Применение подобия к решению задач

Слайд 1

Слайд 2

Работу выполнил ученик 9 б класса Нуруллаев Рубин

Слайд 3

Цель работы: изучить «метод подобия» при решении геометрических задач

Слайд 4

ЗАДАЧИ изучить признаки подобия треугольников; развивать умение применять теоретический материал при решении практических задач; формировать умение определять признаки подобия треугольников при решении геометрических задач; закрепить полученные теоретические знания на практике; развить интерес к науке и технике через поиск примеров применения данной темы в жизни; расширить математический кругозор и изучить новые подходы к решению задач; приобрести навыки исследовательской работы.

Слайд 5

Значимость и актуальность работы: * В нашей жизни встречается много предметов, подобных друг другу. Важно знать, какими соотношениями обладают они. * Понятия отношений и пропорциональности отрезков, площадей и других величин используются в архитектуре. * Требования удобства, эстетики, техники и экономичности при возведении зданий и сооружений вызвали возникновение и развитие этих понятий.

Слайд 6

Изучая геометрию, я понял, что тема «Подобные треугольники» является одной из самых актуальных, обширных и распространенных в геометрии. Много теорем, следствий рассматривает этот раздел. Изучив весь материал глубже, мы сможем решить любую задачу разного уровня различными способами.

Слайд 7

НАША ГИПОТЕЗА Идея подобия треугольников – это эффективный метод решения большого класса задач на доказательство, построение, вычисление. Решение элементарных задач на геометрические преобразования – хороший материал для развития пространственного воображения учащихся.

Слайд 8

Методы исследования: Исследование литературы по теме. Проведение поиска олимпиадных и экзаменационных задач по теме.

Слайд 9

ВСТУПЛЕНИЕ В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров . В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными.

Слайд 10

ИЗ ИСТОРИИ ПОДОБИЯ Отношение и пропорциональность отрезков Идея отношения и Пропорции зародилась в глубокой древности. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса и знаменитых пирамид в Гизе ( III тысячелетие до н. э.), вавилонские зиккураты (ступенчатые культовые башни), персидские Дворцы, Индийские и другие Памятники древности. В том числе особенности архитектуры, требования Удобства, Эстетики, техники и экономичности при возведении зданий и сооружений, вызвали возникновение и развитие понятий отношения и пропорциональности отрезков, площадей и других величин.

Слайд 11

В «Московском» папирусе при рассмотрении отношения большего катета к меньшему в одной из задач на прямоугольный треугольник применяется специальный знак для понятия «отношение». В «Началах» Евклида учение об отношениях излагается дважды . В V книге излагается общая теория отношений и пропорций, разработанная Евдоксом . Она лежит в основе учения о подобии фигур, изложенного в VI книге «Начал». В VII книге содержится арифметическая теория. Она относится только к соизмеримым величинам и к целым числам. Эта теория создана на основе практики действия с дробями. Евклид применяет ее для исследования свойств целых чисел.

Слайд 12

О делении отрезка в данном отношении В VI книге «Начал» Евклид так решает задачу о делении отрезка в данном отношении. Задача 18. «Пусть (рис. 1) требуется рассечь отрезок | A В | в отношении, представленном данными тремя отрезками». Решение . Строим угол ВАС и откладываем на стороне | A С | данные три отрезка: | AD |, | DE |, | EC |. Соединив С и В , проведем через точки Е и D отрезки | ЕН | и | DJ | , параллельные | ВС | . На основе теоремы о пропорциональности отрезков, образующихся на прямых, пересеченных параллельными прямыми, получаем: | AJ | : | JH | : | НВ | = | AD | : | DE | : | E С |. (Рис.1)

Слайд 13

Симон Стевин дал следующий способ деления отрезка АВ на равные части (рис. 2) На прямой ( MN ), параллельной ( АВ ), откладываем заданное число, допустим шесть равных между собой отрезков: | MD | = | DF | = | FH | = | HK | = | KL | = | LN | . Соединим М с A , N с В и продолжим до пересечения в точке Р. Теперь соединяем точку Р с D , F , H , K , L . В пересечении прямых соединения с отрезком | АВ | и получим искомые точки деления: D `, F `, H `, K `, L `. (Рис.2)

Слайд 14

ИЗУЧЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ПОДОБИЯ В ГЕОМЕТРИИ В школьном курсе геометрии не меньшую роль при доказательстве теорем и решении задач играют признаки подобия треугольников.

Слайд 15

Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. ∆ ABC ~ ∆ A 1 B 1 C 1 / А = / A 1 , / B = / B 1 , / С = / С 1 АВ : А 1 В 1 = ВС : В 1 С 1 = АС : А 1 С 1 = k Число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

Слайд 16

ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ A C B A 1 B 1 C 1 Если / А = / А 1 , / B = / B 1 , то ABC подобен A 1 B 1 C 1

Слайд 17

ВТОРОЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ Если AB : A 1 B 1 = AC : A 1 C 1 , / А = / А 1 , то ABC подобен A 1 B 1 C 1 B A C A 1 B 1 C 1

Слайд 18

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ Если АВ : А 1 В 1 = ВС : В 1 С 1 = АС : А 1 С 1 , то АВС подобен А 1 В 1 С 1 В С А 1 В 1 С 1 A

Слайд 19

Олимпиадные задачи Задача 1. Прямоугольный треугольник АВС с катетами АС = 3, ВС = 2 вписан в квадрат. Известно, что вершина А совпадает с вершиной квадрата, а вершины В и С лежат на сторонах квадрата, не содержащих точку А . Найти площадь квадрата.

Слайд 20

Решение: В силу равенства отмеченных углов (рис.1) треугольник ACD подобен треугольнику CBE . C ледовательно , Пусть AD = x , тогда DC = . Так как AD ² + DC ² = AC ², то x ² + = 9, x ² = Таким образом, S квадрата равна . Ответ: S =

Слайд 21

Задача 2. На сторонах BC и CD квадрата ABCD выбраны соответственно точки E и F так, что К – точка пересечения отрезков BF и AE . Найти отношение КЕ : АК . Решение: Из подобия треугольников AKB , BKE и ABE следует . Перемножив равенства и , получим Ответ:

Слайд 22

Задача 3. Расстояния от точки пересечения диагоналей равнобокой трапеции до середин её сторон равны 2 см, 1 см и 2 см соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Слайд 23

Решение: Радиус окружности, описанной около трапеции, найдём как радиус окружности, описанной около Δ ACD . Точки F , N , М – середины отрезков ВС , CD , AD соответственно. Тогда по условию, FO = 1, ON = OM = 2. Треугольники ВОС и AOD подобны, а потому А O = 2 O С . Построим DK // ON , тогда АК = КО = ОС и KD = 4. KD – медиана Δ AOD , ОМ – серединный перпендикуляр к AD и медиана Δ AOD . Точка Т – точка пересечения медиан Δ ACD делит медиану DK на отрезки: 8/3 и 4/3, делит медиану ОМ на отрезки: 4/3 и 2/3. Пусть L – середина ОК , тогда L – середина АС . Треугольник КТО - равнобедренный, т. к. ОТ = КТ = 4/3 и LT является серединным перпендикуляром к отрезку АС . Следовательно, точка Т является центром окружности, описанной около Δ ACD , радиус которой равен 8/3. Ответ: 8/3.

Слайд 24

Задача 4. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки М и N так, что ВМ = MN = NC . Отрезки ММ 1 и NN 1 – биссектрисы треугольника AMN . Докажите, что M 1 N 1 // ВС .

Слайд 25

Решение: Угол MNA – внешний для равнобедренного треугольника MNC , поэтому угол MNA = NMC + NCM = 2 NCM . Так как NN 1 – биссектриса, то угол ANN 1 = 1/2 MNA = NCM . Получим, что Δ ANN 1 подобен Δ АСМ по двум углам (угол А - общий). Следовательно, AN 1 / AN = AM / AC . (1) Проводя аналогичные рассуждения, из подобия треугольников АММ 1 и ABN получим AM 1 / AN = АМ / АВ . (2) Поделив равенство (1) на (2), получим AN 1 / AM 1 = АВ/АС, и т.к. угол А – общий для треугольников AN 1 M 1 и ABC , то они подобны. Значит, угол AN 1 M 1 равен углу АВС . Следовательно, M 1 N 1 // СВ , ч. т. д.

Слайд 26

Экзаменационные задачи Задача 1. В прямоугольном треугольнике ABC угол С равен 90°, CD – высота, а один из катетов вдвое больше другого. В треугольниках ACD и BCD проведены биссектрисы DK и DP соответственно. Найдите площадь треугольника ABC , если КР = 4. Решение: Отметим подобные треугольники: ABC , ADC и BDC . Из подобия: AD / CD = CD / DB = AC / BC = ½. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника, AK / KC = AD / CD = 1/2; отсюда КС = 2/3∙ АС ; СР = 1/3∙ СВ = 2/3∙ АС ; СР = КС ; треугольник КСР – равнобедренный, прямоугольный. Отсюда КС = 4√2/2 = 2√2; АС = 3/2∙ КС = 3√2; СР = 2∙ АС = 6√2; S = ½ ∙ A С ∙ CB = ½ ∙3√2∙6√2 = 18. Ответ: S = 18

Слайд 27

Задача 2. В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые к основанию и к боковой стороне, равны соответственно 10 и 12 см. Найти длину основания. Решение: В треугольнике ABC имеем АВ = ВС , прямая BD перпендикулярна АС , АЕ перпендикулярна ВС , BD = 10 см и АЕ =12 см. Пусть АС = х , АВ = ВС = у . Прямоугольные треугольники АЕС и BDC подобны (угол С – общий); следовательно, ВС / АС = BD / AE , или у / х = 10/12 = 5/6. Применяя теорему Пифагора к треугольнику BDC , имеем ВС 2 = BD 2 + DC 2 , т. е. у 2 = 100 + х 2 /4. Решив систему уравнений у / х = 5/6, у 2 = 100 + х 2 /4, получим х =15. Ответ: 15

Слайд 28

Задача 3. Длина основания треугольника равна 36 см. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найти длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника. Решение: Обозначим искомую длину через х . Тогда из подобия треугольников ABC и LBM имеем АС 2 / х 2 = S /(0,5∙ S ), где S –площадь треугольника ABC . Отсюда АС 2 =2 х 2 и х = 18√2( cm ). Ответ:18 √2 cm .

Слайд 29

Задача 4. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найти сторону треугольника, если радиус малой окружности равен r . Решение: Пусть а – сторона треугольника, R – радиус вписанной в него окружности; тогда R = а √3/6. Проведём радиусы ОМ и O 1 К в точки касания. Из подобия треугольников АОМ и AO 1 K имеем R / r = AO /( AO - R - r ). Отсюда, учитывая, что АО = а √3/3, получим a √3/(6 r ) = a √3/(3( a √3/3 - a √3/6 - r )), a = 6 r √3. Ответ: a = 6 r √3.

Слайд 30

Задачи на подобие треугольников Треугольники ABC и MNK подобны. Их сходственные стороны относятся как 8:5. Площадь треугольника ABC больше площади треугольника MNK на 25 кв.см. Найдите площади треугольников. (Ответ: 16 1 /39 и 41 1/ 39 см 2 ). В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AC проведена высота BD , BC =2см, AD =3см. Найдите DC , BD , AB . (Ответ: DC = 1см, BD = √3 см, AB = 2√ 3 см). Основания трапеции равны 8 и 12 см. Боковые стороны, равные 4,5 см и 5,2 см, продолжены до пересечения в точке M . Найдите расстояния от точки M до концов меньшего основания. (Ответ: 9 и 10 , 4 см). В прямоугольном треугольнике с углом 30  и меньшим катетом 6 см проведены средние линии. Найдите периметр треугольника, образованного средними линиями. (Ответ: 9 + 3√3 (см)). На сторонах AB , BC , AC треугольника ABC отмечены точки D , E , P соответственно, AB =9см, AD =3см, AP =6см, DP =4см, BE =8см, DE =12см. а) Найдите отношение площадей треугольников DBE и ADP ; (Ответ: 4) б) Докажите, что DE и AC параллельны. (Решение: Рассмотреть соответственно равные углы треугольников DBE и DAP . Равные углы BDE и DAP являются соответственными при параллельных прямых DE и AP и секущей AB . Следовательно прямые DE и AC параллельны).

Слайд 31

Задачи на подобие треугольников Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O так, что OC =5см, OB =6см, OA =15см, OD =18см. а) Найдите отношение площадей треугольников AOD и BOC ; (Ответ: 9) б) Докажите, что четырехугольник ABCD – трапеция. (Решение: Равные углы OBC и ODA подобных треугольников BOC и AOD являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей BD . Следовательно прямые BC и AD параллельны, и четырехугольник ABCD является трапецией). Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, относятся как 2:4. Чему равна меньшая сторона параллелограмма, если периметр равен 90 см? (Ответ: 15 см). Две сходственные стороны подобных треугольников равны 5 см и 6 см. Разность площадей этих треугольников 22 кв.см. Чему равна площадь меньшего треугольника? (50 см 2 ) Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 5см и 12см. К гипотенузе в ее середине восставлен перпендикуляр OD , пересекающий продолжение меньшего катета в точке D . Чему равна длина отрезка CD ? (Ответ: 11 , 9 см) В прямоугольном треугольнике ABC (  C =90  ) проведен перпендикуляр CD . Чему равна гипотенуза треугольника ABC , если CD =6см, AD =4,5см? (Ответ: 12, 5 см).

Слайд 32

Задачи с практическим содержанием Открытый участок дороги находится в полосе шириной АВ=50 м. Наблюдательный пункт находится на колокольне высотой MN =22 м. Какой высоты нужно сделать вертикальную маску КВ на расстоянии 550 м от колокольни, чтобы закрыть дорогу от наблюдателя? ∆ MNA ~ ∆ KBA , следовательно, MN : KB = NA : AB , откуда KB = MN ∙ AB : NA= 22 ∙ 50 : 550 , т . е KB = 2 м A B K M N

Слайд 33

Задачи с практическим содержанием Теннисный мяч подан с высоты 2 м 10 см и пролетел над сеткой, высота которой 90 см. На каком расстоянии от сетки мяч ударится о землю, если он подан от черты, находящейся в 12 м от сетки, и летит по прямой? ∆ ABC ~ ∆ DKC , следовательно, АВ : DK = AC : DC , т.е 2, 1 : 0, 9 = (12 + x ) : x , откуда DC = 9 см B K C A D

Слайд 34

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате работы я повторил весь школьный материал по данной теме, изучил другие подходы к ней по дополнительным источникам, р азобрал решения задач различного уровня сложности, решаемые методом подобия .

Слайд 35

Спасибо за внимание!!!