Выступление на НОУ Как научиться быстро считать

Муниципальное образовательное учреждение « Новоуральская средняя общеобразовательная школа» Павлоградского муниципального района Омской области

« Как научиться быстро считать»

Выполнил

Гладкий Евгений

Ученик 6 класса

Учитель

Васькина

Галина Александровна

С.Новоуральское 2011год

Введение

Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление 

Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

В данной работе мной проведено исследование свойств и закономерностей натуральных чисел, не рассматриваемых в рамках школьной программы, для определения их практической значимости, их использования при выполнении арифметических действий.

.

В нашем шестом классе основные проблемы при изучении математики связаны с вычислительными навыками. При сдаче ЕГЭ результаты наших учеников по математике низкие по сравнению с другими школами, анализ показал низкие вычислительные навыки и поэтому целью моей работы является изучить приемы быстрого счета, а затем ознакомить ребят своего класса и школы.

Я поставил перед собой следующие задачи

1. изучить историю возникновения вычислений

2. правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас,

3. освоить правила быстрого счета и научить этому ребят нашего класса.

4. разработать мини- справочник « Как быстро научиться считать?

Содержание

            1.История возникновения счета

 2.Правила быстрого счета:

- умножение,

- деление

- сложение

- совместные действия

3. Признаки делимости

История возникновения счета

Самым первым инструментом счета у древнего пещерного человека в верхнем палеолите, безусловно, были пальцы рук. Сама природа предоставила человеку сей универсальный счетный инструмент. У многих народов пальцы (или их суставы) при любых торговых операциях выполняли роль первого счетного устройства. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи вполне хватало.

К счету по пальцам рук восходят многие системы счисления, например пятеричная (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног), сорокаричная (суммарное число пальцев рук и ног у покупателя и продавца). У многих народов пальцы рук долгое время оставались инструментом счета и на наиболее высоких ступенях развития.

У нас в быту до сих пор используется счет мелких предметов “пятка ми”: пуговиц, шурупов, крупных семян, огурцов, яиц, чеснока и т.д. В царской России чеканились золотые монеты номиналом в 5, 10 и 15 рублей (империал).

Однако в разных странах и в разные времена считали по-разному.

Несмотря на то что у многих народов кисть руки является синонимом и фактической основой числительного “пять”, у различных народов при пальцевом счете от одного до пяти указательный и большой пальцы могут иметь разные значения.

Например, у итальянцев при счете на пальцах рук большой палец обозначает цифру 1, а указательный — метит цифру 2; когда же считают американцы и англичане, указательный палец означает цифру 1, а средний — 2, в этом случае большой палец представляет цифру 5. А русские начинают счет на пальцах, первым загибая мизинец, и заканчивают большим пальцем, обозначающим цифру 5, при этом указательный палец сопоставлялся с цифрой 4. Но когда показывают количество, выставляют указательный палец, затем средний и безымянный.

Когда же совершался магический счет у древних египтян, они держали открытые ладони перед лицом, ведя счет от большого пальца правой руки до большого пальца левой руки.

Североевропейский пальцевой счет позволял показывать пальцами одной руки, складываемыми в различные комбинации, все числа от 1 до 100. Причем большим и указательным пальцами изображались десятки, остальными тремя — единицы.

Например, число 30 получалось, когда большой и указательный пальцы левой руки были соединены в кольцо. Для того чтобы изобразить число 60, большой палец нужно согнуть и как бы склонить его перед указательным, нависающим над ним (рисунок 1). Чтобы показать число 100, нужно было прижать выпрямленный большой палец снизу к указательному и отвести остальные три пальца в сторону.

По свидетельству древнеримского историка Плиния-старшего, на главной римской площади — Форуме была воздвигнута гигантская фигура двуликого бога Януса. Пальцами правой руки он изображал принятое в то время обозначение в Риме числа 300 (соединение большого и указательного в кольцо), пальцами левой руки — 55 (загнут большой и средний). Вместе это составляло число дней в году в римском календаре.

То обстоятельство, что в Англии первые десять чисел в Средние века называли общим именем — “пальцы”, подтверждает распространенность счета на пальцах и у англичан. Видимо, неслучайно и то, что в древнерусской нумерации единицы назывались “перстами”, десятки — “суставами”, а все остальные числа — “сочислениями”.

Счет парами вплоть до середины XVIII века всегда занимал важное место в жизни россиян, поскольку имел качественное происхождение — пара рук, ног, глаз и пр. Недаром говорили: “два сапога — пара”, “двугривенный” и т.д.

Естественной мерой расстояния, связанной с землемерием и ножными промерами русских землепроходцев, являлся сдвоенный или “парный шаг” (равный одной маховой сажени). В торговых операциях с шелковой тканью, привозимой из Турции, всегда использовался так называемый русский локоть (именуемый также парным или “большим локтем”). Дело в том, что в те времена материя приготавливалась в виде узких полос, которые удобно было отмеривать, наматывая на руку, — начиная со сгиба большого пальца, — оборачивая ее вокруг локтя и снова натягивая ее до большого пальца. Длина полного оборота материи вокруг “локтя” давала особую единицу меры — “двойной локоть”, который вошел у нас в употребление с XV века и получил название “русский локоть” или “аршин”.

Счет десятками возник около 3—2,5 тысячи лет до нашей эры в Древнем Египте. Претерпев небольшие изменения, древнеегипетская десятеричная система сначала обосновалась на Востоке (в Индии примерно к VI веку нашей эры, более известная как индийский счет), а затем через весьма активную торговлю в XI—XIII веках достигла пределов Древней Руси. От Орды Русь переняла десятичную систему счисления для весовых измерений и денежного счета, опередив в этом даже Европу, которая познакомилась с десятеричной системой счисления через арабов только в XIII веке, а усвоила ее и того позже.

Однако окончательно эта система счисления прижилась в России вместе с реформами Петра I, пришедшими к нам из Европы.

Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.

Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались (рисунок 3).

Рисунок 3 - Древнерусский способ умножения на пальцах рук

Счет дюжинами ведет свое начало от счета по фалангам пальцев рук. При этом большой палец играл роль счетчика, при помощи которого пересчитывались фаланги других пальцев. Двенадцать получается, если, например, начать с нижней фаланги указательного пальца и закончить верхней фалангой мизинца. Причем у разных европейских народов в торговле укоренился счет дюжиной дюжин (“гроссом”), пятеркой дюжин, то есть “шестидесятками”, и даже дюжиной гросса, то есть “массой”.

Двенадцатеричная система счисления была когда-то широко распространена у многих европейских народов (рисунок 4). Узаконить счет дюжинами и гроссами пытался еще шведский король Карл XII (тот самый, которого русские войска разгромили под Полтавой в 1709 году).

Рисунок 4 - Европейский (древнеегипетский) пальцевой счет дюжинами по фалангам

Счет сороками (или “сороковицами”) имел преимущественное распространение в Древней Руси. Число 40 (четыре десятка) долгое время называли “четыредцать” или “четыредесят”. Но восемьсот лет тому назад для обозначения этого множества на святой и православной Руси впервые появилось название “сорок”.

Число 40 обладало у нас особым значением, например, сорокадневные периоды, упоминаемые в Священном Писании, в пуде содержалось 40 фунтов, в мерной бочке — 40 ведер, в указном ведре — 40 косушек и т.д.

О том, что число 40 на Руси когда-то играло особую роль при пальцевом счете, говорят и некоторые связанные с ним поверья. Так, сорок первый медведь считался роковым для российского охотника, убить паука — означало избавиться от сорока грехов и т.д. Все то количество, которое превышало некое множество (например, “сорок”), превосходящее всякое воображение (“сорок сороков”) и не умещавшееся в голове российского землепашца из-за своей ничем не ограниченной величины, называлось одним словом — “тьма”.

Это вычисление ведет свое начало от счета по суставам пальцев сибирских звероловов, которые таким манером вели учет общего количества звериных шкур (“сороков”), подлежащих бартеру (мене) на другие товары (рисунок 5).

Большим пальцем правой руки, используемым в качестве счетчика, сибирский охотник пересчитывал каждую пару суставов на четырех оставшихся пальцах и, насчитав таким образом восемь единиц, загибал один палец левой руки. Очевидно, что операция счета кончалась, когда были загнуты все пять пальцев левой руки, что давало пять восьмерок, одну “сорочку” или число “сорок.

Рисунок 5 - Старорусский счет сибирских звероловов по суставам пальцев.

Самая сложная — китайская пальцевая система счета. Каждый палец обеих рук “размечался” трижды: посреди и по бокам, переход от пальца к пальцу означал повышение разряда, позволяя отмечать прикосновениями ногтя большого пальца числа от 1 до 99 999 999 (рисунок 6)

Рисунок 6 - Китайская пальцевая система счета.

Абак - древнейшее счетное устройство, пришедшее на смену пальцевому счету. На рисунке 7 его китайская разновидность - суаньцань. В нижнем отделении на каждую проволоку нанизано по пять шариков, как бы соответствующих пяти пальцам, в верхнем — по два шарика, которые соответствуют двум рукам. В верхнем отделении отложено число 108, в нижнем - 1872.

Рисунок 7 - Абак - древнейшее счетное устройство, пришедшее на смену пальцевому счету.

Тело человека как живая счетная машина настолько тесно оказалось связанным со счетом, что на древнегреческом языке само понятие “считать” выражалось словом “пятерить”. Да и в русском языке слово “пятерить” прежде означало способность к “увеличению”, “приумножению” или счету пятерками, другими словами — умению осуществлять счет по пальцам рук.

Пальцевой счет, унаследованный от далеких предков, сохранился вплоть до настоящего времени и активно используется, например, судьей на боксерском ринге при отсчете секунд во время нокаута или на товарно-сырьевой бирже где-нибудь в Чикаго или Токио. Да и в быту он не забыт. И сегодня мы сгибаем (а американцы, наоборот, разгибают) пальцы, в споре показывая оппоненту ради большей убедительности количество аргументов в пользу своей позиции.

 Приемы устного счета

3.1 Умножение на 11, 22, 33, …99

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр:

72 ×11= 7 (7+2) 2 = 792;

35 ×11 = 3 (3+5) 5 = 385.

Чтобы умножить 11 на двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения:

94 ×11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = (9+1) 34 = 1034;

59×11 = 5 (5+9) 9 = 5 (14) 9 = (5+1) 49 = 649.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33. …99, надо последнее число представить в виде произведения однозначного числа (от 1 до 9) на 11, т.е.

44= 4 × 11; 55 = 5×11 и т. д.

Затем произведение первых чисел умножить на 11.

48 × 22 =48 × 2 × (22 : 2) = 96 × 11 =1056;

24 × 22 = 24 × 2 × 11 = 48 × 11 = 528;

23 ×33 = 23 × 3× 11 = 69 × 11 = 759;

18 × 44 = 18 × 4 × 11 = 72 × 11 = 792;

16 × 55 = 16 × 5 × 11 = 80 × 11 = 880;

16 × 66 = 16 × 6 × 11 = 96 × 11 = 1056;

14 × 77 = 14 × 7 × 11 = 98 × 11 = 1078;

12 × 88 = 12 × 8 × 11 = 96 × 11 = 1056;

8 × 99 = 8 × 9 × 11 = 72 × 11 = 792.

Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого.

3.2 Умножение на число, оканчивающееся на 5

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует применить правило: если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой – уменьшить  во столько же раз, произведение не изменится.

44 × 5 = (44 : 2) × 5 × 2 = 22 × 10 = 220;

28 × 15 = (28 : 2) × 15 × 2 = 14 × 30 = 420;

32 × 25 = (32 : 2) × 25 × 2 = 16 × 50 = 800;

26 × 35 = (26 : 2) × 35 × 2 = 13 × 70 = 910;

36 × 45 = (36 : 2) × 45 × 2 = 18 × 90 = 1625;

34 × 55 = (34 : 2) × 55 × 2 = 17 × 110 = 1870;

18 × 65 = (18 : 2) × 65 × 2 = 9 × 130 = 1170;

12 × 75 = (12 : 2) × 75 × 2 = 6 × 150 = 900;

14 × 85 = (14 : 2) × 85 × 2 = 7 × 170 = 1190;

12 × 95 = (12 : 2) × 95 × 2 = 6 × 190 = 1140.

При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределах второго десятка. В противном случае вычисления усложнятся.

3.3 Умножение и деление на 25, 50, 75, 125, 250, 500

Для того, чтобы устно научится умножать и делить на 25 и 75, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4.

На 4 делятся те, и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4.

Например:

124 делится на 4, так как 24 делится на 4;

1716 делится на 4, так как 16 делится на 4;

1800 делится на 4, так как 00 делится на 4

Правило. Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.

Примеры:

484 × 25 = (484 : 4) × 25 × 4 = 121 × 100 = 12100

124 × 25 = 124 : 4 × 100 = 3100

Правило. Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4.

Примеры:

12100 : 25 = 12100 : 100 × 4 = 484

31100 : 25 = 31100 :100 × 4 = 1244

Правило. Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.

Примеры:

32 × 75 = (32 :4) × 75 × 4 = 8 × 300 = 2400

48 × 75 = 48 : 4 × 300 = 3600

Правило. Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4.

Примеры:

2400 : 75 = 2400 : 300 × 4 = 32

3600 : 75 = 3600 : 300 × 4 = 48

Правило. Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 и умножить на 100.

Примеры:

432× 50 = 432 :2 × 50 × 2 = 216 × 100 = 21600

848 × 50 = 848 : 2 × 100 = 42400

Правило. Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2.

Примеры:

21600 : 50 = 21600 : 100 × 2 = 432

42400 : 50 = 42400 : 100 × 2 = 848

Правило. Чтобы число умножить на 500, надо это число разделить на 2 и умножить на 1000.

Примеры:

428 × 500 = (428 :2) × 500 × 2 = 214 × 1000 = 214000

2436 × 500 = 2436 : 2 × 1000 = 1218000

Правило. Чтобы число разделить на 500, надо это число разделить на 1000 и умножить на 2.

Примеры:

214000 : 500 = 214000 : 1000 × 2 = 428

1218000 : 500 = 1218000 : 1000 × 2 = 2436

Прежде чем научиться умножать и делить на 125. надо хорошо знать таблицу умножения на 8 и признак делимости на 8.

Признак. На 8 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8.

Примеры:

3168 делится на 8, так как 168 делится на 8;

5248 делится на 8, так как 248 делится на 8;

12328 делится на 8, так как 324 делится на 8.

Чтобы узнать, делится ли трехзначное число, оканчивающееся цифрами 2, 4, 6. 8.  на 8, нужно к числу десятков прибавить половину цифр единиц. Если полученный результат будет делиться на 8, то исходное число делится на 8.

Примеры:

632 : 8, так как т.е. 64 : 8;

712 : 8, так как   т.е. 72 : 8;

304 : 8, так как   т.е. 32 : 8;

376 : 8, так как   т.е. 40 : 8;

208 : 8, так как   т.е. 24 : 8.

Правило. Чтобы число  умножить на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000. Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить

 на 8.

Примеры:

32 × 125 = (32 : 8) × 125 × 8 = 4 × 1000 = 4000;

72 × 125 = 72 : 8 × 1000 = 9000;

4000 : 125 = 4000 : 1000 × 8 = 32;

9000 : 125 = 9000 : 1000 × 8 = 72.

Правило. Чтобы число умножить на 250, надо это число разделить на 4 и умножить на 1000.

Примеры:

36 × 250 = (36 : 4) × 250 × 4 = 9 × 1000 = 9000;

44 × 250 = 44 : 4 × 1000 = 11000.

Правило. Чтобы число разделить на 250, надо это число разделить на 1000 и умножить на 4.

Примеры:

9000 : 250 = 9000 : 1000 ×4 = 36;

11000 : 250 = 11000 : 1000 ×4 = 44

3.4 Умножение и деление на 37

Прежде чем научиться устно умножать и делить на 37, надо хорошо знать таблицу умножения на три и признак делимости на три, который изучается в школьном курсе.

Правило. Чтобы умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.

Примеры:

24 × 37 = (24 : 3) × 37 × 3 = 8 × 111 = 888;

27 × 37 = (27 : 3) × 111 = 999.

Правило. Чтобы число разделить на 37, надо это число разделить на 111 и умножить на 3

Примеры:

999 : 37 = 999 :111 × 3 = 27;

888 : 37 = 888 :111 × 3 = 24.

3.5 Умножение  на 111

Научившись умножать на 11, легко умножить на 111, 1111. и т. д. число, сумма цифр которого меньше 10.

Примеры:

24 × 111 = 2 (2+4) (2+4) 4 = 2664;

36 ×111 = 3 (3+6) (3+6) 6 = 3996;

17 × 1111 = 1 (1+7) (1+7) (1+7) 7 = 18887.

Вывод. Чтобы число умножить на 11, 111. и т. д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т. д. шагов, сложить цифры и записать между раздвинутыми цифрами.

3.6 Умножение двух рядом стоящих чисел

Примеры:

Вывод. При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц. Получим ответ (см. примеры)

3.7 Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10

Пример:

24 × 26 = (24 – 4) × (26 + 4) + 4 × 6 = 20 × 30 + 24 = 624.

Числа 24 и 26 округляем до десятков, чтобы получить число сотен, и к числу сотен прибавляем произведение единиц.

18 × 12 = 2 × 1 сот. + 8 × 2 = 200 + 16 = 216;

16 × 14 = 2 × 1 × 100 + 6 × 4 = 200 + 24 = 224;

23 × 27 = 2 × 3 × 100 + 3 × 7 = 621;

34 × 36 = 3 × 4 сот. + 4 × 6 = 1224;

71 × 79 = 7 × 8 сот. + 1 × 9 = 5609;

82 × 88 = 8 × 9 сот. + 2 × 8 = 7216.

Можно решать устно и более сложные примеры:

108 × 102 = 10 × 11 сот. + 8 × 2 = 11016;

204 × 206 = 20 × 21 сот. +4 × 6 = 42024;

802 × 808 = 80 × 81 сот. +2 × 8 = 648016.

Проверка:

      × 802

        808

      6416

  6416__

  648016

3.8 Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые.

Правило. При умножении двузначных чисел. у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые, надо перемножить цифры десятков. и прибавить цифру единиц, получим число сотен и к числу сотен прибавим произведение единиц.

Примеры:

72 × 32 = (7 × 3 + 2)сот. + 2 × 2 = 2304;

64 × 44 = (6 × 4 + 4) × 100 + 4 × 4 = 2816;

53 × 53 = (5 × 5 +3) × 100 + 3 × 3 = 2809;

18 × 98 = (1 × 9 + 8) × 100 + 8 × 8 = 1764;

24 × 84 = (2 × 8 + 4) ×100+ 4 × 4 = 2016;

63 × 43 = (6 × 4 +3) × 100 +3 × 3 = 2709;

35 × 75 = (3 × 7 + 5) × 100 +5 × 5 = 2625.

3.9 Умножение чисел, оканчивающихся на 1

Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать еще правее. Сложив  столбиком, получим ответ.

Примеры:

3.10 Умножение двузначных чисел на 101, трехзначных – на 1001

Правило. Чтобы двузначное число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.

48 × 101 = 4848;

56 × 101 = 5656.

Правило. Чтобы трехзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число.

Примеры:

648  1001 = 648648;

999  1001 = 999999.

2.12 Задача Гаусса

Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математиков. Его математическое дарование проявилось ещё в детстве. Рассказывают, что в трехлетнем возрасте он удивил окружающих, поправив расчеты своего отца. Однажды в школе (Гауссу в то время было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. На грифельной доске у него было написано 101·50 = 5050.

Мы автоматически вывели формулу для вычисления суммы n чисел. (Формула верна для любого n).

Правила быстрого умножения

Правила для устного умножения и деления более сложны и представляют особый интерес. Для деления рекомендуется представлять в уме процесс, "записывая" пример в строчку. Сюда же можно отнести признаки делимости чисел. Существуют и различные способы извлечения корней из чисел. Все эти методы математически верны, но сложны в использовании, так как, например, требуют удержания в памяти многих чисел. Наибольший интерес видится в освоении приемов быстрого умножения. Для начала приведем два приема, получившие наибольшее описание в литературе.

Умножение двузначного числа на 11

Следует "раздвинуть" цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

Пример:
34 * 11 = 374, так как 3 + 4 = 7, семерку помещаем между тройкой и четверкой
68 * 11 = 748, так как 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на "5"

Следует число, получаемое из данного отбрасыванием пятерки, помножить на следующее в числовом ряду, т.е. на увеличенное на единицу, и к полученному произведению дописать "25".

Для устного счета метод применим для всех двузначных чисел и некоторых трехзначных (с удобными первыми цифрами).

Примеры:

75 * 75 = 5625                    115 * 115 = 13225

75 --> 7*(7+1)=56 --> 5625          115 --> 11*(11+1)=132 --> 13225

Умножение двузначного числа на 101

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе.
Пример:

57 * 101 = 5757      57 --> 5757

Перемножение двузначных чисел, меньших, чем 20

18* 13= 18 * (10 + 3)= 180 + 18*3= 180+ (10 + 8)* 3= 180 +30 +24= 210+24=234

Следует к одному из чисел прибавить число единиц второго множимого, сумму увеличить в 10 раз и сложить с произведением цифр разряда единиц обоих чисел.
Пример:

18 * 13 = 234

18; 13 --> 18 + 3 = 21 --> 21*10 = 210 --> 3*8 = 24 --> 210 + 24 = 234 или

13; 18 --> 13 + 8 = 21 --> 21*10 = 210 --> 8*3 = 24 --> 210 + 24 = 234

Перемножение двух чисел, отличающихся на одно и то же число от некоторого третьего числа, квадрат которого заведомо известен

Удобно, если это третье число будет "круглым", т.е. его легко возвести в квадрат
Правило ясно из примера:

97 * 103 = 9991  (100-3) (100 + 3) = 100*100 – 3*3

100*100-3*3=9991

Объяснение: (a + b)*(a - b) = a*a - b*b

Как умножали в древней Индии?

В древней Индии применяли два способа умножения: сетки и галеры.

Способ «Сетки».

Например, умножим 793 на 92.

1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.

В предложенном примере можно использовать одну из этих сеток.

2. Выбрав сетку, умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки. В этом  случае последовательно умножаем 9 на 7, на 9, и на 3.

Так пишется каждое произведение в соответствующей клетке.

3. Сетка со всеми заполненными клетками.

4. В заключение складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.

Число 72956 является ответом.

Способ «Галеры».

Для умножения, например, 793 на 92 напишем одно число как множимое и под ним другое как множитель. Чтобы легче ориентироваться, можно использовать сетку (А) как образец.

Теперь умножаем левую цифру множителя  на каждую цифру множимого, то есть, 9х7, 9х9 и 9х3. Полученные произведения пишем в сетку (Б), имея в виду следующие правила:

Правило 1. Единицы первого произведения следует писать в той же колонке, что и множитель, то есть в данном случае под 9.

Правило 2. Последующее произведения надо писать таким образом, чтобы единицы помещались в колонке непосредственно справа от предыдущего произведения.

Повторим весь процесс с  другими цифрами множителя, следуя тем же правилам (С).

Затем складываем цифры в колонках и получаем ответ 72956.

Как можно видеть, мы получаем большой список произведений. Индийцы, имевшие большую практику, писали каждую цифру не в соответствующую колонку, а сверху, насколько это было возможно. Затем они складывали цифры в колонках и получали результат (Д).

Список литературы:

1. Энциклопедия.
2. Учебник математики.

Таблица умножения

СПРАВОЧНИК БЫСТРОГО СЧЕТА ДЛЯ ОДНОКЛАССНИКОВ

Умножение на 4

     Чтобы умножить любое число на 4, надо последовательно двукратно умножить это число на 2.

Примеры.

Умножение на 5

     Чтобы умножить любое число на 5, надо его вначале разделить на 2, а потом приписать справа 0.

Пример.

Докажем:

Умножение на 6

     Чтобы умножить число на 6, надо:

1-ый способ – последовательное умножение

Пример.

2-ой способ – представление числа 6 в виде суммы 5+1 и использование распределительного закона умножения

Примеры.

Умножение на 7

     При умножении числа на семь, 7 представляется в виде суммы 5+2.

Примеры.

Умножение на 8

     При умножении на 8 можно пользоваться двумя приёмами:

1. Последовательное умножение:

Примеры.

2. 8 заменяется разностью 10-2:

Примеры.

Умножение на 9

     Чтобы умножить число на девять, надо заменить 9 = 10 – 1.

Примеры.

Умножение на 11

Примеры.

1-ый способ – представление 11 в виде суммы 10+1:

2-ой способ – основан на правилах письменного умножения двузначного числа на 11.

     Умножение на 11 двузначного числа –

     Чтобы умножить двузначное число на 11, надо сложить цифры разрядных единиц (2+3) и полученную сумму вставить между цифрами данных разрядных единиц (между цифрами 2 и 3).

     В рассмотренных примерах сумма цифр была меньше 10. Если же сумма цифр двузначного числа не меньше 10, как, например, у числа 48, т.е. сумма цифр есть также двузначное число (12), то между двумя цифрами множимого вписывается из полученной суммы только цифра единиц (2), а цифра десятков множимого увеличивается на единицу.

Примеры.

     Пусть надо умножить на 11 трёхзначное число, например, умножить 132 на 11. Мы сначала берём в качестве единиц произведения единицы множимого (2), потом складываем цифру единиц с цифрой десятков множимого (2 + 3 = 5) и эту сумму (5) ставим на месте десятков произведения, потом складываем цифру десятков множимого с цифрой его сотен (3 + 1 = 4) и берём эту сумму в качестве цифры сотен произведения; наконец, цифра сотен множимого переносится в произведение в качестве цифры тысяч.

Пример.

     Аналогичный приём применяется и при умножении всякого многозначного числа на 11.

Примеры.

Умножение на 12

     Чтобы умножить число на 12, надо это число заменить суммой: 10 + 2.

Примеры.

Умножение на 13

     Чтобы умножить число на 13, надо это число заменить разностью: 15-2.

(Прежде чем научиться быстрому приёму умножения на 13, необходимо освоить приём умножения на 15).

Примеры.

Умножение на 14

     Чтобы умножить число на 14, надо это число заменить разностью: 15-1.

Примеры.

Умножение на 15

1-ый способ.

     Чтобы умножить число на 15, надо заменить его суммой: 10 + 5.

Примеры.

2-ой способ.

     Рассмотрим умножение чётного числа на 15.

  Так как 15 состоит из суммы 3 пятёрок, то при умножении чётного числа на 15 надо частное от деления множимого на 2 умножить на 3 и результат умножить на 10.

Пример.

     Пусть теперь множимое нечётное число. Тогда сначала вычитают из него единицу и полученную разность умножают на 15, как выше указано, а затем к произведению прибавляют 15.

 Примеры.

Умножение на 25

     Чтобы умножить любое число на 25, надо его вначале разделить на 4, а потом умножить на 100.

Пример.

     Докажем:

Умножение на 37

     При умножении числа на 37, если данное число кратно 3, то его делят на 3 и умножают на 111

Пример.

     Если данное число не кратно 3, то 37 умножают на ближайшее число, кратное 3, и из произведения вычитают 37 или к произведению прибавляют 37.

Примеры.

Умножение на 99

Примеры.

Умножение на 101

Примеры.

Умножение на 125

     Чтобы умножить любое число на 125, надо его вначале разделить на 8, а потом приписать справа три нуля.

Пример.

     Докажем:

Последовательное умножение

Примеры.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

     В некоторых случаях, не выполняя деления натурального числа n на натуральное число а, можно ответить на вопрос, делится ли n на а без остатка или нет. Это достигается с помощью различных признаков делимости, КОТОРЫЕ МЫ ИЗУЧАЛИ ЕЩЁ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ.

Признак делимости на 2

     Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2.

     Число будет делиться на 2, если оно чётное, т.е. оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8.

Примеры.

49 662 : 2 = 24 831 – «2» - число чётное;

36 886 : 2 = 18 443 – «6» - число чётное

Признак делимости на 3

     Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Примеры.

33 693 : 3 = 11 231  –  («3» + «3» + «6» + «9» + «3» = 24, 24 : 3 = 8, значит, число 33 693 делится на 3);

25 311 : 3 = 8 437  -  («2» + «5» + «3» + «1» + «1» = 12, 12 : 3 = 4)

Признак делимости на 4

     Натуральное число, содержащее не менее трёх цифр,  делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.

Примеры.

33 264 : 4 = 8 316  -    «64» : 4 = 16;

11 712 : 4 = 2 928  -    «12» : 4 = 3

Признак делимости на 5

1-ый способ.

     Натуральное число  делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.

Примеры.

2 550 : 5 = 510;

3 685 : 5 = 737

2-ой способ.

     Деление числа на 5 заменяется делением на 10 и умножением на 2 полученного частного или сначала делимое умножается на 2, а потом полученное произведение делится на 10.

Примеры.

2 550 : 5 = 2 550 : 10 ∙ 2 = 255 ∙ 2 = 510;

3 685 : 5 = 3 685 ∙ 2 : 10 = 737

А ЭТО ВЫ  ЗНАЕТЕ???

Признак делимости на 6

     Натуральное число  делится на 6, если это число чётное и сумма цифр этого числа делится на 3.

Примеры.

24 762 : 6 = 4 127  -  (число 24 762 - чётное и сумма его цифр «2» + «4» + «7» + «6» + «2» = 21, 21 : 3 = 7);

64 212 : 6 = 10 702  -  (число 64 212 – чётное и сумма его цифр равна 15, 15 : 3 = 5

Признак делимости на 8

  Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, записанное тремя последними цифрами, делится на 8.

Примеры.

78 864 : 8 = 9 858  -  (число 864 : 8 = 108);

36 816 : 8 = 4 602  -  (число 816 : 8 = 102)

Признак делимости на 9

  Натуральное число  делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр  делится на 9.

Примеры.

18 819 : 9 = 2 091  -  («1» + «8» + «8» + «1» + «9» = 27, 27 : 3 = 9);

36 225 : 9 = 4 015  -  («3» + «6» + «2» + «2» + «5» = 18, 18 : 9 = 2)

Доказательство.

  Возьмём произвольное четырёхзначное число   и запишем его в виде суммы разрядных единиц:

        = 1000 + 10b + 10c + d = (999 + 1) + (99 + 1)b + (9 + 1)c + d = (999 + 99b + 9c) + ( + b + c + d).

  Первое слагаемое в скобках делится на 9, следовательно, чтобы сумма делилась на 9, надо, чтобы второе слагаемое в скобках делилось на 9, т.е. () : 9.

1. Признак делимости на 11

  Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечётных местах, и суммы цифр, стоящих на чётных местах, кратна 11.

Пример.

Дано число  98 855 075:

9 + 8 + 5 + 7 = 29 – сумма цифр, стоящих на нечётных местах;

8 + 5 + 0 + 5 = 18 – сумма цифр, стоящих на чётных местах;

найдём разность  –   29 – 18 = 11,

значит, действительно число 98 855 075 делится на 11.

Доказательство.

  Рассмотрим четырёхзначное число .

  Представим это число в виде суммы разрядных единиц   = 1000 + 100b + 10c + d = d + 10(c + 10b + 100).

  Вычтем из число  число  11(c + 10b + 100).

  Получим  d – c – 10(b + 10).

  Эта разность  будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число .

  Прибавим к этой разности число 11(b + 10), кратное 11.

  Получим  d – c + b + 10, также имеющее от деления на 11 тот же остаток, что и число .
  В результате получим число: d – c + b- = (d + b) – ( + c), имеющее тот же остаток от деления на 11, что и исходное число.

Второй способ:

Удобен для не очень длинных чисел. Состоит в том, что число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и складывают эти грани. Если полученная сумма делится без остатка на 11, то число кратно 11, иначе нет.

Например

528

5\ 28

5+28 =33 : 11

Признак делимости на 19

Число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

2. Признак делимости на 25

1-ый способ.

  Число будет делиться на 25, если оно оканчивается на 25, 50, 75 или двумя нулями.

Примеры.

24 425 : 25 = 977;

33 175 : 25 = 1 327

2-ой способ.

  При делении числа на 25 достаточно разделить его на 100 и полученное частное умножить на 4 или сначала делимое умножить на 4, а потом полученное произведение разделить на 100.

Примеры.

24 425 000 : 25 = 24 425 000 : 100 ∙ 4 = 244 250 ∙ 4 = 977 000;

33 175 000 : 25 = 33 175 000 : 100 ∙ 4 = 331 750 ∙ 4 = 1 327 000

Признак делимости на 37

  Шестизначное число делится на 37, если сумма разрядных единиц соответствующих классов будет одинаковой.

Примеры.

456 210  (456 + 210 = 666, т.е. 4 + 2 = 6,   5 + 1 = 6,   6 + 0 = 6);

210 456  (210 + 456 = 666);

543 456  (543 + 456 = 999);

456 543  (456 + 543 = 999)

Признак делимости на 50 – аналогичен признаку делимости на 5 – способ № 2

Примеры.

197 500 : 50 = (197 500 : 100) ∙ 2 = 3 950;

23 750 : 50 = (23 750 ∙ 2) : (50 ∙ 2) = 475

Признак делимости на 125

  При делении числа на 125 достаточно разделить его на 1000 и полученное частное умножить на 8 или сначала делимое умножить на 8, а потом полученное произведение разделить на 1000.

Примеры.

35 000 : 125 = (35 000 : 1000) ∙ 8 = 280;

2 250 : 125 = (2 250 ∙ 8) : (125 ∙ 8) = 18 000 : 1000 = 18

Признак делимости на 250 – аналогичен признаку делимости на 25 – способ № 2

Признак делимости на 500 – аналогичен признаку делимости на 5 – способ №2

Примеры.

147 500 : 500 = (147 500 : 1000) ∙ 2 = 295;

437 500 : 500 = (437 500 ∙ 2) : (500 ∙ 2) = 875 000 : 1000 = 875

Я НАДЕЮСЬ,ЧТО СОСТАВЛЕННЫЙ МНОЮ СПРАВОЧНИК ПРИГОДИТСЯ И ВАМ!