" Метод Лобачевского для приближённого решения уравнений". ( Исследовательская работа. Областная научно-практическая конференция учащихся, посвящённая 220-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского. Диплом 3 степени.)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение        Ставровская средняя общеобразовательная школа

Собинского района

Секция  « Математический анализ»

Исследовательская работа

Тема: «Метод Лобачевского для приближенного решения уравнений»

  Выполнил: Процун Григорий Валерьевич, 11 класс

                                          Руководитель: Мартынова Светлана Вячеславовна

2011-2012

Оглавление

Введение____________________________________________________________2-3

Основная ( содержательная часть)______________________________________6-10

1. Метод Ньютона_________________________________________________6-8

      2.Метод Мюллера__________________________________________________9

     3.Метод Лобачевского______________________________________________10

Заключение_________________________________________________________  11

Литература__________________________________________________________ 12

Приложение_______________________________________________________  13-17

Введение.

Вычислительная  техника наших дней представляет собой мощные средства для фактического выполнения счетной работы. Благодаря этому во многих случаях стало возможным отказаться от приближенной трактовки прикладных вопросов и перейти к решению задач в точной постановке.  

Разумное использование современной вычислительной техники не мыслимо без умелого применения методов приближенного и численного анализа.

Численные методы направлены на решение задач, которые возникают на практике. Решение задачи численными методами сводятся к арифметическим и логическим действиям над числами, что требует применение вычислительной техники. Условия и решения задач чаще всего являются приблизительными, т.е. имеют погрешности, причиной  которых являются несоответствие построенной математической модели реальному объекту, погрешность исходных данных, погрешность метода решения, погрешность округления и т.д.

Решение уравнений – алгебраических или трансцендентных – представляет собой одну из существенных задач прикладного анализа, потребность в которой возникает в многочисленных и самых разнообразных разделах физики, механики, техники и естествознания в широком смысле этого слова.

   Актуальность исследования заключается в том, что решения уравнений представляет собой одну из существенных задач прикладного анализа, потребность в которой возникает в многочисленных и самых разнообразных разделах физики, механики, техники. Но многие уравнения настолько сложны, что возрастает значение методов приближённого решения уравнений.

   Объект исследования: уравнение , методы Ньютона,Мюллера и Лобачевского для его приближенного решения.

  Предмет исследования:  понять, насколько велика значимость метода Лобачевского .

  Гипотеза  исследования : метод Лобачевского превосходит другие методы по многим параметрам.

  Цель работы: сравнить различные  методы приближённого решения уравнений; выяснить их « плюсы» и « минусы», определить место метода Лобачевского среди других методов.

  Задачи:

       1.Изучить  теоретический материал по теме.

       2.Обосновать выбор уравнения .

       3. Решить данное уравнение методами Ньютона, Мюллера и Лобачевского.

       4. Сравнить данные методы.

       5. Сделать выводы.

  Информационной базой для написания исследовательской работы послужили труды  различных учёных.

  Методы исследования :  изучение  и использование научных и учебных изданий, метод сравнения, сопоставления полученных фактов; аналитический метод.

  Теоретическая и практическая ценность полученных результатов, возможность их использования :  данная работа предназначена для ознакомления заинтересованным учащимся; материалы можно использовать на уроках и занятиях  математического кружка, где математикой занимаются  на достаточно высоком уровне.

 Содержание работы:

При выполнении данной исследовательской работы мной были предприняты следующие действия :

-  изучены информационные источники;

- изучены и использованы различные методы для решения уравнения;

- сравнил данные методы;

- сделал выводы.

Основная ( содержательная часть).

Настоящая исследовательская работа посвящена нескольким методам решения алгебраических уравнений: методу Лобачевского, Ньютона и Мюллера.

 Целью данной работы является: сравнить различные методы приближенного решения уравнений, выявить их плюсы и минусы, определить место метода Лобачевского среди других методов.

Для исследования я решил использовать уравнение

При выборе уравнения я руководствовался следующими соображениями:

1) степень многочлена не должна быть очень высокой

2) уравнение должно иметь иррациональные корни

3) уравнение должно иметь комплексные корни

4) коэффициенты должны быть достаточно большими

Исходное уравнение я получил, перемножая многочлены

и . Соответственно исходное уравнение имеет четыре корня:

~-11,7082039

~1,7082039

Далее я буду действовать так, будто ничего не знаю об этом уравнении.

Следует вычислить производную функции: 

Также понадобится схема Штурма:

сначала нужно взять исходный многочлен, затем его производную; поделить многочлен на производную и записать остаток; поделить производную на остаток и записать следующий остаток; поделить первый остаток на второй и так далее, пока не получим число. Большой точности не требуется, коэффициенты можно округлить до десятых. Для данного многочлена схема Штурма выглядит следующим образом:

Далее нужно определить знаки данных многочленов при стремлении х к и  (табл.1). Разность между количеством перемен знаков показывает количество действительных корней, в данном случае их два.

Для методов Ньютона и Мюллера необходимо знать промежутки, на которых находятся корни. Для этого нужно производную приравнять к нулю и решить получившееся уравнение:

Так как мы знаем, что исходное уравнение имеет два корня, то можно сказать, что корни лежат на промежутках от минус бесконечности до -9 и от нуля до плюс бесконечности. Следует заметить, что данные действия можно проделать не всегда.

Метод Ньютона.

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи «Об анализе уравнениями бесконечных рядов» (лат. «De analysi per aequationes numero terminorum infinitas»), адресованной в 1669 году Барроу, и в работе «Метод флюксий и бесконечные ряды» (лат. «De metodis fluxionum et serierum infinitarum») или «Аналитическая геометрия» (лат. «Geometria analytica») в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году. В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд, бесконечно малые и флюксии (производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана Джоном Кользоном в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения xn, а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение.

Впервые метод был опубликован в трактате «Алгебра» Джона Валлиса в 1685 году, по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работе «Общий анализ уравнений» (лат. «Analysis aequationum universalis»). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений xn вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном. Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента.

В 1879 году Артур Кэли в работе «Проблема комплексных чисел Ньютона — Фурье» (англ. «The Newton-Fourier imaginary problem») был первым, кто отметил трудности в обобщении метода Ньютона на случай мнимых корней полиномов степени выше второй и комплексных начальных приближений. Эта работа открыла путь к изучению теории фракталов.

Чтобы численно решить уравнение  методом простой итерации, его необходимо привести к следующей форме: , где  — сжимающее отображение.

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения  должно выполняться условие . Решение данного уравнения ищут в виде

,

тогда:

В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню , и что заданная функция непрерывна , окончательная формула для  такова:

С учётом этого функция  определяется выражением:

Эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение, и алгоритм нахождения численного решения уравнения  сводится к итерационной процедуре вычисления:

По теореме Банаха последовательность приближений стремится к

корню уравнения .

 При применении метода Ньютона для решения исходного уравнения я сразу же столкнулся с проблемой выбора исходного приближения, но решил эту проблему, вычислив промежутки, на которых находятся корни. Это я сделал в введении. И в качестве начальных приближений я взял крайние точки данных промежутков, то есть -9 и 1 (0 не подходит, так как производная равна нулю, и выражение, используемое при решении не имеет смысла).

Итак, вычисления производятся по формуле  

с помощью калькулятора (как и все остальные вычисления).

Все результаты я поместил в таблицы (табл. 2 и табл. 3). Как видно для вычисления первого корня с точностью до семи знаков после запятой (все вычисления будут проводиться с точностью до семи знаков после запятой) понадобилось четыре приближения, что не очень много, однако для вычисления второго корня понадобилось уже четырнадцать приближений, что достаточно много. Также стоит заметить, что вычисления корней проводятся отдельно друг от друга.

                                                    Метод Мюллера.

Метод Мюллера — итерационный численный метод для вычисления корня заданной функции f(x) = 0. Был представлен Давидом Мюллером в 1956 году.

Метод Мюллера основан на методе секущих, который строит на каждом шаге итерации прямые, проходящие через две точки на графике f. Вместо этого, метод Мюллера использует три точки, строит параболу, проходящую через эти три точки, и в качестве следующего приближения берёт точку пересечения параболы и оси x.

Этот метод более сложен, чем метод Ньютона, так как здесь необходимо вычисление четырех дополнительных переменных и использование трех начальных приближений, а не одного.

При использовании этого метода так же, как и в методе Ньютона, возникает проблема выбора начальных приближений, но и решается она аналогично. В качестве начальных приближений я выбрал  1; 2; 3 и -9; -10; -11.

Вычисления производятся по формулам:

   ,

,

,

,

.  

Результаты я оформил в виде таблиц (табл. 4 и табл. 5). Как видно для вычисления первого корня необходимо десять приближений, а для второго – шесть. Это достаточно много, учитывая сложность вычисления. Корни здесь также вычисляются отдельно.

Метод Лобачевского.

Метод Лобачевского (Лобачевского-Греффе) – результат труда одного из величайших математиков.

При вычислении этим методом используются следующие формулы:

,

где ai коэффициент многочлена , k – это не степень, а номер шага

На первый взгляд формулы сложны. Но при упрощении получаем:

Вычисления я поместил в таблицы (табл. 6 и табл. 7). Как видно приближений всего лишь пять, и корни вычисляются вместе.

Также возможно вычисление комплексных корней. Для этого нужно вычислить коэффициенты p и q, а затем решить уравнение :

Результаты в таблицах (табл.8 и табл.9).

Заключение.

Таким образом плюсы и минусы рассмотренных методов в следующем:

1. Сложность подбора начальных приближений для методов Ньютона и Мюллера.
2. Для методов Ньютона и Мюллера не всегда удается найти промежутки монотонности функции
3. В методе Мюллера схема вычисления достаточно сложна
4. В методах Ньютона и Мюллера требуется больше интераций, чем в методе Лобачевского
5. В методах Ньютона и Мюллера построение последовательности приближений может зациклиться или быть очень запутанным
6. Метод Лобачевского не подходит для поиска кратных корней и корней близких по модулю
7. В методе Лобачевского приходится находить корни высоких степеней
8. Метод Ньютона достаточно прост
9. Логический аппарат метода Лобачевского весьма мал

Поэтому можно сказать, что метод Лобачевского один из самых эффективных методов вычислений, который при небольшом количестве итераций дает результат с довольно хорошей точностью, поэтому сфера использования этого метода на практике может быть очень широкой. Метод особенно подходит для использования в компьютерных программах. И мне это может понадобиться для моей будущей профессии (я хочу стать фармацевтом), так как метод Лобачевского применяется в задачах по оптимизации в различных физических и химических моделях. Поэтому эта тема очень перспективна. Одна из перспектив – улучшение данного метода, уже есть несколько удачных попыток.

Литература.

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. Вузов. —М.: Высш. шк., 1986.
2. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.
3. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы — 8-е изд.. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
4. Вавилов С. И. Исаак Ньютон. — М.: Изд. АН СССР, 1945.
5. Волков Е. А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.
6. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ — М.: Мир, 1985.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575-576.
8. Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — Энергоатомиздат, 1972.
9. Максимов Ю. А.,Филлиповская Е. А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М.: МИФИ, 1982.
10. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — МИФИ, 2002.

Приложение.

Биография Н.И. Лобачевского.

Лобачевский, Николай Иванович (рис.1) - великий математик, один из творцов неевклидовой геометрии. Родился 22 октября 1793 г. в Нижегородской губернии. Учился в Казанском университете; рано обратил на себя внимание успехами в математике, но аттестован инспекцией как "юноша упрямый, нераскаянный, весьма много о себе мечтательный", проявляющий даже "признаки безбожия". Только заступничество профессоров предотвратило исключение Лобачевского из университета и доставило ему в 1811 г.; после данного им обещания исправиться, степень магистра. К тому же году относятся первые (ненапечатанные) работы Лобачевского: комментарий на один из вопросов "Небесной механики" Лапласа и мемуар, написанный под влиянием изучения "Disquisitiones Arithmeticae" Гаусса и его наблюдения над большой кометой.

В 1814 г. Лобачевский получил звание адъюнкта и приступил к чтению лекций по теории чисел. В последующие годы Лобачевский читал лекции по самым разнообразным отделам математики, а также по физике и астрономии; вместе с тем, он привел в порядок библиотеку университета, упорядочил издательскую его деятельность, позаботился о возведении ряда построек для университета. После ухода Магницкого Лобачевский, тому времени ординарный профессор, был избран в ректоры (1827) и занимал эту должность в течение 19 лет.

В 1828 г. он произнес замечательную речь "О важнейших предметах воспитания", в которой отразилось его увлечение просветительными идеями XVIII столетия. В 1846 - 1855 годах Лобачевский занимал должность помощника попечителя казанского учебного округа.

 Скончался 12 февраля 1856 г. Громкая слава Лобачевского основана на его геометрических изысканиях, начатых в 1814 - 1817 годах. Сохранившаяся запись лекций Лобачевского, читанных в эти годы, показывает, что первоначально Лобачевский стоял на традиционной точке зрения, предлагая разные доказательства аксиомы параллельных линий; но уже в 1823 г., в составленном им учебнике геометрии (издан в 1910 г. казанским физико-математическим обществом), он высказался в том смысле, что "строгого доказательства сей истины до сих пор не могли сыскать; какие были даны... не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами".

 К 1826 г. он пришел к определенной формулировке своей новой геометрической системы, которую назвал "воображаемой геометрией" в отличие от "употребительной", евклидовой. О сущности геометрии Лобачевского см. Геометрия (Брокгауз-Ефрон, XIII, 97 и сл.). Гениальное открытие Лобачевского, сделанное им независимо от одновременных работ других геометров, было им впервые сжато изложено в феврале 1826 г. в заседании отделения физико-математических наук (см. "О началах геометрии", "Казанский Вестник", 1829 - 1830) и затем наиболее полно развито в "Новых началах геометрии с полной теорией параллельных" ("Ученые Записки Казанского университета", 1835 - 1838). Совершенно не понятый соотечественниками, Лобачевский постарался ознакомить со своей системой западноевропейских ученых и напечатал в 1837 г. "Geometrie imaginaire" ("Journal Crelle"), в 1840 г. - "Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien" (Берн) и в 1855 г., с напряжением последних сил, почти уже ослепший - "Pangeometrie ou precis de geometrie, fondee sur une theorie generale et rigoureuse des paralleles" (в юбилейном сборнике Казанского университета, Казань, 1856). Однако, и за границей идеи Лобачевского остались непонятыми: единственный человек, по достоинству их оценивший, Гаусс, при жизни воздерживался от открытого признания неевклидовой геометрии.

В 1860-х годах была опубликована переписка Гаусса, где он свидетельствует, что развитие неевклидовой геометрии сделано у Лобачевского "мастерски в истинно геометрическом духе". С тех пор заслуги Лобачевского постепенно приобретают общее признание. Сочинения Лобачевского переводятся на иностранные языки; Казанский университет, по почину француза Гуэля, предпринимает издание "Полного собрания сочинений по геометрии Лобачевского" (Казань, 1883 - 1886); в 1893 г., к столетию со дня рождения Лобачевского, ему воздвигается на собранные международной подпиской средства памятник в Казани, и учреждается премия его имени за сочинения по неевклидовой геометрии. При жизни Лобачевского известность доставили ему труды по другим вопросам математики и здесь в некоторых отношениях он предвосхитил позднейшее развитие науки (различение непрерывности и дифференцируемости, слитное изложение планиметрии и стереометрии). 

 Рисунок 1. Николай Иванович Лобачевский

Таблица 1. Схема Штурма

Таблица 2. Метод Ньютона для первого приближения

Таблица 3. Метод Ньютона для второго приближения

Таблица 4. Метод Мюллера для первого приближения

Таблица 5. Метод Мюллера для второго приближения

Таблица 6. Дополнительные коэффициенты для метода Лобачевского

Таблица 7. Приближения в методе Лобачевского

Таблица 8. Дополнительные коэффициенты для поиска комплексных корней

Таблица 9. Приближения комплексных корней.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение        Ставровская средняя общеобразовательная школа

Собинского района

Секция  « Математический анализ»

Исследовательская работа

Тема: «Метод Лобачевского для приближенного решения уравнений»

  Выполнил: Процун Григорий Валерьевич, 11 класс

                                          Руководитель: Мартынова Светлана Вячеславовна

2011-2012