Применение процентов в банковском деле

Районная научно-практическая конференция старшеклассников

«В мир поиска, в мир творчества, в мир науки»

Применение процентов

 в банковском деле

 Выполнила: Шелипова Юлия

 ученица 11Б класса

 МОУ СОШ№2 г.Тайшета,

Иркутской области

 Научный руководитель:

 Фролова Оксана Николаевна

 учитель математики

 МОУ СОШ№2 г.Тайшета,

Иркутской области

Содержание

 Введение…………………………………………………………………………………………..3

§1.Банк

1. История развития банков……………………………………………………………………4

1.2 Банк и  банковская система…………………………………………………………………4

1.3 Банки и их виды, функции…………………………………………………………………..6

§2. Проценты

   2.1  История  процентов…………………………………………………………………………8

   2.2  Проценты и банковские счета

2.2.3 Простые проценты……………………………………………………………………………8

2.2.2 Сложные проценты…………………………………………………………………………..10

2.2.3 Многократное начисление процентов в течение одного года. Число   е………………12

2.2.4 Многократное начисление сложных процентов в течение нескольких лет…………..17

  2.3  Некоторые литературные и исторические сюжеты……………………………………...18

§3 Исследовательская  часть………………………………………………………………….        …...19        

Заключение…………………………………………………………………………………………...22

Литература……………………………………………………………………………………………23

 Введение

Во многих книгах и учебниках по экономике для школы и вузов часто цитируют известные строки А. С. Пушкина, сказанные им о герое своего замечательного романа «Евгений   Онегин»:

...читал  Адама  Смита

и   был   глубокий   эконом,

то   есть  умел   судить   о   том,

как  государство  богатеет

и   чем  живет  и   почему.

не   нужно   золота   ему,

когда  простой   продукт   имеет.

Отец  понять  его   не   мог

и   земли  отдавал   в  залог.

В 1776 г. появился знаменитый труд "Исследование о природе и богатстве народов" крупнейшего английского экономиста и философа, "отца экономической мысли" Адама Смита (1723—1790). Уже в 1802 г. первый том этого сочинения вышел на французском и русском языках и поэтому в   начале   XIX   в.   его   узнали   в   России.

Читая приведенные выше пушкинские строки, невольно задаешься вопросом: "А откуда сам А.С. Пушкин знал то, что он писал   об   Онегине?"   Для   ответа   на   этот вопрос заглянем в свидетельство об окончании А.С. Пушкиным лицея. В нем мы найдем перечисление всех преподававшихся дисциплин. Наряду с обширными курсами литературных, исторических и юридических наук в лицее преподавали также логику, математику, статистику, финансы, государственную экономию. Причем объем этих предметов был достаточно обширен. Так, за 6 лет обучения воспитанники проходили курс математики, включавший интегралы и простейшие дифференциальные уравнения механики  (см.: Пушкин А.С. Библиотека поэта. Большая серия. Т. СПб, 1955, С. 7).

Таким образом, все знания А.С. Пушкина по экономике - из Лицея, т.е. со школьной скамьи! А какими знаниями по экономике обладает выпускник нашей общеобразовательной девятилетней или даже одиннадцатилетней школы? Практически никакими, если только наш выпускник не учился в специальных классах с экономической ориентацией!

Создается странная ситуация: физики знакомят учащихся с  ядерными  реакциями, биологи - с генной инженерией, химики - с новейшими соединениями, математики - с дифференциальным и интегральным исчислением, а о рыночной экономике, ее законах и возможностях учащиеся не имеют ни малейшего представления! И это в то время, когда такие её термины «депозит»,  банковский процент, ставка рефинансирования, "акция", "дивиденды", "инфляция", "фондовая биржа", "курс валют", "трансферты" и другие ежедневно звучат по радио, с экранов телевизоров и непосредственно касаются каждого россиянина.

Цель моей работы – показать связь математического аппарата с некоторыми моделями рыночной экономики на примере работы банков, реферативный обзор литературы по теме «Проценты. Применение процентов в банковском деле», показать практическое применение процентов при работе банков с клиентами.

§1.Банк

  1.1 История развития банков.

Банки - весьма древнее экономическое изобретение. Считается, что первые банки возникли на Древнем Востоке в VIII в. до н. э., когда уровень благосостояния людей позволил им делать сбережения при сохранении приемлемого уровня текущего потребления. Затем эту эстафету приняла Древняя Греция. Наиболее чтимые храмы стали принимать деньги граждан на хранение во время войн, поскольку воюющие стороны считали недопустимым грабить святилища.

 Взоры   предпринимателей   того   времени   -   ремесленников   и   купцов

обратились   в   сторону   хранилищ денег.   Так   пересеклись   интересы   двух важнейших участников экономики - коммерсанта, нуждающегося в капитале для расширения своей деятельности и владельца сбережений. Этому банки обязаны своим рождением.

Итак, банки возникли в глубокой древности как фирмы, специализирующиеся на оказании особого рода услуг: хранении сбережений и предоставлении кредитов. Первые банки, являвшиеся предшественниками капиталистических банков, возникли во Флоренции и Венеции (1587 г.) на основе меняльного дела - обмена денег различных городов и стран. Главными операциями банков был прием денежных вкладов, предоставление ссуд государству, торговцам и безналичные расчеты. Суть последних заключалась в перенесении суммы с одного счета на другой в книгах банкира в присутствии обоих клиентов. Позднее по этому принципу были организованы банки в Амстердаме (1609 г.) и Гамбурге (1619 г.).  Это была примитивная форма банковского дела. Банки обслуживали преимуществённо торговлю и расчеты; они недостаточно были связаны с производством, кругооборотом  промышленного капитала. Не была развита у них и такая важная функция, как выпуск кредитных денег.

Со временем банки освоили также деятельность, связанную с организацией расчетов за покупаемые и продаваемы товары внутри страны и на мировом рынке. Это позволило ускорить платежи и повысить их надежность, что оказало положительное влияние на развитие торговли и мировой экономики в целом.

1.2 Банк и банковская система.

Банк - финансовое предприятие, которое сосредотачивает временно свободные денежные средства (вклады), предоставляет их во временное пользование в виде кредитов (займов, ссуд), посредничает во взаимных платежах и расчетах между предприятиями, учреждениями или отдельными лицами, регулирует денежное обращение в стране, включая выпуск (эмиссию) новых денег.

  Банковская система - совокупность различных видов национальных банков и кредитных учреждений, действующих в рамках общего денежно-кредитного механизма. Включает Центральный банк, сеть коммерческих банков и других кредитно-расчетных центров. Центральный банк проводит государственную эмиссионную и валютную политику, является ядром резервной системы. Коммерческие банки осуществляют все виды банковских операций.

 B странах с развитой рыночной экономикой сложились двухуровневые банковские системы.

Верхний уровень системы представлен центральным (эмиссионным) банком. На нижнем уровне действуют коммерческие банки, подразделяющиеся на универсальные и специализированные банки (инвестиционные банки, сберегательные банки, ипотечные банки, банки потребительского кредита, отраслевые банки, внутрипроизводственные банки), и небанковские кредитно-финансовые институты (инвестиционные компании, инвестиционные фонды, страховые компании, пенсионные фонды, ломбарды, трастовые компании и др).

В повседневной практике банк нам, прежде всего, представляется в роли учреждения или организации. И действительно не редко мы можем встретить такие выражения как «банковская организация» или «банковское учреждение». На самом же деле банк намного более широкое понятие. Банк выступает на финансовом рынке во всем многообразии ролей, тем самым, образуя разветвленную банковскую систему и инфраструктуру.

Являясь самостоятельным хозяйствующим субъектом, банк обладает всеми правами и признаками юридического лица. Он продает свои услуги, производит и продает «продукт». Банк может осуществлять любые виды хозяйственной деятельности, не противоречащей его уставу. Тем самым очевидны все признаки банка как предприятия.

Вместе с тем банк как предприятие имеет свою специфику, его деятельность отличается от деятельности других предприятий. Эти отличия состоят в следующем: прежде всего, банки, в отличие от предприятий занятых в сфере промышленности, сельского хозяйства, строительства, транспорта и связи действуют в сфере обмена, а не производства.

Ассоциации банковской деятельности с торговлей не случайны. Банки действительно как бы "покупают" ресурсы, "продают" их, функционируют в сфере перераспределения, содействуют обмену товарами. Банки имеют своих "продавцов", хранилища, особый "товарный запас", их деятельность во многом зависит от оборачиваемости. Таким образом, мы можем видеть банк в роли торгового предприятия.

Еще одна сфера хозяйственной деятельности, которая сама ассоциируется с банком и банковской системой это кредитование.

В кредитных отношениях кто-то из сторон кредитор и кто-то заемщик. В каждой данной кредитной сделке, взятой в отдельности всегда две стороны, причем кредит выражает особое специфическое отношение между ними. В отличие от кредита банк - это одна из сторон отношений, которая хотя и может одновременно выступать в качестве кредита и в качестве заемщика, однако в каждый данный момент в отдельно взятой сделке выступает то ли в качестве кредитора, то ли в качестве заемщика. Следовательно, банк - это не само отношение, а один из субъектов отношений, принимающий в кредитной сделке одну из противостоящих друг другу сторон. Тем самым мы видим банк как кредитное предприятие.

Еще одной сферой деятельности банка является биржевая деятельность. Каждый банк постоянно является участником биржи. Они могут самостоятельно организовывать биржевые операции, выполнять операции по торговле ценными бумагами. Но это не превращает банк в часть биржевой организации, о чем говорит тот факт, что банки появились задолго до биржи, до возникновения купли-продажи ценных бумаг. Торговля ценными бумагами является частью банковских операций, но далеко не главной, по этому мы можем говорить в этом отношении о банке как о агенте биржи.

Нередко банк характеризуется как посредническая организация. Основанием для этого служит особый перелив ресурсов, временно оседающих у одних и требующих применения у других. Особенность ситуации при этом состоит в том, что кредитор, имеющий определенную часть ресурсов, желает при соответствующих гарантиях, на конкретный срок, под процент отдать ее другому контрагенту-заемщику. Интересы кредитора, однако, должны совпадать с интересами заемщика, который совсем не обязательно может находиться в данном регионе. Разумеется, в современном денежном хозяйстве такое совпадение интересов является случайным.

Консолидирующим звеном здесь выступает банк-посредник, обеспечивающий возможность осуществления сделки с учетом спроса и предложения. В отличие от индивидуального

 кредитора ресурсы в кармане банка теряют свое первоначальное лицо. Собрав многочисленные средства, банк может удовлетворить потребности самых разнообразных заемщиков, предоставить выбор кредита на любой вкус - срок, обеспечение, ссудный процент. Банк выступает в данном случае в роли посредника, устраивающего знакомство двух субъектов - кредитора и заемщика.

Рассмотренные сферы банковской деятельности являются основными, но далеко не полным перечнем, поскольку с каждым годом сфера влияния на экономику, как отдельной страны, так и мировую в целом, возрастает все более быстрыми темпами, деятельность банков затрагивает все новые отрасли хозяйственной деятельности предприятий. Таким образом, образуется все более разветвленная банковская система.

1.3 Банки и их виды, функции.

 Банк - это организация, созданная для привлечения денежных средств и размещения их от своего имени на условиях возвратности, платности и срочности. Основное назначение банка - посредничество в перемещении денежных средств от кредиторов к заемщикам и от продавцов к покупателям.

Сегодня «деятельность банковских учреждений так многообразна, что их истинная сущность оказывается действительно неопределенной». В современном обществе банки занимаются самыми разнообразными видами операций. Они не только организуют денежный оборот и кредитные отношения; через них осуществляется финансирование народного хозяйства, страховые операции, купля-продажа ценных бумаг, а в некоторых случаях посреднические сделки и управление имуществом. Кредитные учреждения выступают в качестве консультантов, участвуют в обсуждении народнохозяйственных программ, ведут статистику, имеют свои подсобные предприятия.

•   Банк как учреждение или организация.

Наиболее массовым представлением о банке является его определение как учреждения, как организации. «Банковские учреждения и организации» -довольно распространенный термин, сплошь и рядом его можно встреть как в серьезной научной, так и учебной литературе, банковском законодательстве, банковских документах и печати. Здесь и далее не следует забывать, что «организация» отсылает нас к определенной совокупности людей. Банк как организация, как объединение людей, исторически скорее являлся уделом частного лица и лишь впоследствии, с развитием банковского дела, особенно в современных условиях хозяйствования, превратился в крупные, средние и мелкие объединения.

•   Банк как предприятие.

Как и любое предприятие, банк является самостоятельным хозяйствующим субъектом, обладает правами юридического лица, производит и реализует продукт, оказывает услуги, действует на принципах хозрасчета. Банк может осуществлять некоторые виды хозяйственной деятельности (разумеется, если они не противоречат законам страны и вытекают из Устава банка). Как и любое другое предприятие, банк должен иметь специальное разрешение (лицензию).

•   Банк как торговое предприятие.

Банки в отличие от промышленности, сельского хозяйства, строительства, транспорта и связи действуют в сфере обмена, а не производства. Это обстоятельство, однако, дало основание ряду авторов считать, что банк — это торговое предприятие.

Ассоциации банковской деятельности с торговлей не случайны. Банки действительно как бы «покупают» ресурсы, «продают» их, функционируют в сфере перераспределения, содействуют обмену товарами. Банки имеют своих «продавцов», хранилища, особый «товарный запас», их деятельность во многом зависит от оборачиваемости. На этом, однако, сходство между банком и сферой торговли в основном заканчивается.

Более того, сходство носит внешний характер, так как банк торгует не товарами, а особым «продуктом». Известны, к примеру, такие операции, которые банки совершают с обменом (покупкой-продажей) валют на денежном рынке, когда валюта одной страны (а также золото) покупается или продается по определенному курсу, определенной цене.

•   Банк как посредническое предприятие.

Нередко банк характеризуется как посредническая организация. Основанием для этого служит особый перелив ресурсов, временно оседающих у одних и требующих применения у других. Особенность ситуации при этом состоит в том, что кредитор, имеющий определенную часть ресурсов, желает при соответствующих гарантиях, на конкретный срок, под процент отдать ее другому контрагенту-заемщику. Интересы кредитора, однако, должны совпадать с интересами заемщика, который совсем не обязательно может находиться в данном регионе. Разумеется, в современном денежном хозяйстве такое совпадение интересов является случайным. Консолидирующим звеном здесь выступает банк-посредник, обеспечивающий возможность осуществления сделки с учетом спроса и предложения. В отличие от индивидуального кредитора ресурсы в кармане банка теряют свое первоначальное лицо. Собрав многочисленные средства, банк может удовлетворить потребности самых разнообразных заемщиков, предоставить выбор кредита на любой вкус (срок), обеспечение, ссудный процент.

•   Банк как агент биржи.

Деятельность банка в сфере обращения порождало и представление о нем как об агенте биржи еще в 20-е годы. Поводом для этого, как известно, послужило то, что банки являются непременными участниками биржи. Они могут самостоятельно организовывать биржевые операции, выполнять операции по торговле ценными бумагами. Однако ни исторически, ни логически это не превращает банк в часть биржевой организации. Частные банки (банкирские дома) появились задолго до биржи, до возникновения купли-продажи ценных бумаг. Существенно при этом и то, что торговля ценными бумагами является частью банковских операций, причем далеко не главной. Именно потому, что торговля ценными бумагами довольно специфична и отлична от собственного банковского дела, она позволила бирже выделиться в качестве самостоятельного элемента рынка со специальным аппаратом и задачами.

•   Банк как кредитное предприятие.

Постепенно банк, в свою очередь, все более становился кредитным центром, что дало возможность его определять как кредитное предприятие. Однако это не дает основания для смешения банка с кредитом.

Кредит — это отношение между кредитором и заемщиком по поводу возвратного движения ссуженной стоимости. В кредитных отношениях, следовательно, кто-то из сторон кредитор и кто-то заемщик. В каждой данной кредитной сделке, взятой в всегда две стороны, причем кредит выражает особое специфическое отношение между ними. В отличие от кредита банк — это одна из сторон отношений, которая хотя и может одновременно выступать в качестве кредитора и в качестве заемщика, однако в каждый данный момент в отдельно взятой сделке выступает то в качестве кредитора, то в качестве заемщика.

Далее, отличие между банком и кредитом состоит и в том, что кредит -это отношение как в денежной, так и в товарной форме. В банке сконцентрированы и проходят потоки только в денежной форме. При сопоставлении банка и кредита важно видеть и их исторические корни. Банк возник только тогда, когда возникли деньги, в то время как кредит функционировал и до появления денег во всех их функциях. Банк - следствие развития кредита, являющегося, в свою очередь, по отношению к банку фундаментом.

Как отмечалось, банки занимались не только кредитованием, но и целым рядом других видов деятельности. По своей природе банки связаны с денежными и кредитными отношениями. Именно на их базе и зародилось такое уникальное образование, как банк, который в целом можно определить как «систему особых предприятий, продуктом которых является кредитное и эмиссионное дело». Главным в сущности банка, его основой, можно при этом считать организацию денежно-кредитного процесса и имитирование денежных знаков. А в 1970 г. конгресс США определил коммерческий банк как «финансовый институт, предоставляющий коммерческие ссуды и принимающий депозиты, которые вкладчик может снять по требованию.

Основными функциями банков являются:

• мобилизация временно свободных денежных средств и превращение их в капитал;
• кредитование предприятий, государства и населения;
• выпуск кредитных денег;
• осуществление расчетов и платежей в хозяйстве;
• эмиссионно-учредительская функция; консультирование.

§2. Проценты

2.1 История процентов

   Уже в далекой древности было широко распространено ростовщичество -дача денег взаймы под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в Древнем Вавилоне она составляла 20 % и более! Это означало, что ремесленник, взявший у ростовщика 1000 денежных единиц сроком на один год, возвращал ему по прошествии года не менее 1200 этих же единиц.

Известно, что в XIV - XV вв. в Западной Европе широко распространились банки - учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, ремесленникам, финансировали дальние путешествия, завоевательные походы и т.д. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно: за пользование предоставленными деньгами они брали плату, как и ростовщики древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег.

2.2Проценты и банковские счета

   2.2.3 Простые проценты

Тех, кто берет в долг деньги в банке, называют заемщиками, а ссуду, т.е. величину взятых у банка денег, называют кредитом. Основную часть тех денег, которые банки выдают заемщикам, составляют деньги вкладчиков, которые они вносят в банк на хранение. Часть прибыли, которую получает банк, он передает вкладчикам в виде платы за пользование их деньгами. Эта плата также обычно выражается в процентах к величине вклада. Таким образом, средства, помещенные на хранение в банк, через определенный период времени приносят некоторый доход, равный сумме начисленных за этот период процентов.

Итак, с одной стороны, банки принимают вклады и платят по этим вкладам проценты вкладчику, а с другой — дают кредиты заемщикам и получают от них проценты за пользование этими деньгами. Разность между той суммой, которую получает банк от заемщиков за предоставленные кредиты, и той, которую он платит по вкладам, и составляет прибыль банка. Таким образом, банк является финансовым посредником между вкладчиками и заемщиками. Эта связь наглядно показана на схеме№1

        Вклад                  

        Плата за пользованием вклада             Плата за пользование

                                                                                          кредитом

Одним из самых распространенных способов привлечения в банк сбережений граждан, фирм и т.д. является открытие вкладчиком сберегательного счета: вкладчик может вносить на свой счет дополнительные суммы денег, может снимать со счета определенную сумму, может закрыть счет, полностью изъяв деньги, на нем хранящиеся. При этом вкладчик получает от банка плату в виде процентов за использование его денег для выдачи кредитов предпринимателям, фирмам, государству, другим банкам и т.д.

Г л а в а 1. Расчеты банка с вкладчиками

Мы уже неоднократно отмечали, что за хранение сбережений вкладчика и разрешение распоряжаться этими деньгами банк выплачивает вкладчику проценты к хранящейся сумме денег. В зависимости от способа начисления проценты делятся на простые и сложные. Обсудим их подробнее.

1. Простые проценты

Увеличение вклада So по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада So независимо от срока хранения и количества периодов начисления процентов. Обсудим эту схему.

Пусть вкладчик открыл сберегательный счет и положил на него S0  руб. Пусть банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года р % от первоначальной суммы S0. Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет   руб., и величина вклада станет равной

S=S0(1+ )    руб.; р % называют годовой процентной ставкой.

Если по прошествии одного года вкладчик снимет со счета начисленные проценты  , а сумму S0  оставит  в банке, то по прошествии второго года на вклад вновь начислят руб., а за 2 года начисленные проценты составят рублей.

Но вкладчик может поступить иначе. Он может не снимать руб., начисленных в конце первого года, а всю сумму S1 = S0·(1+)   оставить банке еще на год. Однако по прошествии второго года банк начислит р % не на сумму S0 , лежащую на счете вкладчика, а только на первоначально положенную сумму S0. На величину  руб. никаких начислений банк не производит! В этом и состоит особенность начисления по схеме простых процентов: проценты начисляются всегда только на первоначальную сумму S0.

Теперь понятно, что если вкладчик будет держать свои деньги на счете п лет, то сумма Пn начисленных процентов составит

                        Пn=      (1)

а величина первоначального вклада вместе с начисленными процентами составит

                            Sn=S0·( 1+)   рублей.     (2)

Формула (2) называется формулой простых процентов, или формулой простого процентного роста.

Начисление простых процентов удобно, например, применять тогда, когда по истечении каждого года вкладчик снимает со своего счета проценты, начисленные за этот год.

Отношение

=1+                             (3)

называют коэффициентом наращения простых процентов. Он показывает, во сколько раз вырос первоначальный вклад S0   за  n  лет хранения этой суммы в банке по схеме простых процентов с годовой процентной ставкой р %.

Из формулы (1) следует, что если вклад пролежал на счете сначала n1 лет, а затем n2, то сумма начисленных процентов за п = п1 + п2  лет будет равна сумме процентов, начисленных сначала на n1, лет, а затем на nг лет.

Если число  выразить десятичной дробью и обозначить через i, то формулы (1) - (3) примут более простой вид:

Пn = S0n ∙ i, Sn =S0 +(1+ n ∙ i), =1+n∙i     (4)

Значит, что в случае начисления на сумму So простых процентов в размере р% в год наиболее разумное поведение вкладчика состоит в том, чтобы в конце каждого года снимать со своего счета сумму накопленных процентов. Тогда в начале каждого следующего года на счете вкладчика будет S0 руб. Этими деньгами банк пользуется весь следующий год и в его конце на них начисляет р%.

Если же вкладчик не будет снимать деньги со счета, то он оказывается в невыгодном положении: так, в конце первого года на его счете будет

находиться сумма Sn = S0·( 1+) , и банк будет весь второй год пользоваться этой суммой, а в конце второго года начислит проценты только на сумму S0 ,   которая на величину    меньше

суммы S1. С ростом n эта "несправедливость" будет только возрастать. Так, при So =150 000 руб., р = 30% годовых и n = 5 годам в конце пятого года на счете вкладчика будет находиться

S5 =   150 000∙ (1+)руб.,    которыми банк будет пользоваться весь шестой год, а в конце шестого года банк начислит проценты только на сумму S0 = 150 000 руб. Вряд ли это можно считать справедливым:  ведь на вклад S0 приходится сумма процентов   150 000∙= 225 000 руб.,

которую банк вкладчику не объявляет и, следовательно, пользуется этой суммой бесплатно!

2.2.2 Сложные проценты

Рассмотрим другой способ расчета банка с вкладчиком, свободный от этого недостатка. Он состоит в следующем: если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять р% уже на новую, увеличенную сумму. Это означает, что банк станет теперь начислять проценты не только на основной вклад, S0, но и на проценты, которые на него полагаются.

Такой способ начисления "процентов на проценты" в математике называют сложными процентами, а операцию присоединения начисленных процентов к основному вкладу называют капитализацией процентов.

Пример 1 . Пусть вкладчик положил на счет в банке 25 000 руб. и в течение трех лет не будет снимать деньги со счета. Подсчитаем, сколько денег будет на счете вкладчика через 3 года, если банк выплачивает 30% в год и проценты после каждого начисления присоединяются к начальной сумме   So=25 000 руб.,   т.е. капитализируются.

  По прошествии первого года сумма начисленных процентов составит

R1 = So∙  = 25 000 ∙ 0,3 = 7500  руб.

Поскольку проценты капитализируются, то в конце первого года на счете вкладчика окажется сумма

S1 = So + R1 = 25 000 + 7500 = 32 500 руб.

  В конце второго года банк будет начислять проценты на новую сумму

S1 = 32 500 руб.,  и сумма начисленных процентов составит уже

                          R2 = S1 ∙= 32 500 ∙ 0,3 = 9750  руб.

Капитализация этих процентов приводит к тому, что в конце второго года на счете вкладчика окажется сумма

S2 = S1 + R2 = 32 500 + 9750 =42 250 руб.

В конце третьего года банк будет начислять проценты уже на новую сумму S2 = 42 250 руб., и поэтому сумма начисленных процентов составит

R3 = S2∙  = 42 250 ∙ 0,3 = 12 675 руб.

Эти проценты снова капитализируются, и поэтому в конце третьего года на счете вкладчика будет находиться

                      S3 = S2 + R3 - 42 250 + 12 675 = 54 925   руб.

Наши вычисления закончены:    к концу третьего года вклад увеличился на величину S3 - S0 = 54 925 - 25 000 = 29 925 руб.,

или на    =119,7%.

Для сравнения вычислим сумму денег на счете, если бы начислялись простые проценты.

Тогда So = 25 000 руб., р = 30%, n=3   и  

   =S0 (1+)=2500∙(1+)=47500

Эта сумма на 7425 руб. меньше, чем при начислении сложных процентов.

Проведем в общем случае расчеты, описанные в этом примере. Пусть вкладчик внес на свой счет в банке So руб. Банк выплачивает р% годовых по схеме сложных процентов. Выясним, как изменится сумма денег на счете вкладчика в зависимости от количества лет, которые вклад So руб. находился в банке.

Через один год сумма начисленных процентов составит    руб., и на счете вкладчика будет

 S1=S0+, или S1=S0∙(1+)       (1)

По прошествии второго года банк начислит р% уже на сумму   S1 руб.,   поэтому она увеличится на   руб.,   и в конце второго года на счете окажется

                             S2=S1+, или S2=S1∙(1+)    

На основании равенства   (1)   получаем

                             S2=S0∙(1+)2            (2)

В конце третьего года банк вновь начислит р% уже на сумму  S2  руб.,   а поэтому сумма  S2 руб.

увеличится на   руб.,   и на счете вкладчика уже станет

                                 S3=S2+= S2∙(1+)    

Учитывая равенство  (2),   можно записать

                                 S3= S0∙(1+)3   

Теперь понятно, что если первоначальный вклад S0 руб. пролежит в банке п лет, то сумма денег на счете вкладчика достигнет  (в рублях)   величины

Sn= S0∙(1+)n,          n=1,2,3, …          (3)

Формула (3) дает решение поставленной задачи и называется формулой сложных процентов.

2.2.3 Многократное начисление процентов в течение одного года.

          Число   е

Будем считать, что если за год банк выплачивает вкладчику р%,   то за полугодие он выплатит

 р%, за один месяц  -р% и вообще за  часть года     р% .    Выясним, как изменяется счет вкладчика, если проценты начисляются несколько раз в течение года.

  Рассмотрим сначала частный случай, когда банк выплачивает   100% годовых.

Пусть вкладчик внес на свой счет в банке сумму So руб. сроком на один год. Тогда через год на счете вкладчика окажется сумма 2 S0 руб. История не сохранила нам имени того хитрого вкладчика, который первым сообразил, что если банк будет начислять проценты на вклад через полугодие, т.е. два раза в год, то через год на его счете окажется сумма больше, чем 2S0 руб.

Действительно, за первое полугодие банк выплатит 50%, т.е. S0 руб., и на счете вкладчика окажется сумма

                             S1=S0+∙ S0= S0∙(1+)               (1)  

Например, если S0 = 10 000 руб., то в конце первого полугодия на счете вкладчика будет S1 = 15000руб.  (10 000 + ∙10 000).   Замечательная

догадка нашего вкладчика состояла в следующем: он сообразил, что можно снять со счета накопленную за первое полугодие сумму S0∙( 1 + )руб.

и сразу же положить ее на новый счет еще на полугодие по прежней годовой ставке 100% в год. В конце второго полугодия банк начислит  50%   на

сумму So∙( 1 + )  руб., а не на сумму S0 руб., как это было в первом полугодии.

Таким образом, за второе полугодие банк начислит   S0 ∙( 1 + )руб.

Теперь оказывается, что за два полугодия, т.е. за один год, банк начислил вкладчику сначала S0 руб.,  а затем еще   S0 ∙( 1 + ) руб., т.е. всего

                        S0 +∙( 1 + )∙ S0= S0∙( 1 + )

Вместе с первоначальным вкладом   S0 руб.   наш вкладчик в конце года оказался обладателем суммы

                 S2=S0+ S0∙( 1 + )=2∙ S0+ S0= S0∙( 1 +)2           (2)

Далее мы видим, что сумма S2 оказалась на S0 больше суммы 2S0,  которую готов был выплатить банк по прошествии одного года!

Формулы (I) и (2) показывают, что за первое полугодие вклад увеличился в 1,5 раза, а затем новая, увеличенная сумма еще раз увеличилась в 1,5 раза, т.е. начальный вклад увеличился в 1,52 = 2,25 раза!

Конечно, для осуществления описанной операции совсем необязательно закрывать счет через полугодие, затем открывать новый и т.д. Все это делается проще — через полугодие банк переоформляет счет вкладчика и

все деньги оказываются на одном счете.

Пойдем за нашим вкладчиком дальше. Теперь естественно выяснить, как будет меняться величина вклада, если банк начнет начислять проценты, например, ежеквартально, т.е. четыре раза в год, по 25 % за каждый квартал. В конце первого квартала сумма на счете вкладчика увеличится на

So руб. и будет равна S0 ∙( 1+) = S0 ∙ . Это значит, что начальный вклад S0  увеличится за один квартал в 1 +  = раза. В конце второго квартала уже новая сумма So∙  = S0 ∙  увеличится

в  раза, и на счете окажется So∙=S0 руб.

Аналогично в конце третьего квартала на счете

будет   So∙= S0 руб.,    а в конце четвертого квартала, т.е. через год, на счете вкладчика окажется сумма

                                     S4 = S0= S0руб.

Нетрудно видеть, что сумма S4 в 1,22 раза больше той суммы 2S0, которую готов был выплатить вкладчику банк через год.

Дальнейшие рассуждения нашего вкладчика очевидны: пусть банк начисляет проценты ежемесячно, т.е. 12 раз в год, по%  в месяц. Тогда

после 12 начислений, т.е. через год, на счете вкладчика окажется  

                                       Sn = So ∙.

При ежедневном начислении процентов, т.е. при начислении процентов 365 раз в год по % в день, на счете вкладчика через год окажется сумма

S365=S0= S0∙2,7149.

Если проценты будут начисляться каждый час, т.е. 365 ∙ 24 = 8760 раз в год,  по % =%   в час, то на счете вкладчика через год окажется сумма

S8760= S0= S0∙2,7181.

Вообще, если проценты будут начисляться n раз в год по ставке % , то на счете нашего вкладчика через год окажется сумма

                                  Sn=S0 ∙                                              (3)

Из формулы (3) видно, что определяющим является множитель       

Приведем в табл. 1 некоторые его значения при различных  n.

Таблица   1

Если бы мы захотели продолжить таблицу далее, то при    п = 100 000    имели бы:

=2,71826763, а при n=1000000  =2,718288047.

Из табл. 1 следует, что с ростом числа п   члены

последовательности     возрастают. Строгое доказательство этого факта приводится в курсе математического анализа. Там же доказывается, что

члены последовательности      с ростом    п неограниченно приближаются к числу, обозначенному в математике буквой е и равному 2,718281828459045...

При этом для всех значений п справедливо неравенство

                           < е

и более того     = е.

Из формулы (3) и неравенства (4) следует, что

Sn = S0 ∙  < S0∙ е,  n=1,2,3,…                                 (5)

Экономический смысл полученных результатов состоит в том, что чем чаще в течение года банк начисляет проценты, тем больше сумма денег, лежащая на счете вкладчика. Однако неравенство (6) показывает, что, как бы часто в течение одного года банк ни начислял проценты на вклад S0 величина Sn неограниченно возрастать не может - по сравнению с  S0 величина Sn больше чем в е раз увеличиться не может!

Второй вывод состоит в том, что если банк согласен выплачивать 100% годовых и при этом разрешает вкладчику сколь угодно часто переоформлять вклад, то банк должен быть готов к тому, что в конце года вкладчик может получить So∙е = 2,7182S0     руб.   и его доход составит

2,71825 So –So = l,7182S0 руб., т.е. вкладчик вместо обещанных 100% дохода за год получает доход, равный 1,71825 So ∙ 100/So = 172%! Конечно, никакой банк с этим согласиться не может.

Перейдем к рассмотрению общего случая, когда годовая процентная ставка отлична от 100%.

Пусть вкладчик внес на свой счет So руб. сроком на один год, и банк выплачивает р%  годовых. Через год сумма начисленных процентов составит    руб., а на счете вкладчика будет находиться сумма    

                                  S1=S0+=S0∙(1+)      

Теперь будем начислять   %    каждое полугодие. Тогда в конце первого полугодия сумма начисленных процентов составит So ∙руб., и сумма на счете вкладчика станет равной

                                  S0+=S0∙(1+)      

За второе полугодие  % будет начислено уже на сумму So ∙, и

поэтому сумма начисленных процентов составит  

So ∙

Всего через год на счете будет находиться сумма

S2=So ∙+= So ∙

Например, если на сумму S0 = 250 000 руб. банк начисляет 60% в год, то через год вкладчик получит

S1 =S0∙(1+) = 250 000 ∙(1 + ) = 400 000 руб.

Если же проценты будут начисляться два раза в год по 30% за полугодие, то через год по формуле (5) вкладчик получит

S2= So ∙=250000∙(1+0,3)2=422500 руб.,

т.е. на 22 500 руб. больше, чем при однократном начислении. Из формул (4) и (5) следует, что через полугодие начальная сумма S0 увеличится в  раз и на счете будет находиться   S0∙ руб.

По окончании второго полугодия

в раз увеличится сумма S0∙, т.е. в конце года на счете вкладчика будет

S2= S0∙.   Теперь понятно, что если проценты на вклад   So  будут начисляться через равные промежутки  п раз  в году по ставке %,

то в конце года на счете вкладчика окажется сумма, равная

Sn= S0∙.   (6)

В математике доказывается, что с ростом п величина Sn возрастает. Это значит, что чем чаще в течение года банк производит начисление процентов, тем большая сумма оказывается на счете вкладчика. Однако возрастать безгранично величина   Sn   не может. В математике доказано, что

Sn=S0∙= S0∙e

и при этом для всех  п = 1,   2,   3, ... справедливо неравенство

Sn0∙ e.                            (7)

Неравенство (7) показывает, что, как бы часто в течение года банк ни начислял проценты на сумму So руб.  по ставке р%  в год, больше чем в e  раз начальный вклад   So  за год увеличиться не может.

Так, если р = 25%, то е =е , и поэтому, как бы часто банк ни начислял проценты в течение года, больше чем в 1,284 раза первоначальный вклад  So  за год увеличиться не может!

2.2.4 Многократное начисление сложных процентов в течение

          нескольких лет

В предыдущих пунктах мы установили два важных свойства:

I. Если банк на вклад So начисляет сложные проценты по ставке р% годовых, то через п лет (где п = 1,  2,  3, ...)  на счете вкладчика окажется

Sn= S0∙руб.      (1)

2. Если банк на вклад  Sо  начисляет р% годовых, а начисление процентов происходит к (к=1,2, ...) раз в год по ставке  %, то через один год

к на счете вкладчика будет находиться

S(k)= S0∙  руб.

Теперь рассмотрим общий случай: банк начисляет проценты т раз в год в течение п лет. Начнем с примера.

Пример 1. Пусть сумма So = 20 000 руб. внесена в банк под сложные проценты по ставке р% годовых. Пусть она внесена в банк на два года при условии начисления процентов три раза в год по ставке  % . Выясним,    какая сумма

будет находиться на счете в конце второго года.

За два года произойдет 2∙3 = 6 начислений процентов по %,    и поэтому

S = So∙= So∙.

Так, при S0 = 20 000 руб. и  р = 30% величина вклада через 2 года при трех начислениях в течение каждого года достигнет значения

S = 20 000∙( )6  = 20 000 ∙ (1,1)6 ≈ 35 431,22.

Теперь рассмотрим общий случай. Если вклад   S0  находится на счете в банке   n лет и каждый год проценты начисляются  m  раз

по  % , то после первого начисления процентов на счете будет лежать сумма

S1=S0∙

Всего же таких начислений будет произведено n∙m раз. Поэтому искомая сумма на счете вкладчика будет равна  

S=S0∙

2.3 Некоторые литературные и исторические сюжеты

Различные истории, связанные с начислением простых и сложных процентов, встречаются в ряде художественных произведений, в исторических документах и преданиях.

Вот некоторые примеры.

1.  В романе М.Е.Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» есть такой эпизод:    «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос:  сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька, Арина Петровна, подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 руб. ассигнациями, не присвоила себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия?   Выходит, однако, немного:   всего 800 руб. ассигнациями».

Предполагая, что Порфирию Владимировичу в момент счета было 53 года, установим, поскольку процентов в год платил ломбард. Пусть р % -искомая ставка. Тогда по формуле сложных процентов имеем:  

100∙. Отсюда   и  p=100∙

  Производя расчеты    (например, с помощью логарифмов), получаем, что р = 4% - не очень много!

2.  В этом же романе сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 руб. и попросил у бабушки эту сумму взаймы. Он говорил:   "Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц". Подсчитаем, сколько денег готов был вернуть Петя через год, согласись бабушка на его условия.

Если вести расчет по сложным процентам, то Петя  вернул бы бабушке

S1= 3000∙= 5400 руб.

Если же вести счет по простым процентам, то он вернул бы

                           S2=   3000∙= 4800 руб.

Однако, не веря внуку, бабушка денег не дала!

3. В новелле О.Бальзака «Гобсек» один из героев, господин Дервиль, взял у ростовщика Гобсека сумму в 150 000 франков сроком на 10 лет под   15%   годовых.

Вычислим, какую же сумму вернул Дервиль Гобсеку по прошествии этого срока. Итак,    S0 = 150 000, р = 15%, n = 10   лет.  

  По формуле сложных процентов  S = So ∙   получаем

 S= (1 + 0,15)10 = 606 833,6 франка.

4. Сложные проценты обладают удивительным свойством — с возрастанием показателя я величина (l + )n, > 0 достигает колоссальных размеров. Чтобы показать это, рассмотрим знаменитое  завещание Бенджамена Франклина: «Препоручаю 1000 фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами по 5 на 100 в год в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через 100 лет возвысится до 131 000 фунтов. Я желаю, чтобы тогда 100 000 фунтов употреблены были на постройку общественных зданий, а остальные 31 000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечении второго столетия сумма возрастет до 4 061 000 фунтов, из коих 1 061 000 фунтов оставляю в распоряжении бостонских жителей, а 3 000 000 правлению Массачусетсской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов». Мы видим, что, завещав всего 1000 фунтов, Б.Франклин распоряжается миллионами. Проверим, не ошибся ли он в своих расчетах.

Процентная ставка равна р = 5% годовых. Через 100 лет первоначальная сумма   S0 = 1000 фунтов  превратится в S = S0 =1000∙(1,05)100 ≈ 131 501,06 фунтов. Эта сумма совсем немного отличается от 131 000 фунтов, указанных в завещании. Далее, 31 000 фунтов еще через 100 лет превратится в

S1 = 31 000(1 + 0,05)100 = 4 076 532,8 фунтов.

Фактически проценты начислялись не на 31 000 фунтов, а на 31 501,06 фунтов, и поэтому к концу второго столетия эта сумма превратится в

 S2 = 31501,6(1,05)100=  4 142 422,7 фунтов.

Расчеты показывают, что Б.Франклин действительно мог распоряжаться миллионами!

Однако мы должны понимать, что нами, как всегда это бывает при применении математики к реалиям окружающего мира, рассмотрена только идеальная математическая модель, не учитывающая ни инфляции, ни денежных реформ, ни деноминации, ни многих других причин. Однако суть явления — рост величины вклада до колоссальных размеров при возрастании срока его хранения — эта модель показывает очень хорошо.

5. Рассмотрим еще одну гипотетическую ситуацию, иллюстрирующую колоссальный рост вклада при увеличении срока его хранения. Предположим, что в начале нашей эры на одну копейку ежегодно начисляли по 5% годовых. Это, конечно, не совсем реальная ситуация, но примем ее и займемся вычислениями. В какую сумму превратится эта копейка через 2000 лет, т.е. к нашему времени?

По формуле сложных процентов при So= 1 коп., n = 2000 лет, р = 5%  имеем:

S = 1 ∙ (1 + 0,05)2000 =(1,05)2000коп.   Оценим эту величину.

Непосредственным подсчетом убеждаемся, что

(l,05)l4≈l,98≈2 коп. Следовательно, через 14 лет наш вклад в одну копейку удвоится. Это удвоение произойдет 142,8 раза = 2000 : 14, следовательно, к 2000 г. одна копейка превратится в 2142 копеек.

Оценим это число. Известно, что 210 = 1024, 220 =

= 1048 576, 222 =4 194 304, 240 = 1 099511 627 776. Поэтому интересующая нас сумма в 2142 представляется в виде:  2142 = 240∙240∙240∙222 =

= (l 099 511 627 776)3∙4194 304   коп.!

Эта сумма превосходит все денежные запасы мира! По поводу решения этой задачи можно дословно повторить все сказанное после решения задачи 4, однако характер роста сложных процентов показан здесь очень ярко.

§3. Исследовательская часть

      Банки предлагают много услуг своим клиентам, но самая распространенная из них – кредитование.

      Рассмотрим самые «популярные» виды кредитов и выясним, какие из них более или менее выгодные.

      Возьмём кредит на неотложные нужды на 1 год (12 месяцев)  в сумме 100000 рублей и вычислим, какую сумму денег мы будем платить ежемесячно при 19 % годовых.

      Разделив 100000 рублей на 12 месяцев, мы получим ежемесячную сумму по оплате основного долга, то есть 8333 рубля.

     Проценты начисляются следующим образом: годовые проценты делятся на количество дней в году (365) и умножаются на количество дней в месяце(30).

     Исходя из наших данных, получаем:

                     =1,56%      мы будем платить ежемесячно.                  

     Для того чтобы узнать, сколько рублей мы будем платить каждый месяц, необходимо годовые проценты разделить на количество дней в году, умножить на количество дней в месяце и на данную сумму денег и разделить полученный результат на 100%.

=1561 рубль – ежемесячная оплата за пользование кредитом.

      Следовательно,  плата за первый месяц составит 9894 рубля.

Ежемесячную плату за пользование кредитом можно изобразить таким образом:

1 месяц – 100000 * 1,56% / 100 = 1560 руб.

2 месяц – 91667 * 1,56% / 100 = 1430 руб.

3 месяц – 83334 * 1,56% / 100 = 1300 руб.

4 месяц – 75001 * 1,56% / 100 = 1170 руб.

5 месяц – 66668 * 1,56% / 100 = 1040 руб.

6 месяц – 58335 * 1,56% / 100 = 910 руб.

7 месяц – 50002 * 1,56% / 100 = 780 руб.

8 месяц – 41669 * 1,56% / 100 = 650 руб.

9 месяц – 33336 * 1,56% / 100 = 520 руб.

10 месяц – 25003 * 1,56% / 100 = 390 руб.

11 месяц – 16670 * 1,56% / 100 = 260 руб.

12 месяц – 8337 * 1,56% / 100 = 130 руб.

                                         Итого: 10400 рублей.

   Эту сумму мы выплатим за пользование кредитом за 12 месяцев, а общая сумма составит 110140 рублей. Получается, что, взяв кредит суммой 100000 рублей, мы отдаём банку на 10400 рублей больше.      

      Теперь рассмотрим следующий вид кредита – доверительный, взяв кредит суммой 100000 рублей на 12 месяцев при 16% годовых.

      Исходя из предыдущих расчётов, ежемесячная сумма оплаты будет равняться 8333 рублям.    

      Вычислим ежемесячные проценты:

                          =1,31%

     Оплата  за пользование кредитом составит

                                =1310 рублей                                      

общая плата за первый месяц – 9643 рубля. Оплата за следующие месяцы за Пользование кредитом проводится аналогично предыдущим расчётам:

1 месяц – 100000 * 1,31% / 100 = 1310 руб.

2 месяц – 91667 * 1,31% / 100 = 1200 руб.

3 месяц – 83334 * 1,31% / 100 = 1091 руб.

4 месяц – 75001 * 1,31% / 100 = 982 руб.

5 месяц – 66668 * 1,31% / 100 = 873 руб.

6 месяц – 58335 * 1,31% / 100 = 764 руб.

7 месяц – 50002 * 1,31% / 100 = 655 руб.

8 месяц – 41669 * 1,31% / 100 = 545 руб.

9 месяц – 33336 * 1,31% / 100 = 436 руб.

10 месяц – 25003 * 1,31% / 100 = 327 руб.

11 месяц – 16670 * 1,31% / 100 = 218 руб.

12 месяц – 8337 * 1,31% / 100 = 109 руб.

                                          Итого: 8510 рублей  выплатим мы банку за пользование кредитом.

      Теперь возьмём ипотечный кредит суммой 100000 рублей на 12 месяцев при 16% годовых. Так как данные по ипотечному кредиту такие же, как и по доверительному кредиту, плата за услуги банка останется прежней.

      Недавно появился вид кредита для граждан, ведущим личное подсобное хозяйство и сейчас мы его рассмотрим.

      Сумма и срок кредита остались прежними – 100000 рублей и 12 месяцев соответственно, а годовые составят 14 %.

      Сумма оплаты по основному долгу – 8333 рублей.

      За первый месяц мы заплатим

                              =1,15%

что будет равняться

                                          =1150 рублям

      Общая плата за первый месяц составит 9483 рубля. Теперь рассчитаем плату за услуги банка за 1 год:

1 месяц – 100000 * 1,15% / 100 = 1150руб.

2 месяц – 91667 * 1,15% / 100 = 1054руб.

3 месяц – 83334 * 1,15% / 100 = 958руб.

4 месяц – 75001 * 1,15% / 100 = 862руб.

5 месяц – 66668 * 1,15% / 100 = 766руб.

6 месяц – 58335 * 1,15% / 100 = 670руб.

7 месяц – 50002 * 1,15% / 100 = 575руб.

8 месяц – 41669 * 1,15% / 100 = 479руб.

9 месяц – 33336 * 1,15% / 100 = 383руб.

10 месяц – 25003 * 1,15% / 100 = 287руб.

11 месяц – 16670 * 1,15% / 100 = 195руб.

12 месяц – 8337 * 1,15% / 100 = 96 руб.

         Итого: 7475 рублей.

Всего мы возвратим банку 107475 рублей.

     И, наконец, последний кредит - это автокредит, который мы возьмем на новое транспортное средство.

     Сумма оплаты по основному долгу всё та же – 8333 рубля, годовые составляют 11,5%.

     В первом месяце мы заплатим

                               =0,95%  или  

                         =950 рублей                                    

     Основная сумма за первый месяц составит 9283 рубля. Снова рассчитаем плату за пользование данным кредитом за 1 год:

1 месяц – 100000 ∙ 0,95% / 100 = 950 руб.

2 месяц – 91667 ∙0,95% / 100 = 870 руб.

3 месяц – 83334 ∙0,95% / 100 = 791 руб.

4 месяц – 75001 ∙0,95% / 100 = 712 руб.

5 месяц – 66668 ∙0,95% / 100 = 633 руб.

6 месяц – 58335 ∙0,95% / 100 = 554 руб.

7 месяц – 50002 ∙0,95% / 100 = 490 руб.

8 месяц – 41669 ∙0,95% / 100 = 395 руб.

9 месяц – 33336 ∙ 0,95% / 100 = 316 руб.

10 месяц – 25003 ∙0,95% / 100 = 237 руб.

11 месяц – 16670 ∙0,95% / 100 = 158 руб.

12 месяц – 8337 ∙0,95% / 100 = 80 руб.

         Итого: 6186 рублей.

    Полученные результаты приблизительны, так как есть погрешности в расчётах процентов, и всё же, подведём итоги.

        Итак, проведённые расчёты показывают, что плата за услуги банка зависит от суммы взятого кредита, от срока кредита и от годовых процентов. Необходимо учитывать и то, что сумма кредита, его срок и годовые проценты взаимосвязаны друг с другом: чем больше кредит, тем больше его срок, чем больше срок, тем больше придётся заплатить банку за его услуги. Но этими критериями не ограничишься, потому что существуют различные условия, поправки и преимущества в каждом из кредитов. Поэтому, говорить о выгоде того или иного кредита не следует.

Заключение

   В   результате   проделанной   работы   мне удалось,  с  одной  стороны,   проиллюстрировать понятиями   и задачами экономического характера  основные структуры школьного курса математики VIII—XI классов, а с другой - показать, что даже школьного курса математики достаточно для глубокого изучения многих   экономических   проблем.

Литература

1.  Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М., 1978.

2.  Симонов А.С. О математических моделях экономики в школьном курсе математики

    // Математика в школе. 1987. № 5.

3.   Симонов АС. Некоторые применения геометрической прогрессии в экономике

   //   Математика в школе. 1998. № 3.

4.  Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М., 1997.

5.  Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. СПб., 1997.

6.  Липсиц И.В. Экономика без тайн. М., 1994.

7.Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М., 1992.

8. Вигдорчик Е., Нежданова Т. Элементарная математика в экономике и бизнесе. М., 1997.

9.Симонов А.С.   Проценты и банковские расчеты // Математика в школе.   1998.   № 4.

10.  Шевкин А.В. Текстовые задачи.   М., 1997.

11.  Перельман Я.И.  Занимательная алгебра.  М., 1967.