Гипербола и его уравнение

Слайд 1

Гипербола и её уравнение. Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (меньшая расстояния между фокусами и неравная нулю).

Слайд 2

׀ F 1 M 1 - FM 1 ׀ = ׀ F 1 M 2 - FM 2 ׀ = ׀ F 1 M 3 - FM 3 ׀ = = ׀ F 1 M 4 - FM 4 ׀ = const .

Слайд 3

F 1 F = 2 с (1) F ( c ; 0) и F 1 (– c ; 0 ). ׀ F 1 M-FM ׀ =2a, (2) F 1 M-FM= ± 2a. (3) F 1 M = √(x+c)²+(y-0)² = √(x+c)²+y², (4) FM = √(x-c)²+(y+0)² = √(x-c)²+y², (5) √(x+c)²+y²- √( x-c )²+y² = ± 2a. (6)

Слайд 4

(c²-a²)x²- a²y² = a²(c²- a²). (1) 2с > 2a, (2) c > a. (3) b²x²- a²y² = a²b². (4) x²/a² - y²/b² = 1, (5) b² = c² - a². (6)

Слайд 5

2c/2a=c/a А( a ; 0) А 1 (- a ; 0) АА 1 =2a ВВ 1 =2 b e=c/a

Слайд 6

П р и м е р 1. Дана гипербола х 2 - у 2 = 1. Узнать, лежит ли точка 16 9 А (2 ; 15) на какой-либо ее асимптоте. а 2 = 16, b 2 = 9, a = 4 , b = 3. y = ± ¾ x . y = ¾ x . 1,5 = ¾ ∙ 2 = 1,5 . Т очка А лежит на указанной асимптоте гиперболы.

Слайд 7

П р и м е р 2. Определить координаты фокусов, длину осей и эксцентриситет гиперболы 24 х 2 – 25 у 2 = 600. х 2 + у 2 = 1. 25 24 а = 5, b = 2√6. А 1 А = 2 а = 10, В 1 В = 2 b = 4√6. b 2 = с 2 – а 2 с = √ а 2 + b 2 = √ 25 + 24 = 7. F ( 7; 0) и F ( -7; 0). е = 7/5 =1,4.

Слайд 8

П р и м е р 3. Найти острый угол между асимптотами гиперболы 4 x² - 5y² = 100 . х ²/25 - y²/20 = 1 . 2α ≈ 84˚ . α ≈ 42 ˚ . tg α = 2√5/5 tg α = b/a a = 5 , b = 2√ 5 . a² = 25, b² = 20,

Слайд 9

П р и м е р 4. Определить траекторию точки М ( х; у ), которая при своём движении остаётся вдвое ближе к прямой х = 1, чем к точке А (4; 0 ). 3х 2 - у 2 = 12 – уравнение гиперболы. х 2 – 8х + 16 + у 2 = 4х 2 – 8х + 4, √(х – 4) 2 + у 2 = 2(х – 1). АМ = √(х – 4) 2 + у 2 . М ( х; у ), х – 1.

Слайд 10

Спасибо за внимание!