«Из истории математики (О Пифагоре и его знаменитой теореме)»
Данная презентация направлена на то, чтобы расширить кругозор не только в области изучения геометрии, но и истории. В работе четко разграничены исторические сведения об ученом, его учениках, сподвижниках, последователях. Кратко ведется повествование о каждом из ученом, который в той или иной мере пересекался с ученым, использовал его научные труды в своих работах. Приведены примеры многочисленных способов доказательства теоремы. И, самое главное, применение данной теоремы в различных областях науки, технике, архитектуре, космонавтики
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Презентация "Из истории математики" | 1.44 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Работу выполнила : Бородина Татьяна Андреевна учащаяся 11 «б» класса МОУСОШ №8 г.Миллерово Руководитель : Мажаева Светлана Александровна учитель информатики МОУСОШ №8
Пифагор – биография; Карта личных связей; Теорема Пифагора ; Доказательство теоремы Применение теоремы Содержание:
Пифагор 580 – 497 до н. э. «Числу все вещи подобны»
Пифагор Дата и место рождения: прим. 570 до н. э. Сидон или Самос Дата и место смерти: прим. 490 до н. э. Металонт (Италия) Школа/традиция: Пифагореизм Период: Древнегреческая философия Направление: Западная Философия Основные интересы: философия, математика, музыкальная гармония, этика, политика Значительные идеи: Музыка сфер, Пифагорейский строй, Теорема Пифагора Оказавшие влияние: Фалес Милетский, Анаксимандр Последователи: Филолай , Алкмеон Кротонский , Парменид , Платон, Евклид, Эмпедокл, Гиппас , Кеплер
Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с Самоса. Мнесарх был камнерезом (Диоген Лаэртский); по словам же Порфирия он был богатым купцом из Тира, получившим самосское гражданство за раздачу хлеба в неурожайный год. Первая версия предпочтительнее, так как Павсаний приводит генеалогию Пифагора по мужской линии от Гиппаса из пелопонесского Флиунта, бежавшего на Самос и ставшего прадедом Пифагора.
Партенида , позднее переименованная мужем в Пифаиду , происходила из знатного рода Анкея , основателя греческой колонии на Самосе . Рождение ребёнка будто бы предсказала Пифия в Дельфах, потому Пифагор и получил своё имя, которое значит « тот, о ком объявила Пифия ». В частности, Пифия сообщила Мнесарху , что Пифагор принесет столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесет в будущем никто другой. Поэтому, на радостях, Мнесарх дал жене новое имя Пифаида и дал имя ребенку Пифагор. Пифаида сопровождала мужа в его поездках, и Пифагор родился в Сидоне Финикийском (по Ямвлиху ) примерно в 580 до н.э.
По словам античных авторов Пифагор встретился чуть ли не со всеми известными мудрецами той эпохи, греками, персами, халдеями, египтянами, впитал в себя всё накопленное человечеством знание. В популярной литературе иногда приписывают Пифагору Олимпийскую победу в боксе, путая Пифагора-философа с его тёзкой (Пифагором, сыном Кратета с Самоса ), который одержал свою победу на 48-х Играх за 18 лет до рождения знаменитого философа. В юном возрасте Пифагор отправился в Египет, чтобы набраться мудрости и тайных знаний у египетских жрецов. Диоген и Порфирий пишут, что самосский тиран Поликрат снабдил Пифагора рекомендательным письмом к фараону Амасису , благодаря чему он был допущен к обучению и посвящён в таинства, запретные для прочих чужеземцев.
Ямвлих пишет, что Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбиз , завоевавший Египет в 525 до н.э.. В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком. У Пифагора была жена по имени Феано , сын Телавг и дочь. Жена Пифагора
Разногласия с тираном Поликратом вряд ли могли послужить причиной отъезда Пифагора, скорее ему требовалось возможность проповедовать свои идеи и, более того, претворять своё учение в жизнь, что затруднительно осуществить в Ионии и материковой Элладе, где жило много искушённых в вопросах философии и политики людей. Ямвлих сообщает : «Его философия распространилась, вся Эллада стала восхищаться им, и лучшие и мудрейшие приезжали к нему на Самос , желая слушать его учение. Сограждане, однако, принуждали его участвовать во всех посольствах и общественных делах. Пифагор чувствовал, как тяжело, подчиняясь законам отечества, одновременно заниматься философией, и видел, что все прежние философы прожили жизнь на чужбине. Обдумав всё это, отойдя от общественных дел и, как говорят некоторые, считая недостаточной невысокую оценку самосцами его учения, он уехал в Италию, считая своим отечеством страну, где больше способных к обучению людей.»
Пифагор поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии, где нашёл много последователей. Их привлекала не только оккультная философия, которую он убедительно излагал, но и предписываемый им образ жизни с элементами здорового аскетизма и строгой морали. Он проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа, достигнуть которого возможно там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей, и которым народ повинуется в чём-то безоговорочно, как дети родителям, а в остальном сознательно, подчиняясь нравственному авторитету.
Пифагор впервые открыл математическое правило, которому подчиняется физическое явление, и показал тем самым, что между математикой и физикой существует фундаментальная взаимосвязь. Со времени этого открытия ученые стали заниматься поиском математических правил, которым, судя по всему, подчиняется каждый физический процесс в отдельности, и обнаружили, что числа возникают во всех явлениях природы.
Помимо изучения соотношений между числами Пифагора интересовала взаимосвязь между числами и природой. Он понимал, что природные явления подчиняются законам, а эти законы описываются математическими соотношениями. Одним из первых открытий Пифагора стало фундаментальное соотношение между гармонией в музыке и гармонией чисел.
Пифагор понял, что всюду, от гармонии в музыке до планетных орбит, скрыты числа, и это открытие позволило ему сформулировать афоризм: «Все сущее есть Число». Постигая смысл и значение математики, Пифагор разрабатывал язык, который позволил бы и ему самому, и другим описывать природу Вселенной. С тех пор каждое существенное продвижение в математике давало ученым словарь, необходимый для лучшего объяснения явлений в окружающем мире. Не будет преувеличением сказать, что успехи математики порождали коренные сдвиги в естествознании.
Из всех взаимосвязей между числами и природой, изученных членами пифагорейского братства, наиболее важным стало соотношение, которое ныне носит имя основателя братства. Теорема Пифагора дает нам соотношение, которое выполняется для всех прямоугольных треугольников и, следовательно, определяет прямой угол. В свою очередь, прямой угол определяет перпендикуляр, т.е. отношение вертикали к горизонтали, а в конечном счете — отношение между тремя измерениями нашего мира. Математика — через прямой угол — определяет самую структуру пространства, в котором мы живем. Это очень глубокая мысль.
Ученики Пифагора образовали своего рода религиозный орден, или братство посвящённых, состоящий из касты отобранных единомышленников, буквально обожествляющих своего учителя и основателя. Этот орден фактически пришёл в Кротоне к власти, однако из-за антипифагорейских настроений в конце VI в. до н. э. Пифагору пришлось удалиться в другую греческую колонию Метапонт , где он и умер. Почти 450 лет спустя во времена Цицерона (I в. до н. э.) в Метапонте как одну из достопримечательностей показывали склеп Пифагора. Символическая гробница Пифагора в Кротоне
Карта личных связей Фалес 624-545 до н.э. Поликрат VI век до н.э. Геродот 484-425 до н.э. Иоганн Кеплер 1571-1630 Леонардо да Винчи 1452-1519 Альберт Эйнштейн 1879-1955 Евклид III век до н.э. Аристотель 384-322 до н.э. Ямвлих 240-320 Сократ 470-399 до н.э . Платон 427-347 до н.э . Гераклит VI-V века до н.э. Ученики Испытавшие влияние Писавшие о Пифагоре Современники
Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет Шамиссо: Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуяв ,вслед. Они не в силах свету помешать , А могут лишь закрыв глаза дрожать От страха, что вселил в них Пифагор.
Приведем различные формулировки теоремы Пифагора. В переводе с греческого, латинского и немецкого языков. -У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". Формулировки теоремы:
- Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит: "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол" . -В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так : "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу" . -В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол" .
Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два. Теорема доказана. Простейшее доказательство
Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата ,построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж; рассуждение здесь может быть ограничено единственным словом: "Смотри!", как это делалось в сочинениях древних индусских математиков. Следует, однако, заметить, что на самом деле доказательство нельзя считать полным, пока мы не доказали равенства всех соответствующих друг другу частей. Это почти всегда довольно не трудно сделать, однако может (особенно при большом количестве частей) потребовать довольно продолжительной работы. Доказательства методом разложения
Начнем с доказательства Эпштейна; его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF. Разложение на треугольники можно сделать и более наглядным, чем на рисунке. Доказательство Эпштейна
На рисунке вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена . Доказательство Нильсена .
На рисунке дано весьма наглядное разложение Бетхера Доказательство Бетхера .
В учебниках нередко встречается разложение указанное на рисунке (так называемое "колесо с лопастями"; это доказательство нашел Перигаль ). Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа. Доказательство Перигаля .
Изображенное на рисунке разложение принадлежит Гутхейлю ; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника. Доказательство Гутхейля .
На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты" . Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два различных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке. Доказательство 9 века н.э.
Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем . От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе. Ведь если в равенствах В-А=С и В1-А1=С1 часть А равновелика части А1 , а часть В равновелика В1 , то части С и С1 также равновелики. Поясним этот метод на примере. На рис. к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Доказательство методом дополнения
Познакомимся с другим доказательством методом вычитания. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие: Другое доказательство методом вычитания треугольники 1, 2, 3, 4; прямоугольник 5; прямоугольник 6 и квадрат 8; прямоугольник 7 и квадрат 9; Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на кататах . Этими частями будут: прямоугольники 6 и 7; прямоугольник 5; прямоугольник 1(заштрихован); прямоугольник 2(заштрихован); Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что: прямоугольник 5 равновелик самому себе; четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7; прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);; прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован);
Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия) , оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал". На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD РFBC = d + РABC = РABD Но SABD = 1/2 S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S FBC=1\2S ABFH (BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC, имеем SBJLD=SABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что SJCEL=SACKG. Итак, SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED, что и требовалось доказать. Доказательство Евклида
Как в доказательствах методом разложения, так и при доказательстве евклидового типа можно исходить из любого расположения квадратов. Иногда при этом удается достигнуть упрощений. Пусть квадрат,построенный на одном из катетов (на рисунке это квадрат,построенный на большем катете), расположен с той же стороны катета, что и сам треугольник. Тогда продолжение противоположной катету стороны этого квадрата проходит через вершину квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство в этом случае оказывается совсем простым, т. к. здесь достаточно сравнить площади интересующих нас фигур с площадью одного треугольника(он заштрихован) - площадь этого треугольника равна половине площади квадрата и одновременно половине площади прямоугольника Упрощенное доказательство Евклида
Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В). SCAA'=b²/2 SCBB'=a²/2 SA'AB'B=(a²+b²)/2 Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому : SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a²+b²=c ² Теорема доказана. Доказательство Хоукинсa .
Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для доказательства основанного на вычислении площадей двумя способами. Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями. S трапеции =( a+b )²/2 S трапеции =a²b²+c²/2 Сравнивая правые части получим: a²+b²=c ² Теорема доказана. Доказательство Вальдхейма .
В прямоугольном треугольника АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD; тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия(по двум углам). В самом деле, сразу видно что, кроме прямого угла, треугольники АВС и ACD имеют общий угол a , треугольники CBD и АВС - общий угол b . То, что малые треугольники также подобны друг другу, следует из того, что каждый из них подобен большому треугольнику. Впрочем, это можно установить и непосредственно. Доказательство основанное на теории подобия .
Доказательство изображено на рисунке. В пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!". Ученые считают, что он выражал площадь квадрата ,построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата ( a-b )². Следовательно: c²=4ab/2+( a-b )² c=2ab+a²-2ab+b² c²=a²+b ² Теорема доказана. Доказательство индийского математика Басхары :
Для того, чтобы доказать теорему о гиппократовых луночках, докажем следующее предложение: Если на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника построены какие угодно подобные между собой фигуры Fa , Fb , Fc , так, что катеты и гипотенуза являются сходственными отрезками этих фигур, то имеет место равенство: Fa+Fb=Fc . Для доказательства воспользуемся следующей теоремой из теории подобия: площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон . Если через Fa , Fb , Fc обозначить площади подобных многоугольников, построенных на катетах a , b и гипотенузе с прямоугольного треугольника, то согласно вспомогательной теореме можно написать: Fa / Fb / Fc=a ²/ b ²/ c ². Эта пропорция означает,что можно найти число k ( коэффицент пропорциональности) такое, что Fa=ka² Fb =kb² Fc =kc². . Умножив обе части равенства на k и принимая во внимание предыдущие равенства, получим: Fa+Fb=Fc . Если равенство Fa+Fb=Fc имеет место хотя бы для одной тройки подобных между собой многоугольников, построенных на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника АВС так, что АС, ВС и АВ есть сходственные отрезки этих многоугольников, то ka²+kb²=kc ² (где k имеет какое-то определенное значение, зависящее от выбора многоугольников, - нам совершенно не важно, какое именно). Но отсюда вытекает, что а²+b²=с ², а это влечет за собой тот факт,что равенство Fa+Fb=Fc выполняется для любых построенных на сторонах прямоугольного треугольника подобных многоугольников, в частности, и для квадратов. Луночки Гиппократа
Познакомимся с одним интересным предложением, которое встречается во многих учебниках геометрии под названием теоремы о Гиппократовых луночках . Гиппократ Хиосский (вторая половина пятого века до н. э., Афины) занимался квадратурой луночек. Он называл луночкой часть плоскости, ограниченную двумя дугами окружностей. Наше предложение в том виде, как оно будет здесь сформулировано, не встречается у самого Гипократа , который нашел квадратуру только для некоторых луночек. Во всей общности теорему доказал араб Ибн Альхаитам : "Если на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре описать полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, то она пройдет через вершину прямого угла." Эту теорему греки приписывали Фалесу Милетскому, но в действительности ее знали еще древние вавилоняне. Опишем две полуокружности на катетах так, как указано на рисунке, тогда получатся две луночки. Пусть Ка,Кв,Кс - площади полукругов, построенных на катетах и гипотенузе. Согласно теореме, рассмотренной ранее, имеем: Ка+Кb=Кс . Этот же результат можно получить, умножив обе части равенства А²+В²=С² на π /8. В самом деле, равенство (π/8 )А+( π /8)В=( π /8)С означает, что площадь полукруга С диаметром с равна сумме площадей двух других полукругов, с диаметрами a и b . Если мы отнимем те же части(на рисунке они не заштрихованы )как от полукруга, построенного на гипотенузе, так и от полукругов, построенных на катетах, то, вследствие только что доказанной теоремы, получим, что сумма площадей луночек равна площади треугольника.
Гиппократ Хиосский (вторая половина пятого века до н. э., Афины) занимался квадратурой луночек. Он называл луночкой часть плоскости, ограниченную двумя дугами окружностей. Наше предложение в том виде, как оно будет здесь сформулировано, не встречается у самого Гипократа , который нашел квадратуру только для некоторых луночек. Во всей общности теорему доказал араб Ибн Альхаитам : "Если на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре описать полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, то она пройдет через вершину прямого угла." Эту теорему греки приписывали Фалесу Милетскому, но в действительности ее знали еще древние вавилоняне.Опишем две полуокружности на катетах так, как указано на рисунке, тогда получатся две луночки. Пусть Ка,Кв,Кс - площади полукругов, построенных на катетах и гипотенузе. Согласно теореме, рассмотренной ранее, имеем:Ка+Кb=Кс.Этот же результат можно получить, умножив обе части равенстваА²+В²=С ² на π /8. В самом деле, равенство( π /8)А+( π /8)В=( π /8) Созначает,что площадь полукруга С диаметром с равна сумме площадей двух других полукругов, с диаметрами a и b . Если мы отнимем те же части(на рисунке они не заштрихованы )как от полукруга,построенного на гипотенузе, так и от полукругов, построенных на катетах, то, вследствие только что доказанной теоремы, получим, что сумма площадей луночек равна площади треугольника. Векторное док-во Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство:b+c=aоткуда имеемc = a - bвозводя обе части в квадрат, получимc²=a²+b²-2abТак как a перпендикулярно b , то ab=0, откудаc²=a²+b ² или c²=a²+b²Нами снова доказана теорема Пифагора.Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н. теорему косинусов , обобщающую теорему Пифагора. Векторное доказательство
Простейшее доказательство; Векторное доказательство; Луночки Гиппократа; Доказательство индийского математика Басхары ; Доказательство основанное на теории подобия; Доказательство Вальдхейма ; Доказательство Хоукинса ; Доказательство Евклида; Упрощенное доказательство Евклида; Доказательство методом вычитания; Доказательство методом дополнения; Доказательство 9 века н.э.; Доказательство Гутхейля ; Доказательство Перигаля ; Доказательство Бетхера ; Доказательство Нильсена ; Доказательство Эпштейна. Доказательство методом разложения Методы доказательства теоремы:
Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы - это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости. Применение теоремы.
Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом, d=2a, откуда : d=2a². Применение теоремы
Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому,как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем: d²=a²+b²
Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. Таким образом имеем: a =h+(a/2), или h =(3/4)a. Отсюда вытекает h=1/2 3a.
Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией. На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d , являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат рабро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали равна 2а). Отсюда имеем d=a+ (2a), d=3a, d=3a. Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a , b , с и получить для диагонали выражение d = a + b + c .
Исследуем пирамиду , например, такую, в основании которой лежит квадрат и высота которой проходит через центр этого квадрата (правильную пирамиду). Пусть сторона квадрата - а, и высота пирамиды - h . Найдем s (длину боковых ребер пирамиды). Ребра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов - высота h , а другой - половина диагонали квадрата равна (1/2*2a). Вследствие этого имеем: s=h+ (1/2) a . Затем можем вычислить высоту h1 боковых граней. h1= h+ (1/4) a .
В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна ( b ) для наружных дуг половине ширины, ( b /2) для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b /2 и, следовательно, радиус равен b /4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b /4+p, один катет равен b /4, а другой b /2-p. По теореме Пифагора имеем: ( b /4+p)=( b /4)+( b /4-p) или b /16+ bp /2+p=b/16+b/4-bp+p, откуда bp /2=b/4-bp. Разделив на b и приводя подобные члены, получим: ( 3/2) p=b /4, p=b /6.
В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались искусственными) и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора . Неизвестно , как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.
Физик пытается решить задачу экспериментально и, перепробовав с дюжину различных вариантов размещения домино на шахматной доске обнаруживает, что все они заканчиваются неудачей. В конце концов физик приходит к убеждению, что в его распоряжении достаточно данных, позволяющих утверждать, что покрыть шахматную доску с двумя выпиленными по диагонали угловыми полями невозможно. Однако физик не может быть до конца уверен в том, что это действительно так, потому что может найтись некоторое расположение домино на шахматной доске, которое не было им экспериментально обнаружено, но именно оно и дает решение задачи. Различных же вариантов расположения домино существует не один миллион, и экспериментально проверить всегда можно лишь малую их толику. Что же касается заключения задачи, то это — теория, основанная на эксперименте, и физику не остается ничего другого, как жить под угрозой, что в один «прекрасный» день эта теория может оказаться отвергнутой. Физический подход
Математик стремится решить задачу, выстраивая цепочку логических аргументов, приводящую к заключению, вне всяких сомнений правильному и остающемуся безупречным навсегда. Одна из таких цепочек логических аргументов выглядит следующим образом. Оба угловых поля, выпиленные из доски, — белые. Следовательно на доске остались 32 черных поля и только 30 белых поля. Каждое домино покрывает два смежных поля, а смежные поля всегда отличаются по цвету, т.е. одно поле черное, а другое — белое. Следовательно, независимо от расположения домино на шахматной доске, первые 30 костей, выложенных на доску, должны покрыть 30 белых и 30 черных полей. Это означает, что при любом раскладе всегда останется одна домино и два непокрытых черных поля. Но любая кость домино покрывает на шахматной доске два смежных поля, а смежные поля всегда отличаются по цвету. Два оставшихся непокрытыми поля одного цвета, и поэтому накрыть их одной костью домино невозможно. Следовательно, покрыть эту доску 31 костью домино невозможно! Математический подход
Суть философии Гераклита выражает формула «все течет, все изменяется». Гераклит оставил после себя немало ярких афоризмов, например: «Путь вверх – вниз – один и тот же», «собаки на того и лают, кого они не знают», «сопряжения: целое и нецелое, сходящееся – расходящееся, созвучное – несозвучное, из всего – одно, из одного - все», «бессмертные смертны, смертные бессмертны, живут за счет смерти других, за счет жизни других умирают», «не будем наобум гадать о величайшем», «если они боги, зачем вы их оплакиваете?» Гераклит Эфесский
Афинянин Сократ – один из великих философов не написавший не строчки. «Я знаю, что ничего не знаю» . Афинский любомудр Сократ (470 -399 до н.э.)
Архит создал самобытную теорию пропорций, а также занимался дальнейшей разработкой Пифагоровой теории музыки. Он оказался способным инженером, в частности, конструировал игрушки – в том числе деревянного голубя, способного летать. Архит получил известность не только как математик, но и как крупный политический деятель. Несмотря на то, что по закону возглавлять войско можно было лишь единожды на годичный срок, он избирался на этот пост семь раз и не проиграл при этом ни одного сражения. Последний великий пифагореец Архит Тарентский
Древнегреческий философ-идеалист. Ученик Сократа, основал в Афинах школу. Идеи (высшая среди них — идея блага) — вечные и неизменные умопостигаемые прообразы вещей, всего преходящего и изменчивого бытия; вещи — подобие и отражение идей. Познание есть — воспоминание души об идеях, которые она созерцала до ее соединения с телом. Любовь к идее (Эрос) — побудительная причина духовного восхождения. Идеальное государство — иерархия трех сословий: правители-мудрецы, воины и чиновники, крестьяне и ремесленники. Платон интенсивно разрабатывал диалектику и наметил развитую неоплатонизмом схему основных ступеней бытия. В истории философии восприятие Платона менялось: «божественный учитель» (античность); предтеча христианского мировоззрения (средние века); философ идеальной любви и политический утопист (эпоха Возрождения). Сочинения Платона — высокохудожественные диалоги; важнейшие из них: «Апология Сократа», « Федон », «Пир», «Федр» (учение об идеях), «Государство», « Теэтет » (теория познания), « Парменид » и «Софист» (диалектика категорий), « Тимей » (натурфилософия). Поклонник Пифагора Платон ( 427 – 347 до н. э .)
Ямвлих , ученый, живший в IV веке и написавший девять книг о пифагорейском братстве, рассказывает о том, как Пифагор пришел к открытию принципов, лежащих в основе музыкальной гармонии. «Однажды Пифагор был глубоко погружен в размышления о том, как бы изобрести механическое устройство для слуха, которое было бы надежным и незамысловатым. Такое устройство было бы подобно циркулям, линейкам и оптическим инструментам, измышленным для зрения... Божественная удача распорядилась так, что Пифагор проходил как-то раз мимо кузницы, в которой работали кузнецы, и услышал удары молотков о железо, производивших во всех комбинациях, кроме одной, разнообразные гармонические звуки». Философ – неоплатоник Ямвлих
Аристотель, древнегреческий философ и ученый, родился в 384 г. до н. э. в Стагире (греческая колония), в семье придворного врача. Отец сам обучал мальчика медицине и философии, (в то время понятия неразделимые). Рано потеряв родителей, он отправился сначала в Атарней (Малая Азия) затем — в Афины, где прожил 20 лет. Там, под влиянием лекций и сочинений Платона, очень скоро основал собственную философскую школу, враждебную академии Платона. В 343 г. до н. э. по приглашению македонского царя Филиппа II Аристотель становится учителем молодого наследника престола, 13-летнего царевича Александра — будущего Александра Македонского. Аристотель оказал огромное влияние на молодого царевича, утверждавшего: «От отца я получил жизнь, а от него научился прекрасно и правильно жить!» Александр помогал учителю в естественнонаучных исследованиях, подарил ему 800 000 талантов, отдал в его распоряжение несколько тысяч человек для отбора образцов животных, послуживших материалом для знаменитой «Истории животных». В 334 г. Аристотель переехал в Афины и основал там свою школу — Лицей. Утренние часы он посвящал научным занятиям с ближайшими учениками, затем читал экзотерические лекции для всех, кто желал его слушать. После смерти Александра Македонского, обвиненный в безбожии, 62-летний Аристотель покинул Афины. По его словам, чтобы избавить афинян от нового преступления против философии (явный намек на смерть Сократа). Аристотель переселился в Халкис на Эвбее , куда за ним последовало множество учеников. Спустя несколько месяцев умер от болезни желудка в 322 г. до н. э. АРИСТОТЕЛЬ (384-322 до н. э.)
Древнегреческий тиран на острове Самос (приблизительно с 540). При нём произошло политическое объединение полиса Самос . Владелец мастерской бронзовых изделий, Поликрат проводил внешнюю и внутреннюю политику в интересах торгово-ремесленных слоев демоса (государственная чеканка монеты, большие строительные работы, создание военно-торгового флота и сухопутной армии, борьба с городами Малой Азии и островами Эгейского моря за торговые пути, заключение союзов с Афинами, Наксосом , Киренаикой и др.) Поликрат (г. рождения неизвестен — умер около 523 или 522 до н. э.)
Геродот, древнегреческий историк, родился в Гёликарнасе около 484 г. до н. э. Жил в Афинах, много путешествовал: побывал в Персии, Египте, Ливии, Сирии, Вавилонии , Византии, Фракии и Македонии, добрался даже до Скифии и дальше на восток по берегам Черного моря до реки Дон. В «Истории» описал войны между Грецией и Персией (499—479 гг. до н. э.) и все, что этим войнам предшествовало и сопутствовало. Поначалу планировал написать только историю греко-персидских войн, но позже сосредоточился на описании Персидской Империи. Он хотел понять причины превосходства вторгшихся сил персов над греками, Геродота поразила огромная территория Персидской Империи, но особенно многонациональность и многоязычность персидской армии. Армия имела единое командование, тогда как греческие силы отвлекались на политические разногласия и постоянные споры полководцев. Этими отличиями Геродот объясняет и структуру империи персов. Самое позднее событие, описанное им в «Истории», датируется 430 г. до н. э. Дата смерти неизвестна. ГЕРОДОТ
Леонардо да Винчи Леонардо да Винчи - сын флорентийского нотариуса и крестьянки. Родился 15 апреля 1452 года в городе Винчи, в провинции Тоскана в Италии. Обучался в мастерской Верроккьо во Флоренции. Первое наиболее значительное, но оставшееся незаконченным произведение - «Поклонение волхвов» (Галерея Уффици, Флоренция). С 1481 до 1499 год состоял на службе герцога Лодовико Моро, занимался вопросами гидротехники, организацией придворных фейерий. В миланский период в трапезной монастыря Санта-Мария делле Грацие выполнил стенную роспись «Тайная вечеря» (1495-1497.). Из-за особенностей примененной им техники - масло с темперой - это произведение считают вершиной европейского искусства, сохранилось в сильно поврежденном виде. До 1506 года Леонардо да Винчи работал во Флоренции. В портрете Монны Лизы («Джоконда», около 1503) воплотил возвышенный идеал женственности и обаяния. Важным компонентом картины является пейзаж, как бы тающий в холодной голубой дымке. К поздним произведениям Леонардо да Винчи принадлежат «Святая Анна с Марией и младенцем Христом» (1500-1507), «Иоан Креститель» (1513-1517) и другие. В 1516 году по приглашению Франциска I уехал во Францию, где скончался. Около семи тысяч страниц сохранившихся рукописей Леонардо да Винчи содержат его мысли по различным вопросам искусства, науки и техники. Из этих записей был составлен позже «Трактат о живописи», в котором изложены сведения о пропорциях. Леонардо да Винчи является ярчайшим представителем нового, основанного на эксперименте, естествознания. Он изучал не только существующие в его время машины, но и обращался к механике древних. Как ученый-практик Леонардо да Винчи обогатил почти все отрасли знаний глубокими наблюдениями и проницательными догадками. Проверяя свои предположения и расчеты опытом, Леонардо впервые в области механики сделал попытки определить экспериментальным путем коэффициенты трения и скольжения, исследовать явление удара, сопротивление различных материалов, падение тел и траекторию горизонтально брошенного тела. Он является первым ученым, сформулировавшим закон сложения сил, выполнившим оригинальные исследования центров тяжести полукруга и тетраэдра.
"Человек столетия" Журнал Time назвал "человеком столетия" Альберта Эйнштейна. Этот легендарный физик, теории которого о времени, пространстве и материи помогли раскрыть секреты атома и Вселенной, далеко обошел в опросах читателей журнала Time всех остальным претендентов, сообщает Reuters . По сложившейся традиции, в конце декабря журнал ежегодно называет самую известную фигуру года. На этот раз Time подвел итоги уходящего века, опубликовав на обложке портрет человека, внесшего наибольший вклад в развитие человечества за последние 100 лет. Этой личностью, убеждены читатели Time , является родившийся в 1879 году и ставший в 1921 году лауреатом Нобелевской премии физик Альберт Энштейн . По мнению сотрудников Time , двадцатый век запомнится людям главным образом стремительным развитием науки и техники. В основу этого развития легли теории великого физика. Time утверждает, что имя Эйнштейна стало синонимом человеческого гения. Судя по результатам опроса, большинство читателей журнала разделяют это мнение. Двумя другими кандидатурами на звание "человека столетия" были названы президент США Франклин Делано Рузвельт и индийский философ, общественный деятель и приверженец теории ненасилия Махатма Ганди. Альберт Эйнштейн (14.03.1879-18.04.1955)
Древнегреческий философ и математик из Милета (Малая Азия). Представитель ионической натурфилософии и основатель милетской (ионийской) школы, с которой начинается история европейской науки. Именем Фалеса названа геометрическая теорема. Считается, что Фалес первый разбил небесную сферу на пять зон: арктический всегда видимый пояс, летний тропик, небесный экватор, зимний тропик, антарктический невидимый пояс. (То же самое, однако, утверждается и об Энопиде, и о Пифагоре; по свидетельству Ямвлиха Фалес склонил Пифагора плыть в Египет и войти в контакт с жрецами 624 — 545 до н. э. Фалес
Биографические данные о Евклиде крайне скудны. К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в Комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида. В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». Евклид III век до н. э.
Иоганн Кеплер (Jоhаnn Kepler) — один из величайших астрономов всех веков и народов, основатель современной теоретической астрономии. Потребности астрономии стимулировали дальнейшее развитие вычислительных средств математики и их популяризации. В 1615 году Иоганн Кеплер выпустил сравнительно небольшую по объему, но весьма емкую по содержанию книгу — «Новая стереометрия винных бочек», в которой продолжил разработку своих интеграционных методов и применил их для нахождения объемов более чем 90 тел вращения, подчас довольно сложных. Там же им были рассмотрены и экстремальные задачи, что подводило уже к другому разделу математики бесконечно малых — дифференциальному исчислению. Иоганн Кеплер (1571-1630)
Спасибо за внимание!
Человек несгибаем. В.А. Сухомлинский
Что общего у травы и собаки?
Фокус-покус! Раз, два,три!
Лепесток и цветок
Соленая снежинка