Решение заданий с параметрами.

Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная  школа № 2.

Пятый районный конкурс творческих и исследовательских работ

Исследовательская работа

Тема: «Уравнения с параметрами»

                                                                           Выполнил: ученик 11 «А» класса

                                       Гопко Артём.

                          Руководитель: Учитель математики

                                               высшей категории

                                                                         Фирзина Ольга Владимировна.  

Барабинский район, 2009 год.

Рецензия  на творческую работу по алгебре и началам  анализа

«Математический анализ в экономике»

Ученика 11 «А» класса МОУСОШ №2 г. Барабинска

 Гопко Артёма.

Работа творческая с элементами исследования. В работе выдержаны требования к объёму, структуре, оформлению и содержанию:

1. составлен план,
2. указаны цель работы, задачи и объект исследования, выдвинута гипотеза, которая подтвердилась в процессе выполнения работы,
3. указана литература.

Данная работа соответствует заявленной теме, материал в работе изложен согласно составленному плану. Работа написана логично и последовательно.

В ходе работы Артём научился применять знания, полученные во внеурочное время для решения заданий с параметрами, которые встречаются как на уроках алгебры, так и при подготовке к выпускному экзамену. Для этого он изучили определение и основные способы решения уравнений с параметром разных типов.

В работе выдерживается научность, на школьном конкурсе творческих и исследовательских работ присвоена «высшая» категория.

Руководитель: ________________/Фирзина О.В./

Содержание:

Содержание…………………………………………………………………….

1. Введение…………………………………………………………………
2. Уравнения с параметрами………………………………………………

1. Алгоритм решения линейных уравнений с параметром………
2. Решение системы линейных уравнений с параметром…………
3. Квадратные уравнения с параметром……………………………
4. Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами…………………………………………………………………
5. Иррациональные уравнения………………………………………
6. Показательные и логарифмические уравнения………………….
7. Тригонометрические уравнения………………………………….

3. Заключение……………………………………………………………….
4. Список литературы……………………………………………………….

1. Введение.

      Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Решение уравнений с параметрами можно считать деятельностью близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, запись ответа, предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, полученные результаты. Здесь кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений, приходится обдумывать, по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на классы, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости.

          В своей работе я хочу показать некоторые методы решения различных уравнений с параметрами. Упор в работе сделан на аналитический способ решения уравнений, но в пункте  «Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным» на примере некоторых уравнений я рассматриваю графический способ решения уравнений с параметрами.

  Не только сложность и оригинальность задач с параметрами как учебных привлекают к себе внимание. Оно связано в большей степени с тем, что необходимой частью таких задач является исследование характера и конечного результата процесса, описываемого математической моделью уравнения или неравенства в зависимости от значения параметров, причем не всегда от каждого параметра в отдельности, но и от их совокупности. Решение таких задач очень неформально, требует владения многими методами, а сами задачи чрезвычайно разнообразны. Очень важно и то, что в таких задачах в полной мере реализуется принцип научности образования, т. к. методы решения задач с параметрами находят широкое применение в современной математике, как в теоретических ее разделах, так и в математическом моделировании.

Объект исследования: задания с параметрами.

Цель исследования: изучить способы решения уравнений с параметрами и овладеть этими способами при решении задач с параметрами.

Задачи:

1. Рассмотреть линейные уравнения с параметром.
2. Рассмотреть квадратные уравнения с параметром.
3. Рассмотреть системы линейных уравнений с параметром.
4. Рассмотреть иррациональные уравнения с параметром.
5. Рассмотреть показательные и логарифмические уравнения с параметром.
6. Научиться решать задания с параметрами, входящие в сборник ЕГЭ по математике.

Гипотеза: существуют общие методы решения заданий с параметрами, позволяющие решать задания разных видов.

2.1. Алгоритм решения линейных уравнений с параметром.

Рассмотрим алгоритм на данном примере

Перенесем все слагаемые с неизвестной переменной x в левую часть, остальные в правую.

 В левой части вынесем x за скобки.

Получаем уравнение вида:

Отсюда, найдем сколько решений имеет данное уравнение:

На что следует обратить внимание:

1. Рассмотрите случай, когда коэффициент K(a)  в уравнении вида K(a)x=b(a) равен нулю.
2. Укажите все случаи, когда коэффициент K(a)  в уравнении K(a)x=b(a)  не равен нулю
3. Проверяйте правильность переноса слагаемых из одной части уравнения в другую
4. Проверяйте правильность применения распределительного закона.
5. Проверяйте, является ли данное число единственным корнем уравнения при каждом найденном значении параметра a.

Рассмотрим несколько примеров на эту тему:

Пример 1: При каждом значении параметра a решить уравнение

 (1)

Переписав уравнение в виде (a+3)x=2(a+3), рассмотрим два случая:

 и .

Если , то любое действительное число является корнем уравнения (1)

Если же , то уравнение (1) имеет единственный корень .

Ответ:  при ;  при .

2.2. Решение системы линейных уравнений с параметром.

Пусть дана система линейных уравнений:

1) Для начала определим сколько решений имеет система:

  а) Если , то система имеет единственное решение

      (Если x и y второго уравнения не равны нулю).

  б) Если , то система имеет бесконечное   множество решений

      (Если ; ; ; ; )

  в) Если , то система не имеет решений

      (Если ; ; ; ; )

В данный системе хотя бы один из коэффициентов  и при x отличен от нуля, пусть для определенности .

    2) Выразим х из второго уравнения (т.к. ).

    3) Подставим полученное выражение в первое

    4) Полученное уравнение преобразуем к виду - линейное уравнение. А далее следуем алгоритму решения линейных уравнений с параметром.

        Для закрепления теоретических сведений я рассмотрел решение следующего примера:

Определите все значения параметра а, при которых система уравнений

 (1) имеет единственное решение.

Если , то система имеет единственное решение при выполнении условия , а для любых а система (1) имеет единственное решение, если выполняется условие        (2)

Так как  имеет два корня и , то при всех ,  выполняется условие (2), то есть система (1) имеет единственное решение.

Ответ: при , .

2.3. Квадратные уравнения с параметром.

Функции вида  (- квадратный трехчлен), где , в школьном курсе математики придается большое значение. Для нее строго доказываются все свойства, нужные в теории и для решения задач. При решении таких задач приходится работать с тремя типами моделей:

1. вербальная модель – словесное описание задачи;
2. геометрическая модель – график квадратичной функции;
3. аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.

Важно уметь устанавливать связь между этими моделями. Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз, или, если , то трехчлен имеет различные действительные корни и график пересекает ось абсцисс в двух точках. График  (парабола) находится ниже оси абсцисс, следовательно, a<0 и D<0. Последнюю геометрическую модель можно описать еще тремя способами: неравенство выполняется при любом х; неравенство  не имеет решений; трехчлен не имеет действительных корней и его старший коэффициент отрицателен.

Многие задачи решают по следующему алгоритмическому предписанию:

1. уравнение записывают в виде ;
2. выбирают контрольные значения параметра ( в качестве контрольных значений параметра чаще всего берут такие, что D=0, D<0, D>0, старший коэффициент квадратного трехчлена положительный, отрицательный, равный нулю и те значения параметра, при которых трехчлен становится неполным);
3. для каждого случая строят параболу ( геометрическую модель);
4. геометрическую модель описывают системой неравенств(аналитическая модель);
5. решают систему неравенств.

С помощью  дискриминанта можно определить количество решений.

1) если D<0, то уравнение не имеет корней;

2) если D=0, то уравнение имеет один единственный корень;

3) если D>0, то уравнение имеет два решения.

Также рассмотрим возможные случаи при решении квадратных уравнений с параметром:

Пусть  - абсцисса вершины;  ,  - корни трехчлена; A,B – некоторые точки на оси

    1) , , тогда и только тогда, когда

         или                                                

1. корни лежат по разные стороны от числа А тогда и только тогда, когда

         или                                            

2. оба корня больше А:

      или                      

3. оба корня лежат между числами А и В тогда и только тогда, когда

      или              

4. корни лежат по разные стороны от отрезка [AB] тогда и только тогда, когда

     или                      

В некоторых случаях при решении используется теорема Виета:

1. Квадратный трехчлен

2. Корни квадратного трехчлена  и , причем

3. Дискриминант квадратного трехчлена

4. В случае четности второго коэффициента

5. Теорема

6. Уравнение имеет два отрицательных корня при  условии:  

7. Уравнение имеет два положительных корня при  условии:

Для закрепления теоретических сведений я решил следующий пример:

При x∈-3;-1 x4-7x2-3 не равно ax2. Найти а.

Решу двумя способами. Способ 1:

x4-7x2-3≠ax2,  x∈[-3;-1)

x4-7x2-ax2-3≠0

x4-3-7x2+ax2≠0

x4-x27+a-3=0

Пусть x2=b, тогда fb=b2-b7+a-3=0,  b∈1;9

Корни имеют разные знаки, так как b1b2=-3

Уравнение имеет корень, если b2∈1;9

f1<0,f9≥0;

a>-9,a≤53;      условие, когда b2-b7+a-3=ab, при b∈1;9

Ответ: a∈-∞;-9∪53;∞.

Способ 2:

x4-7x2-3=ax2

Пусть x2=t, тогда       a=t2-7t-3t ,               ft=a

ft=t-7t-3t

f't=1+3t2>0 функция возрастает, значит ft=a если имеет корень t∈(1;9], то он единственный

f1=-9,

f9=53

При a∈-9;53   ft=a имеет решения, значит при a∈-∞;-9∪53;∞  ft=a

 Не имеет корней.

Ответ: a∈-∞;-9∪53;∞.

2.4. Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами

В МГУ был разработан координатно-параметрический метод (КП-метод) в сочетании с концепцией равносильности математических высказываний, реализованной в виде логической схемы замены иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств на равносильные им рациональные и алгебраические. Такая замена на равносильные уравнения и неравенства особенно  целесообразна в задачах с параметрами, т. к. в них трудно делать проверку на ОДЗ. Метод решения задач с параметрами использующий КП-плоскось (плоскость с осями параметр – переменная), называется КП-методом. КП-метод основан на определении множества всех точек КП-плоскости, значения координат x и параметра а, каждой (х, а) из которых удовлетворяет условию задачи.

По определенному множеству можно каждому допустимому значению параметра а = const сопоставить значение координат х таких точек этого множества, дающих искомое решение задачи и наоборот – каждому допустимому значению х подобрать соответствующее значение параметра а.

Для людей, у которых лучше развито левое полушарие мозга, координатно-параметрический метод более прост в понимании и применении, чем другие методы. Для объяснения принципа решения параметрических задач данным способом, рассмотрим его на примере задач ЕГЭ, решаемых этим способом.

Задача 1(2004 г.)Найти все значения а, при которых каждое решение неравенства  (2.1) удовлетворяет неравенству  (2.2).

Решение. Т. к. значение выражения  всегда больше или равно нуля, то для того чтобы выполнялось неравенство (2.2) нужно, чтобы  было меньше или равно нуля. Тогда неравенство (2.2) можно представить как систему неравенств:

A неравенство (2.1) примет вид .

Построим графики соответствующих (2.1) и (2.2) функций в системе координат xOa (рис. 2.1), и рассмотрим решения неравенств. Решением системы (2.2) находится ниже прямых a = - 2x и x = 3. Решение уравнения (2.1) – область внутри параболы a = - x2. Если объединить решения (2.1) и (2.2), то получим, что  и .

Ответ:  и .

2.5. Иррациональные уравнения.

     Уравнение   называется иррациональным с одним неизвестным  ,  если одна или обе его части содержат выражения, иррациональные относительно .    Как и в предыдущих случаях, мы будем разыскивать действительные корни, причем, будем исходить из того, что    при   и  - четном, т.е. в случае  (- натуральное),  будем рассматривать только арифметическое значение .

     Решение таких уравнений сводится к постепенному переходу к рациональному уравнению путём возведения в степень обеих частей уравнения. Но известно, что в таком случае возможно появление посторонних корней. Следовательно, решение должно сопровождаться тщательной проверкой.

Далее я привожу решение нескольких примеров на эту тему:

Пример 1: При каких a уравнение x-ax2-3x-4-6=0 имеет 3 корня.

Решение:

x-ax2-3x-4-6=0                             О.Д.З.: a>0, x2-3x-4>0

x-a=0    или     x2-3x-4-6=0                          x∈-∞;-1∪[4;∞)

x=-a                    x2-3x-4=6

a=x2                         x2-3x-4=6

a∈16;∞                D=9+40=49

a≠25                         x1=3+72=5    при а=25 уравнение имеет 2 корня

                                      x2=3-72=-2

Ответ: a∈16;25∪25;∞

Пример 2: при каких а уравнение a+x22x+3x+7=0 имеет 2 корня?

Решение:

a+x22x+3x+7=0                           О.Д.З.: 3x+7≥0; x≥-73

a+x2=0                                          или          2x+3x+7=0

a+x2=0 имеет 1 корень при                     2x=-3x+7

D=b2-4ac=0                                              4x2=3x+7 

-4a=0                                                               4x2-3x-7=0

a=0;                                                                   D=121     

a=-x2                                                              x1=148 посторонний корень

Если x∈-73;∞ то a∈(-∞;-499)          x2=-1 при a=-1 уравнение имеет 2 корня

Ответ: a∈-∞;-499∪-1∪0.

2.6. Показательные и логарифмические уравнения.

     Уравнение вида  ,  где  и    называется элементарным показательным уравнением. Его областью определения служит общая часть областей определения функций    и  .  При  решением уравнения служат все числа множества  .  При      оно равносильно системе:

при  ,      системе:

     При   (,  ,  ,   ) мы получим уравнение  ,  равносильное исходному уравнению.

     Для решения уравнения в случае    (,  )  будем исходить из того, что уравнения    и  ,  где ,    равносильны. Совершенно безразлично, какое положительное, отличное от единицы число, взять в качестве основания логарифма.

     Решение любого показательного уравнения, сводится к нахождению корней некоторого элементарного показательного уравнения.

     Уравнение вида  ,   где ,  ,  ,   ,  называется элементарным логарифмическим уравнением. Областью определения уравнения  служит решение системы:

     При   получим уравнение   ,  равносильное исходному уравнению.

          Если  ,  то решение исходного уравнения сводится к решению уравнения    ,  что равносильно.

           Решение логарифмического уравнения, как правило, сводится к нахождению корней элементарного логарифмического  уравнения.

Я решил следующее логарифмическое неравенство с параметром:

 При каких а неравенство 1+log5(x2+1)≥log5(ax2+4x+a) верно при любых x∈R ?

1+log5x2+1≥log5ax2+4x+a                         О.Д.З.: ax2+4x+a>0

log55+log5(x2+1)≥ log5ax2+4x+a

5x2+5≥ax2+4x+a

a-5x2+4x+a-5≤0

Квадратное неравенство верно при всех x, если a-5<0 (ветви параболы направлены вниз) и D<0

ax2+4x+a>0,16-4a-52<0,a-5<0;

 Решу второе неравенство

16-100-4a2+40a<0

-4a2+40a-84<0

a2-10a+21>0

D=16

a1=7,

a2=3.

ax2+4x+a>0,a≤3, a≥7,a<5;

Решу первое неравенство

ax2+4x+a>0 неравенство верно при всех x, если D<0, a>0

16-4a2<0

4a2>16

a>2

a<-2, a>2

ax2+4x+a>0,a≤3, a≥7,a<5;<=> a<-2, a>2,a≤3, a≥7a<5,a>0.

Ответ:  a∈2;3.

2.7. Тригонометрические уравнения.

     Уравнения называются тригонометрическими, если переменная  находится только под знаком тригонометрической функции. Решение таких уравнений сводится к нахождению корней одного из простейших тригонометрических уравнений.

     Уравнение  ,  где  ,  равносильно  совокупности уравнений   ,  где  .  

     Уравнение  , где  , равносильно совокупности уравнений   ,  где  .

     Каждое из уравнений   и ,  соответственно равносильно уравнениям  ,  где  ,  и  ,     где    .

Теперь решу пример на эту тему:

При каких а уравнение sinx+a+2cos5x+4-a2=0 имеет решение?

Решение:

sinx+a+2cos5x+4-a2=0                О.Д.З.: a+2≥0;a≥-2

sinx+a+2=0                                      cos5x+4-a2=0

sinx=-a+2                                          cos5x=a2-4

-1≤-a+2≤1                                    -1≤a2-4≤1

-a+2≥-1                                             3≤a2≤5

a+2≤1                                                  a2≤5,a2≥3;  -5≤a≤5,a≤-3;a≥3; a∈-5;-3∪3;5

-1≤a+2≤1                                           

-3≤a≤-1

a∈-3;-1

-1

-2

-3

a

-5

-3

5

3

Ответ: a∈-2;-1∪[3;5].        

1. Заключение.

В результате работы по выбранной теме я решил поставленные задачи: рассмотрел основные принципы решения линейных уравнений с параметрами, квадратных уравнений с параметрами, показательных и логарифмических уравнений с параметрами, тригонометрических, иррациональных уравнений с параметрами, а также познакомился координатно-параметрическим методом; и научился решать задания с параметрами, входящие в сборник ЕГЭ.

Решённые задачи подтверждают выдвинутую в начале работы гипотезу, что существуют общие методы решения заданий с параметрами. Работа по данной теме помогла мне в подготовке к выпускному экзамену, а также может служить пособием для факультативного курса «Уравнения с параметром».

Литература

1.Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Москва «Просвещение». 1990 г.

2.П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Задачи с параметрами. «Гимназия». Москва-Харьков. 2003 г.

3.Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков. Алгебра. Учебник для 9 класса. Москва. «Просвещение».2004 г.

4.Л.А.Муравей, Р.Д.Кулакова, А.А.Миронов. Математика, Учебное пособие под редакцией Л.А.Муравья. Москва. БРИДЖ. 1994 г.

5.И.Ф.Шарыгин, В.И.Голубев. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 11 класса. Москва «Просвещение». 1991 г.

6. Арнольд В.И. Для чего мы изучаем математику.- Квант №10, 1992, с.5-15

7. Г.Г. Малинецкий. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент – М.: УРСС, 2002

8. В.И.Арнольд. Теория катастроф – М.: Наука, 1990

9.Ю.М.Свирежев. Нелинейные волны, диссипативные структуры, ка-тастрофы в экологии – М.: Наука, 1987

10. Единый государственный экзамен.- Математика.- Методика полготовки. - М.: Просвещение, 2005 г.

11. Задачи с параметрами.- Координатно-параметрический метод.- Учебное пособие /В.П. Моденов. - М.:Издательство "Экзамен", 2006