное выражение векторы OA, OB и OC вершин треугольника ABC входят симметрично. Поэтому векторы точек, которые делят другие две медианы в отношении 2:1, будут иметь то же самое выражение. Это и означает, что делящие точки совпадают.

Из данного выражения вытекает важнейшее характеристическое свойство центроида: Точка O совпадает с центроидом G треугольника ABC

тогда и только тогда, когда верно векторное равенство:

GA + GB + GC=0.(1)

Доказав существования точки пересечения медиан обратимся к её свойствам и свойствам самой медианы.

Свойства медианы:

1.Имеются всего 4 точки P в плоскости треугольника ABC такие, что треугольники BCP,CPA,APB равновелики. Внутри треугольника это его центроид, а вне вершины его антикомплиментарного^[2] треугольника.

2.Медианы треугольника разбивают треугольник на 6 равновеликих треугольников(треугольников с равными площадями).

3.Из медиан треугольника можно составить треугольник,т.к. три вектора, дающие нулевой по свойству можно представить в виде замкнутой ломаной.

ГЛАВА 2

Теоремы, связанные с медианами.

Рассмотрев основные свойства медиан, перейдём к теоремам, каждая из которых легко доказываются через полученные свойства.

Теорема №1(Теорема Лагранжа-Лейбница)

Для любой точки P выполняется векторное равенство РА2+РВ2+РС2=GA2+GB2+GC2+3PG2

Так как скалярный квадрат вектора есть просто квадрат его длины, то:

(PG+GA;PG+GA)+(PG+GB;PG+GB)+(PG+GC;PG+GC)=GA2+GB2+GC2+3PG2+2(PG;GA+GB+GC),в силу свойства (1) последнее слагаемое равно 0 =>ч.т.д.

Из данной теоремы следует ряд важных следствий

1. a2=4/9(2m2b+2m2c-2m2a),если принять в роли P сторону BC.
2. 2.m2a=1/4(2b2+2c2-a2)-длина медианы через стороны треугольника.

Формула Лейбница-Якоби:

3. m2a+ m2b+ m2c=3/4(a2+b2+c2)

Формула Эйлера:

4)9OG2=9R2-(a2+b2+c2).

Рис.4(Теорема Паппа)

Теорема Паппа. Пусть  X,Y,Z  и X',Y',Z' коллинеарные(принадлежащие одной прямой) тройки точек. Прямые XY' и X'Y пересекаются в точке А, прямые YZ' и Y'Z – в точке В, прямые ZX' и Z'X – в точке С. Тогда точки А,В,С коллинеарны.              

Красиво, не правда ли? Заметим, что справедлива и обратная теорема Паппа.

2.1Изогональное сопряжение.

Дадим определение изогональному сопряжению:

Изогональное сопряжение - геометрическое преобразование, при котором любой чевиане в треугольнике ставится в соответствие чевиана,симметричная ей относительно биссектрисы. На рис точки Pи P’ изогонально сопряжены относительно биссектрисы угла А.

             рис.5

Существует несколько пар изогонально сопряжённых точек. Выделим главные:

1.Ортоцентр и центр описанной окружности.

2.Точка Торричелли точка Аполллония.

3.Центроид и точка Лемуана.

Так как моя научная работа связана с центроидом, то здесь я рассмотрю только третий пункт.

Прямая изогонально сопряжённая медиане называется симедианой и соответственно:

Точка Лемуана^[3]-точка пересечения симедиан.

 рис.6                                   рис.7

рис.6-симедиана,

рис.7-K-точка Лемуана.

С точкой Лемуана связано несколько замечательных свойств:

1. Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна, когда эта точка является точкой Лемуана.
2. Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон.
3. Если провести через точку Лемуана отрезки, параллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности(рис.8).

             рис.8

Введём ещё одно новое определение:

Опустим из некоторой точки Р перпендикуляры на прямые, проходящие через стороны треугольника АВС  и отметим основания этих перпендикуляров. Они являются вершинами треугольника, который называется педальным  треугольником точки Р.(рис.9).  

                           Рис.9                                                

Треугольник A1B1C1 является педальным треугольником точки P.

Кстати, окружность, описанная около педального треугольника, называется педальной окружностью.

Из определения педального треугольника появляется ещё одно свойство точки Лемуана, которое нам понадобится в дальнейшем.

    4.Точка Лемуана К является центроидом своего педального треугольника. Заметим, что педальный треугольник вырождается в отрезок в том и только том случае, когда Pлежит на описанной окружности треугольника. Прямая LMN является прямой Симсона^[4](рис.10).

Рис.10

2.3 Замечательные линии и центроид

С центроидом связано множество замечательных линий. В данной работе рассмотрим некоторые из них.

1.Прямая Эйлера:

В любо неравностороннем треугольнике его ортоцентр Н, центроид G и центр описанной окружности O лежат на одной прямой(рис.11).

                         рис.11

Доказательство:

Мы сразу докажем этот красивый факт, если рассмотрим гомотетию ^[5] с центром в точке пересечения медиан  G и коэффициентом .

Действительно, так как медианы делятся центроидом G в отношении 2:1, считая от вершин, указанная гомотетия переводит треугольник АВС в его серединный треугольник . Кроме того, очевидно, что центр О описанной около треугольника АВС окружности совпадает с ортоцентром  серединного треугольника. Но гомотетия, являясь  преобразования подобия, переводит соответствующие элементы треугольника в соответствующие -  в частности, ортоцентр переходит в ортоцентр: .^[6]

2.Существует ещё одна замечательная прямая схожая с предыдущей –прямая Нагеля(рис.12).

Прежде чем сформулировать соответствующую теорему (доказательство которой будет полностью аналогично предыдущему, но потребует несколько больших усилий), необходимо только напомнить, что такое точка Нагеля.

Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания соответствующих вневписанных окружностей с его сторонами, называют точкой Нагеля N.

рис.12

То, что эта точка действительно существует, несложно показать с помощью теоремы Чевы.

В любом  треугольнике его точка Нагеля N, центроид G, и центр вписанной окружности I лежат на одной прямой, причём(точка G лежит внутри отрезка NI),которая называется прямой Нагеля.

 рис.13

Достаточно убедиться в том, что  гомотетия  с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом  переводит точку Нагеля в центр вписанной окружности.

                   рис.14

Иначе говоря, достаточно показать, что прямая, соединяющая вершину А треугольника с соответствующей точкой касания вневписанной окружности перейдёт при этой гомотетии в прямую, проходящую через центр вписанной окружности I (потому что дальше мы точно также сумеем показать, что и образы двух других чевиан, проходящих через точку Нагеля, будут проходить через центр вписанной окружности, а точка пересечения прямых должна переходить в точку пересечения их образов).

Стало быть, образ нашей прямой есть некоторая прямая, проходящая через середину стороны ВС – точку (поскольку рассматриваемая гомотетия вершину треугольника переводит в середину противолежащей стороны), причём параллельно исходной прямой (образ прямой, не проходящей через центр гомотетии есть параллельная ей прямая).

Замечу ещё, что прямая, соединяющая вершину треугольника А с точкой  касания вневписанной окружности со стороной ВС, проходит через точку , диаметрально противоположную точке касания вписанной окружности со стороной ВС (т.е. симметричную ей относительно центра вписанной окружности) – что сразу следует из рассмотрения  гомотетии с центром в А, переводящей вписанную окружность во вневписанную: точка  переходит в точку.

Отсюда я заключаю, что образ прямой есть средняя линия  в треугольнике (точки касания вписанной и описанной окружности со стороной ВС симметричны относительно её середины), и потому проходит через центр вписанной окружности.

3.Добавочные точки и прямые Нагеля

Обратим теперь внимание на то, что центр вписанной окружности I имеет три родственные ей точки  - центры окружностей вневписанных, обладающих схожими свойствами. ^[7]

Рис.14 (Добавочная точка Нагеля)

Оказывается, слабой является и точка Нагеля.

Пусть– точка касания вписанной окружности со стороной ВС, – точка касания вневписанной окружности с центром вс продолжением стороны ВА, а  – точка касания вневписанной окружности с центром в  с продолжением стороны СА. Тогда прямыепересекаются в одной точке. Её называют первой добавочной точкой Нагеля и обозначают Na . Две другие добавочные точки определяются аналогично.

Поскольку слабые точки ходят «четвёрками», любая теорема, в формулировке которой они фигурируют, имеет трёх «сестёр».

Есть три сестры и у прямой Нагеля.

Отрезок с концами в  добавочной точке Нагеля и соответствующей ей центре вневписанной окружности, содержит центроид G и делится им в отношении 2:1.

рис.15

После рассмотрения прямых перейдём к одной замечательной окружности.

Окружность Эйлера (окружность девяти точек,окружность Фейербаха(доказал существование данной окружности),окружность шести точек) - получила такое название из-за следующей теоремы:

Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.^[8]

Свойства окружности 9 точек:

1. Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.
2. Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности. Более того, описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии
3. Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.^[9]

                                    Рис.16

Глава 3

Практическая работа

Доказательство теоремы Ван Ламуна

Перейдём непосредственно к доказательству основной теоремы.

Рассмотрим произвольную точку Р, лежащую в плоскости треугольника АВС. Чевианы, проходящие через данную точку разобьют исходный треугольник на 6.

Отметим в каждом из них центр описанной окружности так, как показано на рисунке. Таким образом получаем шестиугольник A+С–В+А -С+В-(рис.17)

                    Рис.17

Наша цель доказать следующую теорему:

Вершины шестиугольника лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда или Р  является центроидом треугольника(окружность Ламуна) или Р является ортоцентром треугольника (окружность Эйлера).

Существуют 2 случая:

1)Случай шести, пяти различных вершин.

2)Случай нескольких совпадений.

Попытаемся разобрать первый случай.

Случай шести или пяти различных вершин.

Пусть все 6 вершин различны или же совпадает одна пара(как будет видно из наших дальнейших рассуждений случай для 6 вершин подходит к случаю, когда пара вершин совпадает).

Понятно, что в нашем случае (центры окружностей лежат на серединных перпендикулярах) мы шестиугольник специального вида противоположные стороны, которого параллельны(A+С– параллельно А-С+ ,так как оба этих отрезка перпендикулярны BB1и т.д.)

Шестиугольник такого вида будем называть шестиугольником-параллелограммом.

Отрезки A+A-,B+B-,C+C-

Свойства шестиугольников-параллелограммов:

1.Вершины шестиугольника-параллелограмма расположены на коническом сечении. Между прочим, теперь становится ясно, что окружность, которая возникает при Р=G, явление, конечно, исключительное и особенное, но все же не слишком  - окружность ведь представляет собой частный  (вырожденный) случай конического сечения.

Доказательство сразу следует из обратной теоремы Паскаля.

Обратная теорема Паскаля: если точки пересечения противоположных сторон шестиугольника лежат на одной прямой (коллинеарны), то вершины шестиугольника расположены на некоторой конике(рис.18).

Но в нашем шестиугольнике-параллелограмме противоположные стороны параллельны.

            Рис.18

2.Около шестиугольника-параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда его главные диагонали равны(рис.19).

                    Рис.19

Доказательство:

Пусть окружность описать можно. Тогда, например, трапеция В+В-С+С-, как вписанная в окружность, является равнобокой. Поэтому В+В- = С+С- Аналогично, в равнобокой трапеции С+С-А+А- равны диагонали, следовательно, С+С- = А+А-.

Обратно, если диагонали равны, то мы имеем три пары равнобоких трапеций. Отметим точки пересечения продолжений их боковых сторон – получим треугольник PQR. Серединные перпендикуляры к основаниям трапеций будут совпадать с соответствующими биссектрисами углов треугольника PQR, а значит, пересекутся в центре вписанной в этот треугольник окружности, т.е. найдётся точка, равноудалённая от всех вершин.

3. для проекций:

Обозначим ортогональные проекции векторов ,,  на прямые АА1, ВВ1, СС1 соответственно, как ,,.(рис.20)

Тогда справедливы равенства:

(),    (),    

(),    (),

(),    (),

                  Рис.20

Докажем следующее утверждение:

Центры окружностей (среди которых нет совпадающих), описанных около треугольников, на которые чевианы, проходящие через центроид G, разбивают исходный треугольник, лежат на одной окружности.

Рассмотрим треугольник, составленный из медиан, как из векторов, обозначив , , . (Рис.21)

                   Рис.21

Согласно Свойству 3, проекции вектора А+А-, отложенного от вершины A* этого треугольника, равны по длине половинам соответствующих сторон. И т.д. – отсюда получаем, что длины этих трёх векторов равны радиусу окружности, описанному около треугольника, составленного из медиан. Итак, главные  диагонали шестиугольника – параллелограмма оказались равны, и в силу Свойства 2, около него можно описать окружность. Перейдём к рассмотрению следующей вспомогательной теоремы.

Если шесть различных центров окружностей, описанных около треугольников, на которые чевианы, проходящие через точку Р, разбивают исходный треугольник, лежат на одной окружности, то Р совпадает сего центроидом G.

Попробуем доказать, что в  случае расположения центров на одной окружности,это и будет означать, что P=G.

Перепишем Утверждение 3 в терминах скалярного произведения векторов («произведение длин на косинус угла между ними»). Получится

утверждение 3 для скалярного произведения.

 (),   (),  

(),   (),  

(),   (),  

Отсюда, к примеру, следует, что , т.е. что эти два вектора ортогональны. Поскольку длины главных диагоналей равны ( Утверждение 2) , то ортогональными также будут и вектора В+В-+С+С- и В+В--С+С-, так как их скалярное произведение равно 0. Отсюда, в свою очередь, вытекает коллинеарность векторов В+В--С+С- и АА1, т.е.  для некоторого числа k.

+=

k=1.

Итак,

Совершенно аналогично находим, что  и .

Сложив эти три равенства, как раз и получим, что .

Случай нескольких совпадений.

Осталось подробно разобрать случай, когда имеются совпадения центров описанных окружностей. Следующая лемма проясняет ситуацию.

Лемма 1

Точки В+ и С- совпадают тогда и только тогда, когда порождающая шестиугольник – параллелограмм точка Р лежит на окружности, симметричной описанной около исходного треугольника окружности относительно его стороны ВС.(рис.22)

   Рис.22

Действительно, центры будут совпадать в том и только в том случае, когда точки АС1РВ1 будут лежать на одной окружности. Пусть, для определённости, Р расположено «над» прямой ВС. Поскольку около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов составляет развёрнутый, должно иметь место равенство , т.е. точка Р должна лежать на дуге окружности, и из этой точки отрезок ВС виден под углом . Этот же отрезок виден под таким же углом и из любой точки «нижней» дуги описанной около АВС окружности.

Лемма 2

Случай в точности 4 центров невозможен, так как при этом возникает ещё одна совпадающая пара, и мы имеем ровно 3 различных центра, при том, что Р=Н. Все шесть треугольников, образованных чевианами, тогда получаются прямоугольными, и центры описанных окружностей будут находиться на серединах отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами. Конечно, тогда они лежат на одной окружности.

Итак, мы доказали:

Если чевианы проходят через ортоцентр Н, то центры описанных около 6 треугольников

(среди которых лишь три различных) окружностей, на которые чевианы разбивают данный  треугольник, лежат на его  окружности Эйлера.

И обратно, если мы имеем более 2 совпадающих центров, и все центры расположены на одной окружности -  это означает, что на самом деле совпадающих центров ровно 3, точка Р. совпадает с ортоцентром Н, а общая окружность есть окружность Эйлера.

Основная Теорема теперь доказана полностью.

Стоит сказать ещё несколько слов о случае ровно 5 различных центров. Конечно, и здесь, как и в случае 6 центров, мы будем иметь окружность Ламуна. Но интересно отметить, что здесь мы имеем треугольник АВС совершенно специального вида – в этом треугольнике центроид должен лежать на окружности, симметричной описанной относительно одной из сторон треугольника

Вывод.

В данной работе мне удалось решить все проблемы, которые передо мной стояли. Подробно рассмотрев свойства и теоремы связанные с медианами, мне удалось выполнить и практическую часть – доказательство теоремы Ван Ламуна с помощью школьных методов.

Таким образом, я считаю, что моя работа является достаточно важной в области исследования свойств центроида.

Приложение. Список литературы и используемых интернет ресурсов.

Источники:

1.Панарин Я.П. Элементарная геометрия Том 1/ Я.П.Панарин // Москва Издательство МЦНМО.-2004.-34-35стр.

2. A. Мякишев , "О некоторых окружностях, связанных с треугольником. Часть 1”/А.Мякишев//Математическое Образование № 3 (63).-2012.-10-37с;Математическое Образование № 2 (62).- 2012.-51,52с.

3.Прямая Симсона/ http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F0%FF%EC%E0%FF_%D1%E8%EC%F1%EE%ED%E0

Программа для строительства чертежей:

4.Ateliers de Geometrie / http://ateliers.narod.ru/index.html.