Проценты

ПРОЦЕНТЫ

       Автор:

                                              Яковлев Дмитрий Игоревич

                               Ермекеевский район

                          с.Нижнеулу-Елга

                                                                 МОКУ СОШ с.Нижнеулу-Елга , 6 класс

                      Руководитель:

                                                      Ванюшина Алевтина Ивановна

                                                                   учитель математики МОКУ СОШ

                             с.Нижнеулу-Елга

2012/2013 учебный год

2

Содержание

Введение ………………………………………………. …………….......3

Глава I. Понятие процента. Основные типы задач на проценты

1. Процент. Основные понятия …………………. ……………... ...4
2. Основные типы задач на проценты ………………………….. …5

Глава II. Применение процентных расчетов

в различных видах жизнедеятельности человека.

     2.1 Занимательные задачи на проценты …………………………….7

     2.2 Процентное содержание, процентный раствор,

           Концентрация, смеси и сплавы ……………………………….. …9

     2.3 Примеры современных задач на проценты ............................ …10

     2.4 Проценты в таблицах и диаграммах ………………… ………….13

Заключения …………………………………………………… …………...15

Список используемой литературы ……………………………………. ...16

3

ВВЕДЕНИЕ

«Гений состоит из 1 процента вдохновения

и 99 процентов потения»

Эдисон Т.

Проценты – одно из математических понятий, которое часто встречается в повседневной жизни. В настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчеты, необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, экономическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Данная тема сейчас весьма актуальна, так как понятие «кредит» (будь то ипотека, или авто-кредит) прочно вошло в жизнь современного человека. Люди берут банковские кредиты и, как правило, не могут правильно рассчитать процентные выплаты. Любой человек должен уметь свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее выгодные.

Цель работы: показать широту применения в жизни процентных вычислений.

Задачи:

1. Изучить научную литературу по теме исследования.
2. Рассмотреть основные классы задач на проценты.
3. Показать применение понятия процента при решении реальных задач из разных сфер жизнедеятельности человека.
4. Провести статистическое исследование.
5. Обобщить результаты работы.

Объектом  исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты».

4

Предмет исследования: решение практических задач  на проценты и процентное содержание, иллюстрирующих использование процентных расчетов в различных сферах жизнедеятельности человека.

Методы работы: поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

практический метод выполнения вычислений при решении различных задач на проценты; анализ полученных в ходе исследования данных.

Глава I. ПОНЯТИЕ ПРОЦЕНТА.

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ

1. ПРОЦЕНТ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Процентом от какого-нибудь числа называется одна сотая часть этого числа. Процент обозначается специальным значком %

Слово «процент» происходит от латинского «pro centum», что буквально означает «на сотню», «со ста» или «за сотню». В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. Но идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же величинах, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.

По-видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством. Есть мнение, что понятие процент ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584г. он опубликовал таблицы процентов. Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII в. Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.  

Интересно происхождение обозначения процента. Существует версия, что знак % происходит от итальянского pro cento (сто), которое в процентных

5

расчетах часто сокращенно писалось cto. Отсюда путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный знак процента

Также есть предположение, что знак % возник в результате опечатки. В Париже в 1685г. была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик напечатал знак %.

3. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ

Нужно уметь решать три главные задачи на проценты:

   Задача первая. Найти несколько процентов от данного числа (например, найти 17% от числа 25).

Подробное решение.

Находим 1% от данного числа, разделив это число на 100 ( в нашем примере пишем: 1% - 25:100=0,25).

Находим нужное число процентов, умножив результат первого действия на нужное число ( в нашем примере пишем: 17% - это 0,25·17=4,25).

Краткое решение : 25·17=4,25.

                                  100      

Можно решать и по –другому, пользуясь тем, что разделить на 100 – все равно что умножить на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, можно это число умножить на 0,01. Тогда краткое решение нашей задачи запишется в строчку:

25·0,01·17=4,25.

   Задача вторая. Найти число, зная, чему равен какой-либо процент от него (например, найти число, 13% которого равны 65).

Подробное решение.

Находим 1% от искомого числа, разделив данное нам число на число содержащихся в нем процентов ( в нашем примере пишем: 1%-это 65:13=5).

Находим все число, умножив результат первого действия на 100 ( в нашем случае пишем : 100%-это 5·100=500).

Краткое решение: 65·100=500.

                                   13

   Задача третья. Найти процентное отношение двух чисел, то есть найти, сколько процентов составляет одно число от другого (например, найти процентное отношение 36 и 120, то есть найти, сколько процентов составляет число 36 от числа 120).

Подробное решение.

6

Находим 1% от второго числа, разделив его на 100 ( в нашем примере пишем: 1% - это 120:100=1,2).

Находим, сколько процентов от второго числа содержится в первом числе, разделив первое число на результат первого действия ( в нашем примере пишем: 36:1,2=30).

Краткое решение: 36·100=30.

                                   120

Все три задачи можно решить, пользуясь одной и той же таблицей:

Вот как заполняется эта таблица при решении каждой из наших задач.

Задача первая. Найти 2,8% от 50 кг.

Вначале заполняем по условию третью клетку верхней строки и первую клетку нижней строки и обводим ту клетку, в которой должно появиться число, о котором спрашивается в задаче:

Затем, после необходимых вычислений, заполняем пустые клетки нижней строки:

Задача вторая. Найти длину пути, 40% которого равны 16 км.

   Вначале заполняем по условию третью клетку верхней строки и третью клетку нижней строки и обводим ту клетку, в которой должно появиться число, о котором спрашивается в задаче:

После вычислений заполняем вторую, а затем первую клетки нижней строки:

Задача третья. Найти процентное отношение 48 к 25.

   Таблицу заполняем в следующем порядке:

7

Но самое интересное в процентах – это то, что они, собственно говоря, не числа. Вот, например, если какое-то число увеличить на 10, а потом уменьшить на 10, что получиться? Конечно, то же самое число. А что будет, если число увеличить на 10%, а потом уменьшить на 10%?

Глава II. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОЦЕНТНЫХ РАСЧЕТОВ

В РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЧЕЛОВЕКА

Столкнувшись с процентами в первый раз мы вдруг замечаем, что они сопровождают нас повсюду – не только в школе (на уроках математики, физики, химии, биологии, географии и т.д.), но и в повседневной жизни: в магазине (особенно во время предпраздничных скидок), на работе (повышение и понижение зарплаты), в банке, в СМИ, интернете и многом другом. Ориентироваться в мире процентов на хорошем уровне не так уж и просто! Предлагаем вашему вниманию подборку задач на проценты.

2.1 ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

Задача 1. Сколько человек работало на заводе?

В начале года число мужчин, работавших на заводе, составляло 40% от общей численности работников завода. После того, как были приняты на работу еще 6 мужчин, а 5 женщин уволилось, число мужчин и женщин на заводе сравнялось. Сколько человек работало на заводе в начале года?

Число мужчин, работавших на заводе в начале года, было на 11 меньше числа работавших там женщин

Процентная разность между числом женщин и числом мужчин составляла в начале года 20%.

Общая численность работавших на заводе в это время 11:0,2 = 55 человек.

Задача 2. Сколько процентов составляет возраст сестры?

8

Возраст брата составляет 40% от возраста сестры. Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста брата?

Примем возраст сестры за 100%.

Возраст брата составит 40%. Процентное отношение возраста сестры к возрасту брата равно: (100/40) · 100% = 250%.

Задача 3. Как изменилась масса арбуза?

Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного хранения влажность снизилась до 98%. Как изменилась масса арбуза?

Свежий арбуз на 99% процентов состоит из жидкости и на 1%ю – из сухой массы. В результате усушки количество жидкости уменьшилось и составило 98% от новой, также уменьшившейся массы арбуза.

Количество же сухого вещества, оставаясь неизменным, составило 2% от новой массы арбуза. Процентное содержание в арбузе сухого вещества (при неизменной его массе) увеличилось вдвое.

Следовательно, масса арбуза в результате усушки уменьшилась вдвое.

Задача 4. Сколько времени потребовалось второму путнику?

Двое путников одновременно вышли из пункта А по направлению к пункту В. Шаг второго был на 20 % короче, чем шаг первого, но зато второй успевал за то же время сделать на 20% шагов больше, чем первый. Сколько времени потребовалось второму путнику для достижения цели, если первый прибыл в пункт В спустя 5 часов после выхода из пункта А?

Шаг второго путника составлял 80% или 0,8 шага первого путника. На каждые 100 шагов первого путника второй успевал сделать 120 шагов, т.е. за то же время второй путник успевал сделать в 1,2 раза больше шагов, чем первый. Следовательно, расстояние, пройденное за некоторое время вторым путником, составляло 0,8 · 1,2 = 0,96 расстояния, пройденного за то же время первым. Путь, пройденный телом за некоторое время, прямо пропорционален

9

скорости движения. Поэтому, скорость второго путника составляла 0,96 скорости первого. Время, которое затрачивает тело на прохождение определенного пути, обратно пропорционально скорости движения. Поэтому, продолжительность движения первого путника из А в В составляет 0,96 продолжительности движения второго путника на этой дистанции. Для перехода из А в В второму путнику потребовалось 5 : 0,96 = 5,2 часа = 5ч 12 мин.

2.2. ПРОЦЕНТНОЕ СОДЕРЖАНИЕ, ПРОЦЕНТНЫЙ РАСТВОР. КОНЦЕНТРАЦИЯ. СМЕСИ И СПЛАВЫ

При решении задач на проценты приходится сталкиваться с понятием "процентное содержание", "концентрация", "%-й раствор". Поэтому предлагаем задачи на эти понятия.

Процентное содержание. Процентный раствор.

Задача 1. Сколько кг соли в 10кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

Решение:

10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.

Ответ: 1,5кг.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.

Задача 2. Сплав содержит 10кг олова и 15кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение:

Процентное содержание вещества в сплаве – это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

1) 10 + 15 = 25 (кг) – сплав;

2) 10/25 . 100% = 40% – процентное содержание олова в сплаве;

3) 15/25 . 100% = 60% – процентное содержание цинка в сплаве;

Ответ: 40%, 60%.

10

Концентрация.

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.

Пример. Концентрация серебра в сплаве 300г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261г.

300 . 0,87 = 261 (г).

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

2.3 ПРИМЕРЫ СОВРЕМЕННЫХ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ

Задача 1 «Сезонная распродажа»

На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь на 24%. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цен они стоили 1593 рубля?

Решение:

1.  - составит стоимость кроссовок от первоначальной цены в сезонную распродажу.
2.  (руб.) – стоимость кроссовок во время сезонной распродажи.

Ответ: 1210,68 руб.

Задача 2 «Банковский вклад»Банк начисляет 12% годовых и внесенная сумма равна 100 000 рублей. Какая сумма будет на счете клиента банка через 3 года?

Решение:

1.  (руб) – через 1 год.
2.  (руб) – через 2 года.
3.  (руб) – через 3 года.

Ответ: 140492,8руб.

11

Задача 3 «Автосалон»

Итак, вы пришли в автосалон “SECOND LIFE AUTO”, что в вольном переводе означает “ВТОРАЯ ЖИЗНЬ МАШИНЫ”. Здесь вы можете приобрести подержанную автотехнику в отличном состоянии и по доступной цене.  Автомобиль станет вашим после того как правильно заполните весь пакет документов .

Задача 3.1 «Кредит»

Ситуация с деньгами у вас сложилась так, что вы не можете сразу оплатить всю сумму, поэтому мы с вами заключаем договор о кредитовании на 3 месяца: в декабре – 60% всей стоимости, в январе – 75% остатка, в феврале – всю оставшуюся сумму.

Определите, пожалуйста, сколько рублей в каждом месяце вы заплатите и заполните “Договор о кредитовании” .

Задача 3.2 «Квитанция»

За оформление права собственности нотариус возьмет с вас 1,5% от стоимости автомобиля в виде нотариальной пошлины. Во сколько рублей вам обойдется ваша покупка вместе с нотариальной пошлиной? Будьте особенно внимательны при заполнении этой квитанции, можно обращаться за помощью к менеджерам .

Задача 3.3 «Страховка»

Наш автосалон предлагает вам сразу заключить договор о страховании автомобиля от угона на 100 000 рублей. Определите, какой процент от

13

стоимости вашего автомобиля будет вам выплачен в случае угона. Страховой взнос – 10 % от стоимости покупки .

2.4 ПРОЦЕНТЫ В ТАБЛИЦАХ И ДИАГРАММАХ

В современном мире статистические исследования проводятся как на промышленных и сельскохозяйственных предприятиях  для  контроля  за выпуском и качеством производимой продукции, так и в социальной сфере для улучшения жизни и деятельности человека. Объектами статистического изучения являются население,  его состав и численность (по полу,  возрасту,  национальностям, занятиям, образованию и пр.),  перемены в нем,  так называемом  движение населения (рождаемость, брачность, смертность, болезни, самоубийство, эмиграция), деятельность населения (сельское хозяйство, промышленность, торговля, кредит, движение на путях сообщения,  страхование,  преступность и пр.).

14

Мы решили  провести свое небольшое исследование применения процентов в статистике.

Задача 1.  Результативность участия учащихся Нижнеулу-Елгинской школы  в районных конкурсах и мероприятиях.

Задача 2.  Количественный состав учащихся Нижнеулу-Елгинской школы.

15

Задача 3. Уровень успеваемости и качества знаний учащихся 6 класса за I  четверть 2012/2013 учебного года.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.

В своей работе мы показали применение понятия процента при решении реальных задач только из некоторых сфер жизнедеятельности человека (торговля, статистика, химия, быт…) В ходе своего исследования мы пришли к выводу, что проценты помогают нам:

1. грамотно разбираться в большом потоке информации;
2. правильно вкладывать деньги;
3. грамотно брать кредиты, выбирая более выгодный вариант;
4. совершать выгодные покупки, экономя на скидках;
5. решать математические задачи.

Трудно назвать область, где бы не применялись проценты. Как известно, выводы опираются на анализ. Люди не знают более удобного способа

16

анализировать, чем процентный, который наиболее точен и прост в применении. Его суть понятна даже ребёнку.

Применение в жизни процентных расчетов полностью рассмотреть очень сложно, так как проценты применяются во всех сферах жизнедеятельности человека. Данная тема оставляет широкое поле для дальнейших исследований.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРА

1. Арутюнян Е.Б., Левитас Г.Г. Занимательная математика.- М.: АСТ-ПРЕСС, 1999.- 368с.: илл.- (Занимательные уроки)
2. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках: Пособие для учащихся.- М.: Просвещение, 1981.- 80с.
3. Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. и др. – М.:                                  Педагогика, 1985. – 352 с.: ил.
4. Internet ресурсы