Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Введение

Тема моего проекта выбрана не случайно по алгебре, т.к.я с детства люблю размышлять логически, учиться решать задачи, уравнения. Мой любимый предмет алгебра, мне нравится  запоминать формулы, потому что с их помощью можно быстрее и легче выполнить задание.                                        Я считаю, что в труде, в учении, в игре, во всякой творческой деятельности нужны человеку сообразительность, находчивость, догадка, уменье рассуждать-всё то, что наш народ метко определяет одним словом смекалка. Смекалку можно воспитывать и развить упражнениями, в частности, решением математических задач, как школьного курса, так и задач, возникающих из практики, связанных с наблюдениями окружающего нас мира вещей и событий.                                         Я решила написать проект о французском математике Франсуа Виете, потому что меня заинтересовала его теорема, я решила почитать дополнительную литературу и узнать о его жизни. Когда я узнала, что Виет был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений, я ещё больше заинтересовалась. В школьной программе мне эта теорема понравилась больше всех пройденных,  она запомнилась быстро и легко, теперь я без труда применяю её при решении квадратных уравнений.                Впервые квадратное уравнение сумели решить математике Древнего Египта. Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений   умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н. э.). Об этом свидетельствует найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас шести из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получит решение уравнения вида  или  . Способ решение полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду  , где a > 0, дал индийский ученый Брахмагупта (VII в.). В трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» хорезмский математик Аль-Хорезми  разъясняет приемы решения уравнений вида  ,   (буквами a, b и c обозначены лишь положительные числа) и отыскивает только положительные корни. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду  , было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487 - 1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако свое утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал).     После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 - 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.                                        Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выделены Виетом в 1591 г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях выглядела так: корнями уравнения   являются числа a и b.                                                                         Исходя из изложенного, целью данного проекта является исследование дидактической возможности теоремы Виета как ещё один способ решения квадратных уравнений, для раскрытия которой следует поставить следующие задачи:                                                                                1)рассмотреть личность Виета и его открытия                                         2)рассмотреть решение квадратных уравнений различными способами.            3) показать применение теоремы Виета в школьном курсе математики.

Глава I Жизнь и деятельность Франсуа Виета.

§1. Биография Виета

     Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт.
Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.
     Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором Сорбонны Рамсом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.
     В 1671 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.
    В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.
     В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Обретя покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи.
     Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом "Введение в аналитическое искусство". Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему "видов". В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т. д. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных - согласные.
     Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.
     Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: "Если. В+D, умноженное на. А, минус. А в квадрате равно ВД, то. А равно. В и равно D".Если (b+d)a-a²=bd=>a=b=d..
   В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: "...14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер... в Париже. Ему было более шестидесяти лет".  

§ 2. Главное увлечение Виета.

Главной страстью Виета   была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики: Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические сравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу.    Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят.  Виет   и его последователи установи, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Значит, их можно обозначать какими-либо отвлеченными знаками. Виет  это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель, изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету   сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно за это Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики. 
    Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов кратных дуг через sin x и cos x. Эти знания тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических уравнений, так и в геометрии, например, при решении с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи Аполлония Пергского о построении круга, касательного к трем данным кругам. Гордясь найденным решением, Виет называл себя Алоллонием Гальским (Галлией во времена древнего Рима называли современную Францию).
    Нельзя сказать, что во Франции о Виете ничего не знали. Громкую славу он получил при Генрихе III, во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря такому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка всё время оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. Рассказывают, что Виет две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки - Виет. Будучи уверенными, в невозможности разгадать их способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.                                                                                                         Математиков столетиями интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор. Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг

Глава II Теорема Виета.

Сформулируем теорему Виета.                                                                     Теорема. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

         Доказательство. Рассмотрим приведённое квадратное уравнениех²+bx+c=0.Обозначим второй коэффициент(b) буквой p,а свободный член(c)-буквой q:x²+px+q=0.Дискриминат этого уравнения D равен p²-4q.        Пусть D>0.Тогда это уравнение имеет два корня:x =-p-√D и x =-p+√D.

Найдём сумму и произведение корней:

                                   х +x =-p-√D + -p+√D=-2p=-p;

                                   x  x =-p-√D  –p+√D=(-p) ²-(√D)²=p²-(p²-4q)=4q=q

                                  Итак, x +x =-p и x  x =q.

            При D=0 квадратное уравнение x²+px+q=0 имеет один корень. Если условиться считать, что при D=0 квадратное уравнение имеет два равных корня, то теорема будет верна и в этом случае. Это следует из того, что при D=0 корни уравнения также можно считать по формуле

-p±√D

                      Ч.Т.Д

            Рассмотрим пример применения теоремы Виета. Найдём сумму и произведение корней уравнения 3x²-5x+2=0. Дискриминант D=25-4 3 2=1-положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведенное квадратное уравнение . x²-    +   =0. Значит, сумма корней уравнения 3x²-5x+2=0 также равна,   а произведение равно                                           Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты. Пусть квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет корни х и х. Равносильное ему приведённое квадратное уравнение имеет вид

                                                     х²+    +    =0.

                                                   По теореме Виета

                                                   х +х =-   ,            х х=   .

Справедлива теорема, обратная  теореме Виета.

Теорема. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p,а произведение равно q,то эти числа являются корнями уравнения х²+px+q=0.                              Доказательство. По условию m+n=-p, а mn=q.Значит, уравнение х²+px+q=0 можно записать в виде х²-(m+n)x+mn=0.                                                                      Подставив вместо х число m,получим:                                                                          m²-(m+n)m+mn=m²-m²-mn+mn=0.                                                                   Значит, число m является корнем уравнения.                                                 Аналогично покажем, что число n также является корнем уравнения,для этого подставим вместо х число n n²-(m+n)n=n²-mn-n²+mn=0                                                     Рассмотрим пример применения теоремы,обратной теореме Виета.

        Пример 1.Решим уравненение х²+3х-40=0 и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета.                                                                Найдём дискриминант:

                                                           D=3²+4 40=169.                                                По формуле корней квадратного уравнения получаем:

-3±√169

-3±13

Отсюда

х =-8, х =5.

Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении х²+3х-40=0 коэффициент pравен 3,а свободный член q равен -40.Сумма найденных чисел -8 и 5 равна -3,а их произведение равно -40.Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х²+3х-40=0.

Пример 2.Найдём подбором корни уравнения х²-х-12=0.                                        Пусть х  и х – целые числа, то они являются делителями числа -12.Учитывая также, что сумма этих чисел рана 1,нетрудно догадаться, что х =-3 и х =4.                                                                                                                По теореме Виета:

  х +х =1,                  х =-3,

  х  х =-12.                х =4.

  Теорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине квадратного уравнения.
 А именно: в уравнении х2+bх+с=0.
Если b>0, c>0 то оба корня отрицательны;
Если b<0, c>0 то оба корня положительны;
Если b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;
Если b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного

Глава III Решение квадратных уравнений.

§1Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена.

        Уравнение, в котором первый коэффициент равен 1 называют приведённым квадратным уравнением.                                                        Решим приведённое квадратное уравнение

х²+10х+25=0.

        Представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена. Получим:

(х+5)²=0.

Отсюда                                                    х+5=0,

х=-5.

        Ответ:-5.

        Решим ещё одно приведённое квадратное уравнение

х²-6х-7=0.

        Если к разности х²-6х прибавить число 9,то полученное выражение можно записать в виде (х-3)².т.е. в виде квадрата двучлена. Прибавим к обеим частям уравнения х²-6х-7=0 число 9.а свободный член перенесём в правую часть. Получим:

х²-6х+9=9+7.

        Преобразуем это уравнение:

(х-3)²=16.

Отсюда                                                 х-3=-4 или х-3=4,

                                                                  х=-1 или х=7.

        Ответ:-1; 7.

        Способ, с помощью которого мы решили уравнение х²-6х-7=0,называется выделением квадрата двучлена.

        Пример. Решим уравнение

х²+8х-1=0.

        Имеем:                                       х²+2х 4-1=0,

х²+2х 4+16=16+1,

(х+4)²=17,

                                                     х+4=-√17 или х+4=√17,

                                                     х=-4-√17 или х=-4+√17.

Ответ:- 4-√17; -4+√17.

§2Решение квадратных уравнений по формуле

     Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе.Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение  . (1)
Разделив обе части на а, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение  .Преобразуем это уравнение: ,                                                           (х+    )²=b²-4ac   (2),Уравнение(2) равносильно уравнению (1).Число его корней зависит от  знака дроби  . Так как  , то  - положительное число, поэтому   знак этой дроби определяется знаком ее числителя, т.е. выражения . Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения   («дискриминант» по-латыни - различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
 D =  .
Запишем уравнение (2) в виде  .
Рассмотрим теперь различные возможные случаи в зависимости от D
1)      Если D > 0, то

 или  ,

 или ,

 или .

Таким образом, в этом случае уравнение (1) имеет два корня:

 и .

Принята следующая краткая запись:

, где ,   (I)

которую называют формулой корней квадратного уравнение.
2) Если D = 0, то уравнение (2) примет вид:

.  Отсюда , .
В этом случае уравнение (1) имеет один корень .
Формулой корней квадратного уравнения можно пользоваться и в этом случае. Действительно, при D = 0 эта формула принимает вид:
, откуда .
3) Если D < 0, то значение дроби - отрицательно и поэтому уравнение ,  а, следовательно, и уравнение (1) не имеют корней.

Таким образом, в зависимости от дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D < 0).  

При решение квадратных уравнений по формуле(1) обычно поступают следующим образом:

1)вычисляют дискриминант и сравнивают его с нулем;

2)если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользуются формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записывают, что корней нет.

Рассмотрим примеры решений квадратных уравнений по формуле.

Пример 1.Решим уравнение 12х²+7х+1=0.

Найдём дискриминант:

D=7²-4 12 1=1, D>0.

Применим формулу корней квадратного уравнения:

-7±√1

-7±1

Ответ: х =-    .  х =-     .

Пример 2.Решим уравнение х²-12х+36=0.

Имеем:

D=(-12)²-4 1 36=0,

12±√0

12±0

Ответ:6.

Пример 3.Решим уравнение 7х²-25х+23=0

Имеем

D=(-25)²-4 7 23=625-644, D<0                                                                Ответ:корней нет.                                                                                                  Для квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является четным числом.формулу корней удобно записать в другом виде. Рассмотрим квадратное уравнение     . Найдем его дискриминант:     . Очевидно, что число корней уравнения зависит от знака выражения    . Обозначим это выражение через    . Если    , то по формуле корней квадратного уравнения  получим, что     , т.е.     , где    . 
Если    , то уравнение корней не имеет.                            

Пример 4.Решим уравнение 9х²-14х+5=0:

D =(-7)²-9 5=4.

7±√4

7±2

Ответ:х =    .х =1.

§3 Решение неполного квадратного уравнения                Квадратное уравнение называется неполным, когда в нем  нет члена, содержащего х, или нет свободного члена. Неполные квадратные уравнения могут быть только трех следующих видов: 1)ax+c=0 2)ax²+bx=0.3)  .Рассмотрим решение каждого из них.            .                                                                         Из уравнения   находим   и  .Это равенство требует, чтобы квадрат неизвестного равнялся количеству  ; значит, неизвестное должно равняться квадратному корню из этого количества. Это возможно только тогда, когда количество   есть положительное число, что будет тогда, когда с и а имеют противоположные знаки. Квадратный корень из положительного числа имеет два значения; тогда, обозначая одно значение через  , а другое через  , можем написать  ;   . Если числа с и а имеют одинаковые знаки, топредставляет собой отрицательное число.                                                                                                                Чтобы решить уравнение 2 вида , вынесем общий множатель за скобки . Произведение может равняться нулю только тогда, когда какой-нибудь из множителей равен нулю; следовательно х = 0 или  . Второе равенство дает  . Итак, уравнение   имеет два корня    и  .                                                        .                               Наконец,рассмотрим квадратное уравнение 3 вида ,которое имеет только одно решение.Чтобы решить уравнение вида ах²=0 надо обе части уравнения разделить на а получим х²=0 отсюда х=0.

Приведём примеры на решение неполных квадратных уравнений каждого вида:

Пример 1(к 1 виду)Решим уравнение -15х²+3х=0

-15х²=-3

х²=

х=±

Ответ:_

Пример 2(к 1 виду)Решим уравнение 4х²+8=0

4х²=-8

х²=-2,.т.к. -2<0=> уравнение не имеет корней.

Пример 3 (ко 2 виду)Решим уравнение 4х²+9х=0

х(4х+9)=0

х=0 или 4х+9=0

4х=-9

х=-

х=-2

Ответ:-2   ;0.

Пример 4 (к 3 виду)Решим уравнение -5х²=0

х²=0

х=0                                                                                                                             Ответ:0

ГлаваIV Применение решений квадратных уравнений в школьном курсе математики.

После изучения теоремы Виета можно учащимся дать выполнить небольшой тест, на отработку решений квадратных уравнений различными способами..

Тест

11)Найдите сумму и произведение корней уравнения:

a)у²+41y-371=0;

b)х²-210х=0;

c)у²-19=0;

12) В уравнении х²=px-35=0 один из корней равен 7.Найдите другой корень и коэффициент p.

13)Определите знаки корней уравнения, не решая его:х²-18х+17=0

Решите задачи

1)Катя проплыла на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 час больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру.                            

2)Чтобы ликвидировать опоздание на 1 час поезд  на перегоне в 720 км увеличил  скорость, с которой должен был идти по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?

Заключение

     Из теоремы Виета, которая звучит так: «сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену”следует, что с теоретической точки зрения квадратное уравнение можно решить по формуле. Однако, практически, решение с помощью теоремы Виета в большинстве случаев значительно облегчает решение, т.к. сокращает число шагов решения.                                                                                        В современной математической теории используется теорема Виета как один из способов решения квадратных уравнений.                                                 Исходя из изложенного в данном проекте, можно сформулировать преимущества применения теоремы Виета при решении квадратных уравнений. Отмечу лишь один момент. Сильная продвинутость математических теорий представляет очень мощный и развитый математический аппарат, который рассмотрен в данном проекте.                                                                        Таким образом, решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета играют важнейшую роль, и занимает далеко не последнее место  в формировании у учащихся представлений о взаимосвязи курса алгебры и геометрии с их повседневной жизнью и с другими науками. То есть у них формируется один математический язык алгебры и геометрии. Что помогает лучшему усвоению этих предметов в школе.                                                                                        Разумеется, в использовании теоремы Виета решении квадратных уравнений есть свои слабые стороны, т. к подстерегает опасность заниматься очень сложной математической задачей. Тем самым и возникают проблемы использования теоремы Виета при решения квадратных уравнений. И по существу единственное, средство борьбы против этого-проверка опытными данными выводов математической теории.                                                        Все поставленные цели и задачи в данном проекте раскрыты.

              Библиография

1)Веселого И.А. Справочник по алгебре для школьников и абитуриентов, АСТ  

2)Выгодский М.Я Справочник по элементарной математике, АСТ, Астрель, 2003г

3)Гусев В.А Учебно-справочное пособие, Астрель, 2003г

4)Евсюк С.Л Математика, Книжный Дом, 1997г

5)Кордемский Б.А Математическая смекалка, Наука , 1991г

6)Нешков К.И Суворова С.Б Алгебра ,1995

7)Прохоров Ю.В Математика. Энциклопедия, Большая  Российская энциклопедия ,2004г

8)Смолякова Справочник по математике 5-8 класс, БАО

9)Старков С.Н Математические формулы и графики функции, Питер, 2003г

10)Текучева И.В Краткий справочник школьника 8-11классы, АСТ

11)Шах С. Гиннесс большая книга знаний, АСТ, 1997г

12) http://vio.fio.ru/vio_15/resource/HTML/Moor/P35_1/d_0.htm

13) http://altai.fio.ru/projects/group2/potok66/site/viet/index.htm

14) http://www.hrono.ru/biograf/bio_we/viet.html