Комплексные числа

Опубликовано Ражева Оксана Станиславовна вкл 16.08.2012 - 12:27

Автор:

Сорокин Вячеслав

Предполагается, что ознакомление и изучение комплексных чисел учащимися 10-11-х классов позволит им углубить познания во многих разделах математики, вооружит их дополнительным инструментом для решения различных задач.

Скачать:

Вложение	Размер
sorokin_kompleksnye.doc	454 КБ

Предварительный просмотр:

XVI КОНГРЕСС МОЛОДЫХ ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ

«ШАГ В БУДУЩЕЕ»

Исследовательская работа на тему:

«Комплексные числа»

Секция: математика

Автор:

Сорокин В.В.

Россия, г. Тольятти,

МОУ гимназия № 48, 11 класс «Б»

Научный руководитель:

Ражева Оксана Станиславовна

учитель математики

МОУ гимназия № 48

Тольятти

2009 г.

АННОТАЦИЯ

Проблема: отсутствие в программах по курсу алгебры и начал анализа в 10-11-х классах для общеобразовательных учреждений раздела, изучающего комплексные числа.

Цель работы: Изучить комплексные числа и их роль во многих разделах математики.

Рабочая гипотеза: предполагается, что ознакомление и изучение комплексных чисел учащимися 10-11-х классов позволит им углубить познания во многих разделах математики, вооружит их дополнительным инструментом для решения различных задач.

Задачи исследования:

1. Ввести понятие комплексных чисел и изучить историю их открытия.

2. Рассмотреть различные свойства и формы комплексных чисел, математические операции с ними.

3. Использовать изученный материал для решения практических задач в течение учебного года.

4. Оценить значение и роль комплексных чисел в математике, в повышении интереса в изучении комплексных чисел учащимися 10-11-х классов, в развитии их творческих и исследовательских способностей.

Методы исследования:

1.Изучение и анализ литературных источников.

2.Изучение документов планирования учебного процесса.

3.Решение практических задач.

4.Опрос.

5.Анализ проделанной работы.

Выводы:

1.Изучены различные литературные источники, подобран материал, дающий наиболее полное представление о комплексных числах, истории их открытия, их роли и значении в различных разделах математики. Определены и рассмотрены арифметические операции, производимые над этими числами, подобраны и решены примеры с использованием комплексных чисел.

2.Оценнено значение и роль комплексных чисел при решении ряда математических задач.

3.Если в начале учебного года уровень информированности и знаний среди учащихся 10-11-х классов о комплексных числах можно оценить как низкий, то к концу учебного года зафиксировано повышение интереса в изучении математики, расширение кругозора, успешное решение многих задач повышенного уровня сложности.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………..4
История открытия комплексных чисел…………………………… 6
Определение комплексных чисел…………………………………. 9
Алгебраическая и тригонометрическая формы числа…………... 10
Действия с комплексными числами……………………………….14
Геометрический смысл действий с комплексными числами……18
Геометрическая интерпретация комплексных чисел…………….19
Комплексная плоскость…………………………………………….20
Список литературы…………………………………………………22

ВВЕДЕНИЕ

До сих пор мы рассматривали лишь действительные числа. Арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление на число, отличное от нуля) над действительными числами снова дают действительные числа.

Но уже в древности при решении задач, записываемых на современном языке квадратными уравнениями, математики столкнулись с ситуациями, в которых было необходимо извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В таких случаях считали задачу неразрешимой. Однако решение квадратного уравнения в радикалах, найденное итальянскими математиками в первой половине шестнадцатого века, приводило к выражению действительных корней уравнения через квадратные корни из отрицательных чисел. Это обстоятельство и ряд вопросов, возникших при решении уравнений третьей и четвёртой степеней, заставили математиков расширить множество действительных чисел, начать оперировать новыми числами, применяя для них те же правила, которым подчиняются действительные числа. Как минимум, добавить один новый элемент, такой, что квадрат этого элемента равен -1. Такой элемент называют мнимой единицей и обозначают i.

Цель работы: Изучить комплексные числа и их роль во многих разделах математики.

Задачи исследования:

1. Ввести понятие комплексных чисел и изучить историю их открытия.

2. Рассмотреть различные свойства и формы комплексных чисел, математические операции с ними.

3. Использовать изученный материал для решения практических задач в течение учебного года.

ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

“Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение” Ф. Клейн.

Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел. В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как . Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби.

Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “… элементы чисел являются элементами всех вещей, и весь мир в целом является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: .

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (), а если оно имеет три действительных корня (), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее, всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что . Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа

(мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин “комплексные числа” также был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): . С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

при этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Числа и называются комплексно – сопряженными.

Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЧИСЕЛ

Запись комплексного числа z в виде a + ib называется алгебраической формой комплексного числа. Рассмотрим другие формы записи комплексных чисел.

Пусть r- модуль, а - какой-либо из аргументов комплексного числа z = a + ib, то есть r = , . Для того, чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа a + ib к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов. Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа. При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона - аргументом комплексного числа.

Из геометрических соображений видно:

Очевидно, что комплексно–сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

Все алгебраические действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме, совершаются по тем же правилам, что и с комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Складывать и вычитать комплексные числа проще и удобнее, когда они заданы в алгебраической форме, а умножать и делить - в тригонометрической форме. Существуют три теоремы.

Теорема1. При умножении любого конечного количества комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Доказательство. Ограничимся двумя сомножителями; общий случай без труда получается индукцией. Итак, мы должны доказать, что (r. (1)

Но (откуда непосредственно вытекает равенство (1). Так как из r rследует, что то r-модуль, а - аргумент произведения двух данных чисел. Теорема доказана.

Теорема 2. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Доказательство. Преобразуем дробь

умножив её числитель и знаменатель на . В результате получим Поскольку i = -1, знаменатель второй дроби равен Числитель же можно записать так:

Применив правило умножения, получим

cos, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Пусть z – комплексное, и n – натуральное число. Во множестве комплексных чисел выражение при z =0 имеет единственное значение равное нулю, а при z0 – n различных значений. Если z = r(cos + i sin), то эти значения находятся по формуле

=(cos + i sin).

=0,1,…, n-1.

Доказательство. Поскольку и из следует, что 0 = 0, z = 0. Пусть теперь

z = r(cos. Обозначив через и соответственно модуль и аргумент корня, будем иметь =. Отсюда по формуле Муавра r(cos Следовательно, должны выполняться соотношения , откуда , то есть (4). Сколько различных значений мы получим? Легко убедиться, что пока мы будем подставлять в последнюю формулу значения = 0,1,2,…, n-1, все получаемые значения корня будут различны, поскольку будут различны их аргументы. При получим , и корень будет равен , то есть мы получим тот же корень, что и при k = 0. Аналогично, при k = n+1, n+2 и так далее, мы будем получать те же корни, что и при k=1, 2, … . Таким образом, целое число k в формуле (4) изменяется в пределах от 0 до n-1. Теорема доказана.

Пример 1. Найти модуль комплексного числа:

а) 21 - 20 i; б) i( i – 1); в) (i – 1)/ i

Решение.

а) = 29

б)

в)

Пример 2. Записать данное комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

а) -3 + 4 i ; б)

Решение.

а) Найдём модуль числа z = -3 + 4 i . Получим:

= 5. Значит, .

Этим условиям удовлетворяет число

Итак, -3 + 4 i = , где .

б) Найдём модуль числа z = . Получим:

= 2. Значит, .

Этим условиям удовлетворяет число

Итак, = .

ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

1) Сложение и вычитание.

2) Умножение.

В тригонометрической форме:

В случае комплексно – сопряженных чисел:

3) Деление.

В тригонометрической форме:

4) Возведение в степень.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

где n – целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра. (Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

Пример. Найти формулы sin2 и cos2.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

5) Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Пример 3. Найти сумму и произведение комплексных чисел. Дано , , . Вычислить:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) .

б) .

в) ;

;

Пример 4. Дано , . Вычислить:

Решение.

;

Значит, .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Разложим левую часть на множители:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДЕЙСТВИЙ

С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Пусть z= a+ib и z= a+ ib. Им соответствуют векторы с координатами () и ().

-z

Тогда числу будет соответствовать вектор с координатами (). Таким образом, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел и z, надо сложить векторы, отвечающие комплексным числам и z. Аналогично, разности - zкомплексных чисел и zсоответствует разность векторов, соответствующих числам и z. Модуль двух комплексных чисел и z по определению модуля есть длина вектора - z. Построим вектор, как сумму двух векторов z и (-). Получим вектор ОМ, равный вектору ММ. Следовательно, есть длина вектора ММ, то есть модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Слово «комплексный» в переводе с латинского означает «составной», «сложный». Несмотря на то, что оперировать с комплексными числами ничуть не сложнее, чем с действительными, до начала девятнадцатого столетия комплексные числа рассматривались как очень сложный, темный, почти мистический объект. С упорством, достойным лучшего применения, велась длительная борьба между сторонниками и противниками «мнимых» чисел. Главное возражение противников заключалось в следующем: выражение вида a + ib лишено смысла, поскольку i не является действительным числом, а значит, и вообще не является числом; поэтому i нельзя умножать на действительное число.

Чтобы поставить теорию комплексных чисел на прочный фундамент, необходима была явная её конструкция, лучше всего – геометрическая. Желание иметь геометрическую реализацию множества комплексных чисел не случайно, если вспомнить, что и множество действительных чисел не отделимо для нас от «действительной прямой» с фиксированной на ней точкой, изображающей 0, и с фиксирующим масштабом, определяемым положением числа 1.

Впервые изображение геометрических действий над комплексными числами было дано датским геодезистом К.Весселем в 1799 году и независимо от него французским математиком Ж.Арганом в 1806 году. Однако общее признание оно получило лишь в тридцатые года восемнадцатого столетия после работ немецкого математика Ф.Гаусса и английского математика У.Гамильтона. Идея геометрической интерпретации комплексных чисел заключается в том, что они изображаются не точками прямой, как действительные числа, а точками плоскости.

КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ

Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости. Каждому комплексному числу z = a + ib поставим в соответствие точку М(a,b) координатной плоскости, то есть точку, абсцисса которой равна Re z = a, а ордината Im z = b. Обратно, каждой точке плоскости с координатами (a,b) поставим в соответствии комплексное число z = a + ib. Сама координатная плоскость называется при этом комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой. Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа a + ib как вектор ОМ.y

M(a;b)

z = a + ib

Геометрически очевидно, что комплексное число будет задано, если помимо модуля числа указать ещё и направление вектора , задав, например, величину угла между вектором и осью абсцисс. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором называется аргументом комплексного числа . Аргумент, в отличие от модуля, определяется не однозначно. Например, аргументами комплексного числа являются следующие углы: , где - любое целое число.

Пример 6. Какое множество точек комплексной плоскости задаётся условием: .

Решение.

Данному условию удовлетворяют те и только те точки комплексной плоскости, которые удалены от точки I на расстояние, равное 1. Такие точки лежат на окружности единичного радиуса с центром в точке i (0;i).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. 11 кл. М.: Мнемозина, 2004.

2. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.

3. М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике. М.: Государственное издательство физико–математической литературы, 1960.

4. В.К. Егерев и др. Сборник задач по математике. 7 – 11 кл. М.: Мир и образование, 2003.

5. Н.Б. Алфутова. Алгебра и теория чисел. М.: МЦНМО, 2005.

Сказка на ночь про Снеговика

Загадка Бабы-Яги

Привередница

Рисуем крокусы акварелью

Под парусами