Научно-исследовательская работа по теме "Математика древнего Египта"

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 27» г. Перми

Направление

математика

Тема работы: «Математика Древнего Египта».

Новиков Андрей

МОУ «СОШ № 27»

5Б класс

Милюкова Светлана Николаевна

I квалификационная категория

МОУ «СОШ № 27»

учитель математики

Введение

Всегда интересно заглянуть в глубину веков, узнать о людях, которые умерли тысячи лет назад, попытаться понять их, почувствовать, чем они жили.

Великие народы прошлого оставили нам бесценное наследие.

Минули тысячелетия, но живой интерес к истории Древнего Египта не иссяк. Напротив! Только после дешифровки иероглифов перед нами обрисовалась во всём своём величии могучая цивилизация, процветавшая, уже пять тысяч лет  тому назад на берегах Нила.

Изучая страницы истории, я убеждаюсь, что истоки появления математических идей, понятий, задач, связаны с практическими нуждами человека, поисками способов их преодоления. Они приобрели, современный вид благодаря теоретической мысли ученых разных столетий и народов. Время накопило коллекцию старинных задач, сохранивших особую популярность и сейчас. Задачи и теоремы, доказанные сотни лет назад, захватывают нас своей красотой, тонкостью логических рассуждений так же, как восхищались ими все предыдущие поколения. В них отражается весь сложный и извилистый труд, по которому развивалась математика.

Изучая школьный курс «Истории древнего мира», меня заинтересовала эта тема. Мне захотелось расширить свои представления о Древнем Египте, а именно о развитии математики, о возникновении чисел, дробей. Любая наука, и математика в особенности, строится на фундаменте знаний, добытых в предшествующие эпохи. «Камни истории служат ступенями, ведущими в будущее»,-  писал Н.К. Рерих. В своем докладе я лишь чуть-чуть приоткрою завесу над прошлым, в котором еще столько  тайн, столько увлекательного, столько неизведанного…

Для подготовки своего доклада я использовал следующую литературу:

1. Детская энциклопедия / Мифы и легенды народов мира, которая знакомит нас с мифами и легендами всех народов, в том числе Древнего Египта. Мы узнаем о богах, которым преклонялись древние люди, о священных ритуалах.
2. Деревенский Б.Г. Книга «Древний Египет»,которая рассказывает о земле фараонов и пирамид, высоком искусстве и жестоких войнах. Дает яркое представление о том, как жили на берегах Нила в далекой древности от фараона Хуфу до царицы Нифертити, о том как тысячи лет назад возникла цивилизация, памятники и история которой по сей день изумляют нас.
3. М. Матье «День египетского мальчика». Это историческая повесть посвященная мальчишкам, жившим более 30 веков тому назад в Древнем Египте, которые осваивают премудрости счета и письма в египетской школе.
4.                    «Страна большого Хаппи».  Эта книга об основах письменности и математического счета в Древнем Египте. Она знакомит нас с примерами и задачами, которые дошли до наших дней.
5. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». В очень скромном объеме автор дал последовательное  изложение основных фактов, событий многовековой истории математики от ее зарождения до начала двадцатого столетия.
6. Малых А.Е. «История математики к задачах». Здесь представлены задачи Древнего Египта и Вавилона, отражающие основные этапы и специфику развития математического знания.

1.        Мифы Древнего Египта

Все народы с древних времен создавали мифы. Египтяне верили, что боги обитают повсюду. И на земле, где живут люди и в другом невидимом мире, куда люди отправляются после смерти.

Египтяне поклонялись множеству богов, которые создали мир, охраняют его и заботятся о людях.

В честь богов строили храмы и совершали жертвоприношение.(Приложение1)

Вот некоторые из главных египетских богов: Ра, Осирис, Исида, Гор, Сет, Анубис, Хнум, Хатор, Хари, Себек, Птах и Тот.

Тот бог мудрости и знаний. Он изобрел счет и писменность. Для счета времени и вообще для всякого счета он изобрел числа. И поэтому на древних рельефах его часто изображали с телом человека и головой священной птицы ибиса, чей шаг равнялся в точности одному кубиту, т.е. мере длины, которая применялась при строительстве священных сооружений. ^[1]

Основной мерой длины  у древних египтян считался «локоть». Он был равен 52,3см. Локоть делится на 7 ладоней, ладонь – на 4 пальца,  таким образом, локоть состоит из 28 пальцев.

Встречались и большие меры длины, например, хет (жердь). Она состояла из 100 локтей, то есть 10,5 км.

Мерой веса у древних египтян был «дебень», равный примерно 91 грамму. (Приложение 2)

2. Папирусы

Математические папирусы

«Наставление, как достигнуть знания всех темных(трудных, непонятных) вещей…всех тайн, которые скрывают в себе вещи….       Со старинных рукописей… писец Ахмес написал это»

Сохранившаяся часть названия папируса Ринда.

Египетская культура является одной из древних. Пирамиды, построенные много веков назад , храмы, памятники скульптуры. поражают своей строгостью и величием. Их возведение требовало огромной затраты труда, орудий производства и времени. Ясно, что без предварительных математических расчетов такое строительство не могло осуществиться. Таким образом, архитектура была важным стимулом развития арифметики и геометрии.

Стены египетских храмов, гробниц и саркофагов покрыты загадочными знаками. Среди них можно разглядеть и змею кобру и птицу ибиса и пирамиду. Это так называемые иероглифы, в египетском письме их более 700.

Их учились писать сначала на черепках битой посуды, а потом уже на папирусе, так как он был не дешёв. Этот материал, похожий на бумагу изготавливали так: стебель папируса разрезали на длинные узкие полоски, укладывали на гладкий стол в ряд. Сверху снова полоски в поперечном направлении. Всё это прижимали плоским камнем. Выделялся клейкий сок, который склеивал полосы, а после просушки получался готовый для письма лист, называемый «папирусом». Когда этот лист исписывали до конца, к нему подклеивали другой. Для хранения папирус сворачивали в трубочку – свиток. В одном музее хранится такой свиток, длиной более 40 метров.

Наши познания о древнеегипетской математике основаны главным образом на двух больших папирусах математического характера и на нескольких небольших отрывках. Один из больших папирусов называется математическим папирусом Ринда (Rhind)^[2] (Приложение 3) Он примерно 5,5 м длины и 0,32 ширины. другой большой папирус называется Московским, почти такой же длины и 8 см ширины^[3]. Содержащиеся в них математические сведения относятся примерно к 2000 г. до н.э.

Папирус Ринда представляет собой собрание 84 задач прикладного характера. При решении этих задач производятся действия с дробями, вычисляются площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга, объёмы параллелепипеда, цилиндра, размеры пирамид, имеются также задачи на пропорциональное деление, а при решении одной задачи находится сумма геометрической прогрессии.

В московском папирусе собраны решения 25 задач. Большинство их такого же типа, как и в папирусе Ринда. Кроме того, в одной из задач правильно вычисляется объём усечённой пирамиды с квадратным основанием. В другой задаче содержится самый ранний в математике пример определения площади кривой поверхности: вычисляется боковая поверхность корзины, т.е. полуцилиндра, высота которого равна диаметру основания.

Сохранились математические папирусы, в которых излагаются задачи и примеры,  вычисления вместимости амбара, раздел имущества наследников и т. д. Встречаются в папирусах и задачи – шутки, рассчитанные на особых любителей математики. ^[4]

На основании математических папирусов учёные установили, что египетские математики решали уже уравнения с двумя неизвестными. Любопытно заметить, что нашему понятию х (икс) – неизвестное соответствовало египетское слово «куча». Имелось ввиду, очевидно, куча зерна, объём которой чаще всего приходилось высчитывать.

3. Древнеегипетские числа

Факты убедительно свидетельствуют о том, что счет возникает раньше, чем названия чисел. Иначе говоря, первоначально языковыми объектами для построения модели служат не слова, а выделенные однотипные предметы: пальцы, камешки, узелки, черточки. Это и естественно. При возникновении языка слова связываются только с теми понятиями, которые уже существуют, т. е. распознаются. Чтобы передать численность какой-то группы предметов, человек пользуется стандартными предметами, устанавливая между ними — один за другим — взаимно однозначное соответствие. Это и есть счет. Когда счет становится распространенным и привычным делом, для наиболее часто встречающихся (т. е. небольших) групп стандартных предметов возникают и словесные обозначения. На некоторых числительных остались следы их происхождения. Так, русское слово «пять» подозрительно похоже на старославянское «пядь» — рука (пять пальцев).

Чтобы передать большие числа, люди стали считать «большими единицами» — пятерками, десятками, двадцатками.

Во всех известных нам системах счета большие единицы кратны пяти, что свидетельствует о том, что первым счетным инструментом всегда становились пальцы. Из комбинации больших единиц возникли еще большие единицы. В древнеегипетских папирусах встречаются отдельные иероглифы, изображающие числа до десяти миллионов.

Иероглифы писали на камне, на обожженных глиняных табличках^[5], на папирусе^[6], пользуясь для письма тростниковыми перьями и особыми чернилами.

Для цифр были свои значки, но не для всех. Египтяне не имели значков для нуля и для цифр от двух до девяти. Зато были значки для десяти, сотни, тысячи и т.д.

Единицы они обозначали палочками, десятки знаком изображающим кусок веревки, сотни – свернутой веревкой, тысячи – болотным растением, десятки тысяч - пальцем, сотни тысяч – головастиком, а миллион – человеком, который даже руки поднял от удивления перед таким большим числом. Скажем для того, чтобы написать число 234, нужно было изобразить два значка 100, три значка 10 и четыре значка 1.(Приложение 4)

Запись цифр внутри каждого из разрядов производилась простым увеличением количества знаков по принципу простейшего сложения.

Например, число "1" передавалось одной чертой (I), "2"- , соответственно,- двумя (II), "3" - тремя (III)...."8" - восемью (IIIIIIII), "9" - девятью (IIIIIIIII) и т.д.

Числа, содержащие несколько разрядов единиц, записывались по такому же принципу; при этом единицы высших разрядов выносились в начало записи.

К примеру, запись числа 1.124.624 выглядела следующим образом:

Следует отметить, что иероглиф имел значение "1.000.000" только в Древнем царстве. В последующие эпохи он переводится как "множество".

Начало измерения, как и счета, относится к глубокой древности: мы находим его уже у первобытных народов. Измерение предполагает умение считать и требует дополнительно введения единицы измерения — меры измерительной процедуры, состоящей в сравнении измеряемого с единицей. Древнейшие меры связаны с человеческим телом: шаг, локоть, фут (ступня). (приложение 2)

С возникновением цивилизации потребность в счете и в умении выполнять арифметические действия резко увеличивается. При развитом общественном производстве регулирование отношений между людьми: обмен, раздел имущества, налогообложение — требует знания арифметики и элементов геометрии. И мы находим эти знания в древнейших из известных нам цивилизаций — вавилонской и египетской.

Для обозначения чисел высших разрядов египтяне использовали запись умножения.

Из четырех действий в математике египтяне знали только сложение и вычитание. Умножение было тем же сложением (таблица умножения не была известна), процесс сводился к постепенному удвоению числа. А деление сводилось к подысканию такого числа, на которое следовало умножить делитель, чтобы найти делимое. ^[7]

Например:

1.Сколько будет восемь раз по восемь (см. приложение)

2. Взять 16 раз число 80 (см. приложение )

Умножение и деление сводилось к удвоению и сложению.

Для их выполнения составились  аблицы.

Типичными для египетской математики являются задачи «на вместимость амбаров», «на хлеб и пиво» и др. Ряд задач сводится к вычислению суммы членов арифметической и геометрической прогрессии. Среди них знаменитая в истории математики задача – путешественница, которая в разных формулировках встречается у разных народов в различные эпохи.^[8]

Например:

1. У семи людей по 7 кошек, каждая кошка съела 7 мышей, каждая мышь съела 7 колосков, каждый колос может дать 7 мер зерна. Найти сумму общего числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна? Ответ:21407. Проверка его показала, что эта задача решена правильно.

2. Сколько хлебов и сколько кувшинов пива можно получить с одной меры зерна, если из 15 мер получается 200 хлебов 10 кувшинов пива при условии, что  выход пива составляет выхода хлеба!

Так как из 15 мер зерна получается 200 хлебов и 10 кувшинов пива, то из этого зерна выйдет только 30 кувшинов пива, а потому из одной меры выход пива составит 20 кувшина, тогда хлебов получиться 20.

Строители великих египетских пирамид, храмов и дворцов должны были уметь точно вычислять площади треугольников, прямоугольников, многоугольников, объемы призм, пирамид; строить прямые углы, определять наклоны стены, крыши, ориентироваться по сторонам света. Наряду с точными приемами вычисления площадей у египтян имелись и приближенные, применявшиеся на практике, в землемерии.

4. Дроби

Самой замечательной чертой египетской арифметики являются действия с дробями. Все дроби сводятся к суммам так называемых основных дробей, то есть дробей, имеющим числителем единицу.

«Мудрость Тота была столь велика, что он придумал не только обычные целые числа, но и дроби. ^[9]

Когда коварный Сет вырвал у спящего Хора глаз и разрезал его на 64 части, Тот нашел и срастил их, но 1/64 часть ему так и не удалось найти. С тех пор изображение части разрезанного глаза служила для всех египетских математиков обозначением дробей»

Всякую дробь они представляли как одну часть какого – то числа. Поэтому у них всегда в числителе стояла 1, то есть, а в знаменателе - нужное число. Например:   .

Чтобы выразить дробь, например: , они повторяли  четыре  раза.

 Система дробей была громоздка и поэтому неудобна. Но как бы то ни было, египтяне знали дроби и широко пользовались ими в быту, выражая иногда очень мелкие дробные величины, например . Египтяне уже с древности знали, как поделить два яблока на троих. Для этого числа  у них был специальный значок . Это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, в которой в числителе не стояла единица. Для некоторых, часто употребляемых дробных чисел имелись особые знаки, например: .

Неосновные дроби записывались при помощи основных:

=

=

(Приложение 6)

Сведение к суммам основных дробей производилось с помощью таблиц, которые давали разложение дробей вида , так как умножение было двоичным. Папирус Ринда дает таблицу, в которой приведены разложения на основные дроби для всех нечетных п от 5 до 331, например

Из чего исходили при таком сведении к основным дробям , не ясно.(например, почему  заменяется суммой  а не суммой ?)

Такие действия с дробями придавали египетской математике тяжеловесность и растянутость. В то же время, указанное разложение предполагает определенное математическое искусство, и существуют интересные теории для объяснения того способа, каким египетские  специалисты могли получить результаты.^[10]

Многие задачи очень просты и сводятся к линейным уравнениям с одним неизвестным:

Некое количество, его , его и его , сложенные вместе дают 33. Какое это количество?

Ответ, , записан в основных дробях: . Для неизвестного в уравнении существовал иероглиф, обозначавший «кучу» и произносились «хау» и «аха». Поэтому египетскую математику иногда называли «хау- исчислением».

Заключение

Самые ранние математические задачи, решения которых требовала повседневная жизнь, появились в Древнем Египте.

Ведь без расчетов не возможно построить здание, будь то дворец или просто склад для зерна; поделить землю между родственниками, прибыль между торговцами и т.д.

Выполняя данную работу, я старался вообразить себе египетских великих математиков, но из-за скудности источников мне это не удалось. Можно себе представить известных греческих ученых как Пифагор, Архимед,  Эратосфен. Что же касается египетских и вавилонских математиков, то мы не знаем их даже имен.

Зачем нужна история математики?

Каждый знает, что мы живем в эпоху техники, но очень редко отдает себе отчет о том, что буквально вся наша техника основана на математике и физике.

Когда вечером мы возвращаемся на автобусе  домой, зажигаем электрический свет и включаем радио, то все это действует при помощи искусственных физических приспособлений, в основе которых лежат математические расчеты.

Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют утверждать, что за 20 веков до нашей эры в Египте начали складываться элементы математики как науки. Эти элементы ещё только начинают выделяться из практических задач, целиком подчинены их содержанию. Техника вычислений ещё примитивна, методы решения задач не единообразны. Однако материалов, которые позволяли бы судить о развитии математики в Египте, ещё недостаточно.

Единичная система счисления первобытных людей рисовавших палочки на стенах пещеры или зарубки на деревьях не забыты и в наши дни.

Например: как узнать на каком курсе учится курсант военного училища? Для этого стоит только сосчитать, сколько полосок нашито на рукаве его мундира.

О количестве самолетов противника сбитых ассом в воздушных боях говорит число звездочек нарисованных на фюзеляже его самолета.

Мой интерес к истории  Древнего Египта на этом не заканчивается.

Хотелось бы как можно больше узнать о талантливом и трудолюбивом народе Древнего Египта, о его достижениях не только в области науки математики, но и других не менее точных наук.