Просто о сложном
Различные способы решения квадратных уравнений
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 prosto_o_slozhnom.pptx | 1.74 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Введение Цели работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений. Оценить достоинства и недостатки каждого способа. Научиться верно и рационально решать уравнения. 2 При решении квадратных уравнений учащиеся используют в основном один способ, с помощью дискриминанта. О решении несколькими способами, как правило, не приходится говорить. Данный проект позволяет обобщить и рассмотреть различные способы решения квадратных уравнений изучаемых на уроках алгебры; привести усвоенные способы в стройную систему. Конечным результатом усвоения таких систем знаний является сознательное овладение основными способами решения квадратных уравнений. Актуальность проекта
Историческая справка Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии , в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. 3
Задачи на квадратное уравнения встречаются в астрономическом трактате “ Ариабхаттиам ”, составлено в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой . Другой индийский ученый – Брахмагупта (VII век) изложил общие правила решения квадратных уравнений. Это правило по существу совпадает с современным. В древней индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: “Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.” Задачи часто обрекали в стихотворную форму. Квадратные уравнения в Индии 4
Квадратные уравнения в Европе в XIII-XVII вв. Формы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в “Книге абаха ”, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. 2x2+ bx =c При всех возможных комбинациях знаков и коэффициентов было сформулировано в Европе в 1544 году М.Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признал только положительные корни. Итальянские ученые Тарталья, Кардано , Бомбелли среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII веке благодаря трудам Жиррара , Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. 5
6 Знаменитый французский учёный Франсуа Виет (1540-1603) Благодаря его труду, алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на буквенном исчислении. Поэтому стало возможным выражать свойства уравнений и их корней общими формулами.
7 Способы решения квадратных уравнений 1 Способ «Разложение левой части на множители»
8 2 Способ «Метод выделения полного квадрата»
9 x 2 + px + q = 0 x 1 x 2 =q x 1 + x 2 = -p 3 Способ «Решение с помощью Теоремы Виета» По коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней
10 4 Способ «Графический» Если в уравнении х 2 + рх + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = - рх - q Построим графики зависимостей у = х 2 и у = - рх - q . График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая. Возможны следующие случаи: -прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; -прямая и парабола могут касаться на одной точке, т.е. уравнение имеет одно решение; -прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. уравнение не имеет корней.
11 Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки . ах 2 + bx + c = 0 Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х 1 ;0) и D ( x 2 ;0), где х 1 и х 2 -корни уравнения ах 2 + bx + c = 0 , и проходит через точки А(0;1) и С(0;с/а) на оси ординат. Тогда по теореме секущих имеем OB * OD = OA * OC , откуда ОС = OB * OD / OA = x 1 x 2 /1 = c / a . Центр окружности находится в точках пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому SK = (x 1 + x 2 )/2 = (-b/a)/2 = -b/2a SF = (y 1 + y 2 )/2 = (1+(c/a))/2 = (a + c ) /2a. 5 Способ «Решение с помощью циркуля и линейки»
12 6 Способ «Геометрический»
13 7 Способ «Решение с помощью номограммы»
14 ах2 + bx + с = 0, где а ≠ О. а2х2 + abx + ас = О. у2 + by + ас = О, У 1 У 2 X 1 = — И Х 2 = — а а При этом способе коэффициент о умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. 8 Способ «Переброски»
15 9 Способ «Решение по формуле»
16 10 Способ «Свойства коэффициентов квадратного уравнения»
17 Заключение Таким образом, с помощью этой работы мы узнали новую информацию по решению квадратного уравнения из дополнительной литературы и интернета. Для глубоких знаний изучили информацию об истории развития данной темы. Рассмотрели новые способы решения квадратных уравнений, что позволяет сэкономить в будущем время. При выполнении проекта было выявлено: Способы, чаще всего используемые: Теорема Виета; Свойства коэффициентов; Метод «переброски»; Разложение левой части на множители; Графический способ. Способы интересные, но не всегда удобные и занимают много времени: Графический способ; С помощью номограммы; Линейки и циркуля; Выделение полного квадрата.
18 Источники: http://www.uztest.ru http://arm-math.rkc-74.ru/p28aa1.html http://festival.1september.ru http://900igr.net/prezentatsii/algebra/Koren-uravnenija.html
Самый богатый воробей на свете
Самарские ученые разработали наноспутник, который поможет в освоении Арктики
Растрёпанный воробей
В.А. Сухомлинский. Самое красивое и самое уродливое
Под парусами
Комментарии
Решение квадратных уравнений.