Проценты

СОДЕРЖАНИЕ.

Аннотация............................................................................................................2

Введение………………………………………………………………………...3

Проценты в прошлом и настоящем…………………………………………4-5

Дроби и проценты………………………………………….…………………..6

Простейшие виды задач………………………………………………………..7

Решение различных типов задач на проценты …………………………...8-11

Задачи на «концентрацию», на «смеси и сплавы»………………………….12

Банковский процент……..…………………………………………………….13

Простые проценты…………………………………………………………….14

Сложные проценты……………………………………………………………15

Сказка о курице, несущей золотые яйца……………………………………..16

Наши мини-исследования…………………………………………………17-19

Терминологический словарь………………………………………………….20

Заключение……………………………………………………………………..21

Список литературы…………………………………………………………….22

Аннотация.

                  Цель нашей работы систематизировать и расширить знания по

      теме      "Проценты".

Задачи:

1. Выяснить историю происхождения процентов;
2. Выяснить сферы пользования процентов, их роль в жизни человека;
3. Найти самые разнообразные задачи с процентами, выяснить их методы решения;
4. Привить учащимся основы экономической грамотности;
5. Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

Введение.

                 В настоящее время уделяется большое внимание школьному образованию как первой ступени образовательного процесса. Одна из важнейших его задач - обеспечить учащимся глубокие и прочные знания, а также умение рационально применять их в учебной и практической деятельности.

     Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, потому что понятие процента широко используется как в реальной жизни, так и в различных областях науки. Во многих школьных учебниках можно встретить задачи на проценты, однако в них отсутствует компактное и четкое изложение соответствующей теории вопроса. Текстовые задачи на проценты включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы и ЕГЭ, в конкурсные экзамены и олимпиадные задания. Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни.

     В наше время почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Поэтому выбранная нами тема особенно актуальна.

     Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом анализе, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть депозитный счёт в сбербанке, наши родители интересуются размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся  процентом инфляции. Именно в торговле понятие «процент» используется наиболее часто. Скидки, наценки, уценки, прибыль, кредиты, налог на прибыль и т.д. – всё это проценты.

                  Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.

                  Понятие процента имеет широкое практическое применение, поэтому оно является обязательной частью школьной программы по математике. Школьники должны научится решать основные задачи на проценты.

Проценты в прошлом и настоящем.

       Проценты - одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что, например, в выборах принимали участие 52,5%  избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленное производство сократилось на 11,3%,уровень инфляции составляет 8% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира, материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т.д.

       Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это даёт возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой  и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятиричными дробями. Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчеты процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Они умели  производить и более сложные вычисление с применением процентов.

        Денежные расчеты с процентами были особо распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.              

        В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов  т.е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.

       Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584г. Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйстве и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.Ныне процент- это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемое за единицу).

       Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы      в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

        Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В1685 году в Париже была опубликована книга- руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо  cto  напечатал %.

         В некоторых вопросах иногда встречаются и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского pro mille- «с тысячи»), обозначаемые, по аналогии со знаком процента - ‰. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развития.

         Если мы говорим о предметах из некоторой заданной совокупности - деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктах питания, то процент, разумеется,100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что она «принимается за 100 процентов».

      Если речь идет о проценте от данного числа, то это число и принимается за 100%.

Например, 1% от зарплаты - это сотая часть зарплаты; 100% зарплаты - это сто сотых частей зарплаты. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13 сотых от зарплаты. Надпись «60%» хлопка на этикетке означает, что материал содержит 60 сотых хлопка, т.е. более чем половину состоит из чистого хлопка. 3,2% жира в молоке означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир (или другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержит 3,2 грамма жира).

       Как известно из практики, с помощью процентов часто показывают изменения той или другой величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характеризующей значимость произошедшего изменения. Например, уровень подростковой преступности повысился на 3%, в этом ничего страшного нет - быть может, эта цифра отражает только естественные колебания уровня. Но если он повысился на 30%, то это уже говорит о серьезности проблемы и необходимости изучения причин такого явления и принятии соответствующих мер.

Дроби и проценты.

  Важным умением при работе с процентами является:

• умение переводить проценты в десятичную дробь;

• десятичную дробь обращать в проценты;

• умение преобразовывать десятичные и обыкновеннее дроби (равные дроби в различных записях).

    Более подробно:

    а) чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить

    число    процентов на 100.

№

Назовите проценты в виде дроби: 1%, 5%, 70%, 100% ,120%, 150%, 200%, 1020%.

   б) Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо умножить ее на 100.

№

Назовите  дроби в виде процентов: , , , , ,.

Запомни: 

=0,01=1%; =1/10=0,1=10%;

=0,2=20%;

=0,25=25%;

 =0,5=50%;  

 =0,75=75%;

  =1/1=1=100%.

№

Назовите 1% от 1метра, 1центнера, 1килограмма, 1рубля.

Простейшие виды задач на проценты.

         Решение любых задач на проценты сводится к основным трем  действиям с процентами:

1.Нахождение процентов данного числа.

Чтобы найти, %  от   надо .

Пример. 30% от 60 составляет: 60*0,30=18.

2.Нахождение числа по известной его части.

Если известно, что % числа  равно  , то =.

Пример. 3% числа  составляют 150. Найти само число .

=150:0,03;

=5000.

3. Сколько процентов составляет одно число от другого.

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, надо одно число разделить на другое и умножить на 100%.

Пример. Сколько процентов составляет 150 от 600?

(150:600)*100%=25%.

Задача.

Построить круговую диаграмму «Расходы семьи за месяц», если известно, что:

  - Квартплата и коммунальные платежи составляют – 5000 руб.

  - На питание тратится – 10000 руб.

  - На проезд в общественном транспорте расходуется – 2000 руб.

  - На одежду, обувь в среднем тратится – 4000 руб.

  - На прочие покупки – 3000 руб.

Каков бюджет этой семьи?

Решение: 5000+10000+2000+4000+3000=24000 руб. бюджет семьи.

Ответ: 24000.

Задача.

           За хорошую учёбу своего сына мама с папой решили купить ему новый компьютер. Первоначальная стоимость компьютера составляла 20000 руб. Семье повезло дважды: воскресная скидка 5% и новогоднее предложение – скидка 10%. Определите цену товара после двух понижений сначала 5%, а потом на 10%.

Решение:

1. 20000:100*5=1000руб. составляют 5%.
2. 20000-1000=19000руб. цена после первой скидки.
3. 19000:10=1900руб. составляют 10%.
4. 19000-1900=17100руб. цена товара после двух понижений.

Задача. (из сборника «Подготовка к ЕГЭ-2010»,11класс).

    В5.На диаграммах показаны данные о количестве завоеванных медалей сборной России на Олимпийских играх в Афинах (2004г) и в Пекине (2005г). Определите, на сколько процентов увеличилось общее количество завоеванных медалей в Пекине по сравнению с числом медалей, завоеванных в Афинах. Ответ округлите до целых.

Решение:

*100%=*100%=175,6%;    175,6%-100%=75,6%=76%.

     Ответ:76.

    Задача. (из сборника «Подготовка к ЕГЭ-2010»,11класс).

В1. Операционист банка обслуживает за день в среднем 30 человек. Какой процент клиентов от общего числа обслуживаемых в день операционист может обслужить за 2часа работы, если одному клиенту он уделяет 10 минут?

Решение: За 2часа операционист обслуживает 12 клиентов. Выразим это число в процентах: *100%=40%.

Ответ:40.

Задача.

          Папа купил телевизор в кредит, уплатил первый взнос 1500 руб., остальные 75 % стоимости телевизора он должен уплатить в следующие 6 месяцев равными частями. Сколько стоит телевизор? Какую сумму папа будет выплачивать каждый месяц?

Решение:

1. 1500:=1500*100/25=6000 руб. стоит телевизор.
2. (6000-1500):6=750 руб. папа будет выплачивать каждый месяц.

 Задача. (школьная олимпиада по математике, 7класс, 2009г).

 Найдем, на сколько процентов увеличится площадь прямоугольника,            если его длину и ширину увеличить на 10%.

   Решение: Пусть  длина  прямоугольника равна,  см, ширина-см.   Площадь-см².  По формуле  площади  прямоугольника  находим, что =. После  увеличения длины и ширины прямоугольника на 10%  длина будет равна, +0,1=1,1 см, а ширина  +0,1=1,1см. Тогда  площадь будет равна   1,1*1,1b=1,21см²,  т.е. увеличится  на   1,21-=0,21 см². Имеем  *100%=21%. Значит,  площадь увеличится на 21%.

Для модниц! На заметку! 

Задача. (из сборника «Подготовка к ЕГЭ-2010»,11класс).

          Салон модной одежды выставил на продажу новую коллекцию, сделав наценку 80% от закупочной цены. После продажи 0,75 всей коллекции салон распродал оставшуюся часть коллекции со скидкой 60% от продажной цены. Сколько процентов от закупочной цены коллекции составила прибыль салона?

Решение: Закупочная цена коллекции – (где - количество товара по цене  руб. за одну единицу товара). По условию задачи составим отношение прибыли салона к закупочной цене:

=0,53;

выразим это число в процентах: 0,53*100%=53%.

                                                     Ответ: 53!!!

Задачи на «концентрацию», на «смеси и сплавы».

     В таких задачах часто встречаются понятия процентного содержания или концентрации. Например, если в задаче идёт речь о девятипроцентном растворе уксуса, то можно понять, что в этом растворе 9% чистого уксуса. Остальные 91% часто приходится на воду. Понятно, что объем всего раствора принимается за 100% ( или за1).

     В задачах этого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение:

   - концентрация ( доля чистого вещества в смеси );

   - количество чистого вещества в смеси ( или сплаве);

   - масса смеси ( сплава).

    Соотношение между этими величинами следующее:

    Масса смеси* концентрация = количество чистого вещества.

    Задача (из сборника «Подготовка к «малому ЕГЭ»»).

Сколько литров воды надо добавить к 20 литрам пятипроцентного раствора соли, чтобы получить четырехпроцентный раствор?

     Решение. Соль содержится в каждом из растворов. В 20 литрах пятипроцентного раствора соли содержится 20 * 0,05=1(ед.) соли. Ее количество не меняется. Доливается только вода. Узнаем,  каково ее количество.

     Обозначим   (л)- количество добавленной воды. Из условия задачи получаем, что 4- процентную концентрацию раствора характеризует уравнение = 0,04. Решением уравнения является   = 5.

      Ответ: 5 литров.

    Задача (из сборника «Подготовка к «малому ЕГЭ»»).

Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 42% и 65% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив, получить сплав, содержащий 50% меди?

      Решение. Пусть масса первого сплава - , масса второго сплава -. Концентрация меди в первом сплаве- 0,42, количество меди- 0,42. Концентрация меди во втором сплаве- 0,65, количество меди- 0,65. Можем составить уравнение: 0,42 + 0,65=0,5(+).

В этом уравнении две неизвестных, а в задачи требуется найти их отношение . Решая уравнение, получим 42 + 65=50( +),   15=8,   =.

      Ответ: Нужно взять первый и второй сплавы в отношении 15 к 8.  

   Уже в далекой древности широко было распространено ростовщичество - выдача денег под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в Древнем Вавилоне она составляла 20% и более! Это означало, что ремесленник, взявший у ростовщика 1000денежных единиц сроком на год, возвращал ему по прошествии года не менее 1200этих же единиц.

                Известно, что в 14-15вв.  в Западной Европе широко распространились банки-учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, ремесленникам финансировали дальние путешествия, завоевательные походы и т.д. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно: за пользование предоставленными деньгами они брали плату, как и ростовщики древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег.

                 Тех, кто берет в долг деньги в банке, называют заемщиками, а ссуду, т.е. величину взятых у банка денег, называют кредитом. Основную часть тех денег, которые банки выдают заемщикам, составляют деньги вкладчиков, которые они вносят в банк на хранение. Часть прибыли, которую получает банк, он передает вкладчикам в виде платы за пользование их деньгами. Эта плата также обычно выражается в процентах к величине вклада. Таким образом, средства, помещенные на хранение в банк, через определенный период времени приносят некоторый доход, равный сумме начисленных за этот период процентов.

                Итак, с одной стороны, банки принимают вклады и платят по этим вкладам проценты вкладчикам, а с другой - дают кредиты заемщикам и получают от них проценты за пользование этими деньгами. Разность между той суммой, которую получает банк от заемщиков за предоставленные кредиты, и той, которую он платит по вкладам, и составляет прибыль банка. Таким образом, банк является финансовым посредником между вкладчиками и заемщиками.

                Одним из самых распространенных способов привлечения в банк сбережений граждан, фирм и т.д. является открытие вкладчиком сберегательного счета (депозитный счет): вкладчик может вносить на свой счет дополнительные суммы денег, может снимать со счета определенную сумму, может закрыть счет, полностью изъяв деньги, на нем хранящиеся. При этом вкладчик получает от банка плату в виде процентов за использование его денег для выдачи кредитов предпринимателям, фирмам, государству, другим банкам и т.д.

                 Рассмотрим схемы расчета банка с вкладчиками. В зависимости от способа начисления проценты делятся на простые и сложные.

Простые проценты.

                Увеличение вклада  по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада  независимо от срока хранения и количества начисления процентов.

                 Пусть вкладчик открыл сберегательный счет  и положил на него   рублей. Пусть банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года % от первоначальной суммы . Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет * рублей, и величина вклада станет равной  = (1+)рублей; p% называют годовой процентной ставкой.

                Если по прошествии одного года вкладчик снимет со счета начисленные проценты  *, а сумму  оставит, в банке вновь начислят *рублей, а за два года начисленные проценты составят   2*       рублей, через   лет на вкладе по формуле простого процента будет

                                           = (1+)

Задача. Определить какая сумма лежала на вкладе «Семейный» в банке, если доход в размере в 6%, начисленный на неё, составил 720 рублей?

Решение:   720: =720:6*100=12000 руб.

Ответ: 12000.

Сложные проценты.

 Рассмотрим другой способ расчета банка с вкладчиком. Он состоит в следующем: если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять % уже на новую, увеличенную сумму. Это означает, что банк станет теперь начислять проценты не только на основной вклад, , но и на проценты, которые на него полагаются. Такой способ начисления «процентов на проценты» называют сложными процентами.

Задача (из сборника «Подготовка к ЕГЭ-2010»,11класс).

В9. Вкладчик положил некоторую сумму в банк. Через год к  вкладу банк начисляет 8% от суммы, лежащей на вкладе. Какова начальная сумма, если через 2 года на вкладе стало 29160 рублей?

Решение: Из формулы сложного процента:   =найдем

29160=*(1+0,08),  =25000.

Ответ: 25000.

       
Задача.
1. Простой процент. Вы положили в банк 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль вы снимаете.

2. Сложный процент. Вы положили в банк 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.

Комментарии, как говорится, излишни. Вложения с использованием сложного процента выгоднее, чем с простым процентом.

Сказка о курице, несущей золотые яйца

Однажды бедный крестьянин зашел в свой сарай и нашел под куриным насестом золотое яйцо. Его первой мыслью было: "Кто-то хочет надо мною подшутить". Но чтобы действовать наверняка, он взял яйцо и отнес его к ювелиру. Тот проверил яйцо и сообщил крестьянину: "100-процентное золото, чистое золото". Крестьянин продал яйцо и вернулся домой с большими деньгами. Вечером он закатил пир горой.

На рассвете встала вся семья, чтобы посмотреть, не снесла ли курица еще одно яйцо. Действительно, в гнезде снова лежало золотое яйцо. С тех пор крестьянин каждое утро находил такое яйцо. Он продавал их и стал очень богатым.

Но крестьянин был человеком жадным. Он спрашивал себя, почему курица несет только по одному яйцу в день. И вообще он хотел знать, как она это делает, чтобы производить золотые яйца самому. Он все больше гневался. Наконец однажды он вбежал в сарай и рассек курицу садовым ножом на две половины. Все, что он нашел, были части находящегося в стадии зарождения яйца. Мораль этой истории: не убивай курицу, несущую золотые яйца.

Не так ли действует большинство людей? Курица - это капитал, золотые яйца - проценты. Без капитала нет никаких процентов. Большинство людей тратит все свои деньги. Поэтому они никогда не смогут вырастить "золотую курицу". Они убивают ее еще цыпленком - прежде, чем она могла бы начать нести золотые яйца.

До тех пор, пока у Вас нет такой курицы или "машины денег", Вы сами являетесь "машиной денег" для других, и совершенно неважно, сколько Вы зарабатываете. Тратить меньше, чем получаешь, - это звучит совсем не сенсационно. Тем не менее, Вы установите, что экономия может доставлять удовольствие и что она имеет глубокий смысл.

Наши мини-исследования.

1.Учащимся 11-х классов нашей школы мы предложили ответить на три вопроса. Покажем их ответы в диаграммах:

2. Рождаемость и смертность в нашем поселке (за последние 3года):

3. Покажем в диаграмме изменение количества учащихся в нашей школе (за последние 5лет):

Задача. На сколько процентов сократилось число учащихся школы в этом году по сравнению с прошлым годом?

Решение:  *100%=0,76*100%=76%;   100%-76%=24%.

Ответ: на 24.

4.  Покажем в диаграмме рождаемость в нашем поселке (за последние 5 лет):

Задача. Количество жителей нашего поселка в 2008г составило 1517 человек. Сколько процентов от этого числа составляют родившиеся в том же

году?

Решение:  1517чел.-100%

                         6чел. - %;

Найдем , используя основное свойство пропорции   = ==0,4.

Ответ: 0,4.

Терминологический словарь.

Процент
1. Плата за пользование взятыми в ссуду деньгами, уплачиваемая кредитным учреждениям  или заемщиком кредитору.
2. Сотая доля числа, принимаемого за целое (обозначается знаком %).
3. Количество, измеряемое в сотых долях чего-нибудь принятого за единицу.
4. Вознаграждение, начисляемое кому-нибудь в зависимости от оборота, дохода предприятия.

Банк (от итал. banco - скамья) - финансовая организация, учреждение, производящее разнообразные виды операций с деньгами и ценными бумагами и оказывающее финансовые услуги правительству, предприятиям, гражданам и друг другу.

Инфляция (от лат. inflatio - вздутие) - обесценение денег, проявляющееся в форме роста цен на товары и услуги, не обусловленного повышением их качества.

 Депозит (от лат. depositum - вещь, отданная на хранение) - 1) денежные вклады в банки (банковские депозиты); 2) ценные бумаги и денежные средства, передаваемые на хранение в кредитное учреждение; 3) взносы денежных средств в различные учреждения.

Промилле - тысячная доля числа, одна десятая процента, обозначается знаком  ‰.

Заключение.

    Умения выполнять процентные расчеты необходимо каждому человеку. В процентах вычисляется выполнение объема работы, производительность труда, экономия материалов, топлива, электроэнергии и др.. Проценты применяются  в физике, химии, метеорологии, технике, статистике, при возможных банковских операциях.

    В работе рассмотрены " ключевые" задачи на проценты, использование процентов в банковской системе, приведены решения задач повышенной сложности на проценты. Используя знания по процентным исчислениям и диаграммы, мы провели мини-исследования по социологическим вопросам. Представили  материал из истории процентов.

    Решение математических задач практического содержания позволяет убедиться в значении математики для различных сфер человеческой деятельности, увидеть широту возможных приложений математики, понять ее роль в современной жизни.

Литература

1.Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов и др. Математика 5.-М.:Мнемозина, 2008.

2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др. Алгебра 7.-М.Просвещение,2009.

3.Энциклопедия для детей «Аванта+», Математика, Том 11-М.: «Аванта+»,2002.

4.В.Н.Студенецкая, Л.С.Сагателова. Сборник элективных курсов «Математика 8-9 классы».-Волгоград,2007.

5.Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2010.           Ростов-на-Дону, 2009.

6.М.Н.Кочагина, В.В.Кочагин. Математика 9 класс. Подготовка к «малому ЕГЭ».-М:Эксмо,2008.

7. Википедия.

8. http://www.damoney.ru/million/begin-finance.php.