Исследовательская работа по математике « Проценты в жизни человека»

Исследовательская работа

по математике

« Проценты в жизни человека»

                                Выполнила

                                      ученица 8 Б класса АСОШ № 1

                                 Желенкова Анастасия Андреевна

                                                                                        Руководитель:

                                                                                        учитель математики

                                                                                        первой категории

                                                                                             Ханчич Светлана Владимировна

Содержание

Введение.

1. Из истории происхождения процентов

2. Решение задач на проценты разными способами

3. Решение задач на сложные проценты

4. Применение процентов в жизни

4.1 Исследование бюджета семьи

4.2 Расчёт прибыли при размещении средств  в ОАО «Россельхозбанке»

4.3 Расчёт выплат по «Потребительскому кредиту» в Сбербанке

Заключение.

Список литературы.

Введение.

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как  сфера практического приложения процентных расчётов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодное вложение денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

     Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как  экономичность, расчётливость.

    Проанализировав программу средней школы по математике, пришла к выводу, что по существующим программам решение задач на проценты предусмотрено в основном в 5-6 классах, а в последующих классах данной теме отдана незначительная часть учебного времени. Поэтому я сделала подборку задач из ГИА – 9 классов и решила их , так как мне на следующий год сдавать экзамен по математике и из ЕГЭ – 11 классов на банковские проценты, где применяется формула сложных процентов.

 Цель исследовательской работы

Расширение знаний о применении процентных вычислений в задачах и из разных сфер жизни человека;

Задачи:

Познакомиться с историей возникновения процентов;

Решать задачи на проценты разными способами;

Сделать подборку задач из ГИА – 9 кл., ЕГЭ -11кл., решаемые по формуле сложных процентов;

Исследовать бюджет семьи, рассмотреть примеры вкладов и виды кредитов, предлагаемые банками нашего города.  

Научиться составлять различные диаграммы и таблицы;

Поработать в текстовом редакторе;

Поработать с ресурсами Internet;

1. Из истории происхождения процентов.   

   Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально переводится «за сотню», или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

       Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в  1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий в том числе – особой записи десятичных дробей.

     Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Нынче процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

  Знак % произошёл благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменялось словом «cento» (сто) и  писали сокращённо – cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик  вместо cto набрал %. После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание.

2. Решение задач на проценты разными способами.

При решении задач на проценты в 5 - 6 классах применяют следующие правила:

Нахождение процентов от числа:

Чтобы найти проценты от числа нужно, проценты превратить в десятичную дробь и умножить на это число.

Нахождение числа по его процентам:

Чтобы найти число по его процентам нужно, проценты превратить в десятичную дробь и число разделить на эту дробь.

Нахождение процентного отношения чисел:

Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100.

Задачи с процентами можно решить разными способами: уравнением, составлением таблицы, применяя пропорцию, по действиям, используя правила.

Некоторые из них:

Задача 1. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда

грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов

после подсушивания?

Решение.

 Так как влажность грибов составляет 99%, это означает, что на так

называемое «сухое вещество приходится 1% грибов, т.е. 1 кг, после сушки

влажность составляет 98%, т.е. на «сухое вещество» приходится 2%, т.е. 1кг это

0,02 подсушенных грибов, 1 кг : 0,02=50 кг.

Ответ. 50 кг

Задача 2.. Вода при замерзании увеличивается на 1/9 своего объёма. На сколько процентов своего объёма уменьшится лёд при превращении в воду?

Решение.

Если V – объем воды, то (1 + 1/9) х V = 10/9 х V – объём льда.

                                      объём льда – объём воды

Искомое решение =     ________________________  х 100 %;

                                                     объём льда

подставив необходимые величины, получим, что объём льда уменьшится на 10%.

Ответ: на 10 %.

 Задача3. Если первую цифру двузначного числа увеличить на 25 %, то получим его вторую цифру, а если вторую цифру этого двузначного числа уменьшить на 20 %, то получим первую цифру. Найдите это двузначное число.

Решение.

Пусть а – первая цифра двузначного числа;

            b – вторая цифра двузначного числа.

Имеем систему уравнений:

1,25a = b;

0,8b = a,

учитывая, что а, b – цифры, получим, что а = 4 и b = 5.

Ответ: Искомое двузначное число – 45.

Задача 4 . В течение января цена на яблоки выросла на 30%, а в течение февраля – на 20%. На сколько процентов поднялась цена за 2 месяца?

Решение.

Утверждать, что цена выросла на 50%, нельзя, поскольку «первые» 30% подсчитываются от цены в конце декабря, а «вторые» 20% - от другой величины, цены на конец января.

Потом будем рассуждать последовательно, обозначив для удобства первоначальную цену S. В конце января она стала равна 1,3S, а в конце февраля – 1,2 * (1,3S) = 1,56S. Следовательно, она выросла на 56%.

Решение можно  записать так:

Пусть S – первоначальная цена.

1)1,3S – цена в конце января (130% от S).

2)1,2 * (1,3S) = 1,56S – цена в конце февраля (120% от 1,3S).

3)1,56S составляет 156% от S.

    156% - 100% = 56%

Ответ: за 2 месяца цена выросла на 56%.

Задача 5.

 В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна

Решение.

Пусть Х – объем воды, который должен поступить за время Т при притоке А в единицу времени., т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е. стал составлять 0,4А, тогда время стало ТК. Получим АТ=0,4А*КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого на заполнение бассейна до засорения, т.е. время увеличилось на 150%

Ответ. 150 %

Решение задач на сложные проценты.

        Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход .

     Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты.

Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов.

х (1+ 0,01а)n - периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов,

где х - начальный вклад, сумма.

а – процент(ы) годовых

n- время размещения вклада в банке

Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать и по- другому: х(1- 0,01а)n - периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов.

Так как в задачах используется такое понятие, как депозит, поэтому необходимо разъяснить что это такое.

«Что такое депозит? Что такое депозит в банке? Что такое банковский депозит? Что такое вклад?» -ответ на эти вопросы знаком не всем, да и отличаются ли эти понятия друг от друга. Начнем с того, что слово депозит - это производная от латинского «depositum», которая означает "вещь, отданную на хранение". В соответствии с экономическими и толковыми словарями терминов рыночной экономики, а также в соответствии с малым энциклопедическим словарем, депозиты имеют более широкое толкование, одним из видов которого является «вклад».

Общее определение депозита

Депозиты - это денежные средства или ценные бумаги, отданные на хранение в финансово-кредитные, таможенные, судебные или административные учреждения, с  правом возврата. Расширенное толкование этого понятия звучит приблизительно так:

депозит, это взнос в таможенный орган в обеспечение оплаты таможенных пошлин и сборов;

депозит, это взнос в судебные и административные учреждения в обеспечение иска, явки в суд, задатка для участия в аукционе.

депозит, это вклад денежных средств или ценных бумаг предприятий, организаций и населения в коммерческие банки на определенных условиях с целью получения доходов или получения гарантий.

Задача 1. Банк обещал своим клиентам годовой рост  вклада 30%. Какую сумму денег может получить человек, вложивший в этот банк 450 тысяч рублей?

Решение.

     1) 4500 * 0,3 = 1350(руб.) – «прирост» за год.

2) 4500 + 1350 = 5850(руб.)

 Ответ: в конце года на счете будет находиться 5851 руб.

Задачу можно было бы решить и иначе: сначала  найти, сколько процентов составит сумма на счете в конце года от первоначальной – 100% + 30% = 130%, а затем вычислить 130% от 1500 руб.

Задача 2. Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых, чтобы по истечении года получить 1000 руб.?

Решение.

100% + 25% = 125% - составляет 1000 руб. от первоначального вклада.

125% = 1,25 = 800 (руб.) – сумма вклада.

Ответ: сумма вклада 800 руб.

Задача 3. 

В банке открыт срочный депозит на сумму 50000 рублей  по 12% на 3 года. Рассчитать наращенную сумму,  если проценты: а) простые;  б) сложные.

Решение:

По формуле простых процентов:

Sn = (1 + 3*0.12)*50000 = 68000 рублей

По формуле сложных процентов:

Sn = (1 + 0.12)3 *50000  =  70246 рублей .

Задача 4.

В банке открыт срочный депозит на сумму 50000 рублей по 12 % на 3 года. Рассчитать наращенную сумму, если проценты начисляются ежеквартально.

Решение:

 По формуле сложных процентов:

Sn = (1 + 0.12/4)3*4 *50000  = 1.0312*50000 =  71288 рублей .

Задача 5.

Банк предлагает два варианта депозита:

под  120% с начислением процентов в конце года.

под  100% с начислением процентов в конце каждого квартала.

Определить более выгодный вариант размещения депозитов на один год.

Решение:

Более выгодным считается тот вариант, при котором наращенная за год сумма будет больше. Для оценки вариантов начальную сумму примем равную 100 рублей.

По первому варианту наращенная сумма будет равна

(1+1.2)*100 = 220 рублей

По второму варианту проценты начисляются ежеквартально. По окончании первого квартала наращенная сумма равна

(1+1.0/4)*100 = 125 рублей

По окончании второго квартала  (1+1.0/4)*125 = 156 рублей или (1+1.0/4)2*100 = 156 рублей

За год наращенная сумма равна

(1+1.0/4)4*100 = 244 рубля.

3. Применение процентов в жизни.

3.1 Исследование бюджета семьи:

Проценты широко применяются в повседневной жизни. Я покажу это на примере бюджета семьи.

 При составлении семейного бюджета я использовала правило нахождения процентов от числа для того, чтобы узнать процентный доход в бюджет каждого из родителей.

 Вычисления:

Для того чтобы найти в процентах зарплату, надо сумму умножить на 100 и разделить на  32000.

= 54%

46%

Вывод:  составила бюджет своей семьи, применила свойство нахождения процентов от числа и представила данные в виде диаграммы.

Распределение семейного бюджета:

Чтобы наглядно увидеть распределение семейного бюджета я составила таблицу.

Из таблицы видно, что наибольшее число процентов семейного бюджета расходуется на питание (37,5%), приобретение одежды (31%), на транспортные средства.

Вычисления:

Для того чтобы найти проценты от суммы ,надо сумму умножить на 100 и разделить на 1400.

  ;    2)  ;  3)  ;

4) ;  5)  31%  ;  6)  ;

7)  ;   8)  ;   9)    ;  

10)   ;   11)  .

3.2 Расчёт прибыли при размещении средств  в ОАО «Россельхозбанке».

  РОССЕЛЬХОЗ БАНК  города Андреаполя предлагает разместить свои средства.

Вклад «Агро – Классика» (с высоким процентом):

Средства можно разместить на срок  от 31 дня до 730 дней. В результате процентная  ставка составит, для вкладов в рублях, от 4.5% до 7.75%. Средствами могут быть доллары и евро.

Способ расчета наращенной суммы  - простой.

Допустим,  мы положили 1000 рублей на 31 день под 4.5 %. В результате получаем:

Sn = (1 + 0.045)*1000 = 1045 рублей

Если эту же сумму мы положим на 730 дней под 7.75 %, то получим следующий результат:

Sn = (1 + 0.0775)*1000 = 1077 рублей  5 копеек.

Можно сделать вывод, что разместить средства выгоднее на более длительный срок.

3.3 Расчёт выплат по «Потребительскому кредиту» в Сбербанке.

Жить в долг – для кого- то это решение всех его проблем, а для кого- то – последняя граница бедности, за которой уже ничего нет. Ведь кредит, по большому счету – это долг, который вы должны банку и за который необходимо еще и доплачивать.

Плата за предоставленную банком услугу – это проценты, которые увеличивают сумму вашего долга, и, чем дольше срок пользования кредитом, тем проценты больше.

Так как же начисляются проценты в банках? Какова формула расчета процентов по кредиту? Ведь зная такие нюансы, можно заранее самому просчитать, сколько же вам в реальности придется заплатить за возможность пользоваться материальными благами уже сейчас.

Итак, начнем. Стандартная формула расчета процентов выглядит так:  Сумма процента = (Тело кредита/ срок кредита (в месяцах)) * (процент годовых /12 месяцев * срок кредита (в месяцах)).

То есть, если мы взяли кредит в банке на сумму 50000 рублей на 3 года (36 месяцев) под 16,2% годовых, то первый месячный платеж по процентам кредита будет составлять 675 рублей ((50000 рублей/36 месяцев) * (16,2%/12 месяцев * 36 месяцев)).

И это только сумма процентов (дальше процент по этой же формуле начисляется на остаток тела кредита, поэтому процент в каждом месяце разный)! А тело кредита может выплачиваться несколькими методами:

- ежемесячный возврат части кредита и процентов (стандартная схема, вы ежемесячно гасите тело кредита равными частями, а процент начисляется на остаточную сумму кредита и также выплачивается ежемесячно).

- аннуитетный платеж (вы ежемесячно платите в банк равную сумму денег, куда входит и процент по кредиту, и выплата тела кредита).

Приведем пример расчета процентов по кредиту по стандартной схеме оплаты тела кредита (когда тело кредита выплачивается равными частями). Данные для примера возьмем те же:

В первый месяц выплаты вы заплатите 1389 рублей (50000 рублей /36 месяцев) как погашение тела кредита, и плюс к нему процент по кредиту (((50000 рублей /36 месяцев)*(16, 2%/12 месяцев * 36 месяцев)) – 675 рублей.  Итого, в первый месяц пользования кредитом вы выплатите 2064 рублей (1389 рублей  + 675 рублей, это при стандартной схеме оплаты кредита и процентов).

Второй месяц рассчитывается так же: сумма оплаты тела кредита не меняется (1389 рублей  ежемесячно), а процент начисляется на остаточную сумму тела кредита (на 48611 рублей). При подсчете получаем, что за второй месяц пользования кредитом мы должны выплатить 656 рублей в виде процентов и 1389 рублей как оплата тела кредита (при стандартном методе оплаты кредита первая выплата тела кредита отнимается от общей суммы еще до начисления процентов).

Расчет выглядит следующим образом:

Проведя до конца расчет суммы процентов по кредиту и выплаты тела кредита, выясняем, что через три года мы вернем в банк уже не 50000 рублей , а 62483 рубля, где 12483 рубля  – это процент по кредиту. В итоге мы заплатили банку за одолженную сумму 25 % от суммы займа. Это не считая комиссий за проведение платежных операций и т.д.

Подобный пример расчета процентов приведем и для использования аннуитетной схемы оплаты тела кредита. Но здесь оплата производится немножко по другой формуле, а удобство состоит в том, что заемщик выплачивает ежемесячно банку равную сумму денег. В нашем примере ежемесячно мы будем выплачивать по 1763 рублей (тело и проценты). Расчет суммы процентов и тела кредита для ежемесячных выплат при аннуитетном методе выглядит так:

Ежемесячный платеж = Тело кредита * месячный процент/[1 - (1 / (1 + месячный процент ) )срок пользования кредитом в месяцах]

Или

50000 рублей * (0,162/12 месяцев) /(1-(1/(1+(0,162/12 месяцев)))36) = 1763 рублей. Формула достаточно сложная, расчет производится с учетом всех округлений. Месячный процент считается в десятичных дробях, то есть ставку процента делим на 100. При таком методе оплаты за 3 года мы вернем в банк  63468 рублей(1763 рублей *36 месяцев). Переплата составит уже 27%, или 13468 рублей.

Из приведенных примеров видим, что сумма переплаты по кредиту больше при аннуитетной схеме выплаты тела кредита, но преимуществом данной схемы перед стандартным методом является то, что заемщик может точно спланировать свои ежемесячные расходы, а также сумма ежемесячных платежей будет существенно меньше в первую половину срока выплаты.

Так что, если вас не пугает сумма переплаты, тогда только вам решать, какой схеме выплат отдать предпочтение, при условии, что банк предоставит вам такую возможность.

Я рассмотрела две схемы оплаты кредита. Для «Потребительского кредита» схема оплаты -  аннуитетная.

Заключение.

В ходе проделанной работы я узнала, что сложные проценты – это проценты, полученные на начисленные проценты. Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов. При решении задач  подробнее изучила правила нахождения процентов.  

Исследовала бюджет семьи. Результаты занесла в таблицы и диаграммы. Расчитала прибыль при размещении средств  в ОАО «Россельхозбанке» и выплаты по «Потребительскому кредиту» в Сбербанке.

    Освоила навыки работы в текстовом редакторе и поработала с ресурсами интернета. В процессе выполнения работы я узнала много нового, думаю, что пригодится в учебе.

Список литературы:

Математика.  9 класс. Подготовка к  ГИА – 2012. Под редакцией Ф,Ф, Лысенко, С.Ю. Кулабухова.  Учебно – методическое пособие. Издательство «Легион – М», 2011 г.

А.В. Семёнов и др. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика. 2012. Учебное пособие. Издательство «Интеллект – Центр», 2012 г.

Л.Д. Лаппо. ГИА. Математика. Государственная итоговая аттестация(в новой форме). 9 класс. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий. Издательство «Экзамен», 2011 г.

Математика.  9 класс. Подготовка к  ЕГЭ – 2012. Под редакцией Ф,Ф, Лысенко, С.Ю. Кулабухова.  Учебно – методическое пособие. Издательство «Легион – М», 2011 г.

А.П. Власова, Н.В. Евсеева и др. Математика: 50 типовых вариантов экзаменационных работ. «АСТ», 2011 г.