Параллелограмм Вариньона

Администрация города Улан-Удэ

Комитет по образованию

Муниципальный центр оценки качества образования

XVII научно-практическая конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»

Исследовательская работа по геометрии:

Тема:

Параллелограмм Вариньона

                                                                                                       Работу выполнила: Каунева

                                                                                                                  Антонина Николаевна

                                                                                                                           Ученица 9 класса

                                                                                                                     МАОУ «ФМШ №56»

                                                                                        Научный руководитель: Маленкова

                                                                                                                   Татьяна Анатольевна

                                                                                                                    Учитель математики

                                                                                                                        Высшей категории

                                                                                                                     МАОУ «ФМШ №56»

г. Улан-Удэ

2010г.

Оглавление

Введение………………………………………………………………………………3

1. Основные теоретические сведения

   1.1. Определение……………………………………………………………………4

   1.2. Теорема Вариньона…………………………………………………………….4

   1.3. Следствия из теоремы Вариньона

       1.3.1. Следствие 1………………………………………………………………...4

       1.3.2. Следствие 2………………………………………………………………...5

       1.3.3. Теорема Эйлера…………………………………………………………….6

       1.3.4. Теорема о бабочках……………………………………………………......7

2. Разбор задач

       2.1.Задачи из школьного курса геометрии…………………………………...…8

       2.2. Конкурсные задачи…………………………………………………………..

3. Выводы……………………………………………………………………………...

            4. Литература ………………………………………………………………………….

Введение.

«Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и, по крайней мере, столь же обширной, как анализ, геометрия в большей степени чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться».

Е. Т. Белл.

Актуальность темы:

  Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств. Применение опыта решения планиметрических  задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

Цель работы:

        Исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее.

            Предмет: Планиметрические задачи

            Объект: Параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее.

            Гипотеза: Параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении планиметрических задач.

            Проблемы: Выяснить, действительно ли параллелограмм Вариньона позволяет рациональней получить решение задачи.

            Задачи:

1. Изучить теоретический материал: параллелограмм Вариньона

                                                                 бимедианы четырехугольника

                                                                       теорема Вариньона и следствия из нее

2. Рассмотреть различные приемы решения планиметрических задач
3. Сравнить решения одной и той же задачи, применяя теорему Вариньона и традиционный подход
4. Выяснить практическое применение данной теоремы в задачах по геометрии школьного курса и в конкурсных задачах.

Практическое значение: Данная работа может быть использована для проведения  практических занятий на элективных курсах с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному Экзамену и поступлению в ВУЗ. Также изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам и успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах.

1. Основные теоретические сведения.

1. Определение.

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

Французский математик, механик и инженер Пьер Вариньон(1654-1772), руководивший «Журналом ученых» в Париже и написавший учебник по элементарной геометрии (издан в 1731г.), по-видимому, первый заострил внимание  на, казалось бы, довольно очевидном факте: середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. В дальнейшем этот параллелограмм стали называть Параллелограммом Вариньона. 

1.2.Теорема Вариньона.

Формулировка:

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Доказательство:

1. рассмотрим (рис. 1) одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. Так как KL является средней линией треугольника ABC, то KL║AC. По тем причинам MN║AC. Следовательно, KL║NM и  KL=MN=AC/2. таким образом, - параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.

Рис. 1

Рис. 1

2. средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников (см. рис.1) равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCDТеорема доказана.

1.3. Следствия из теоремы.

1.3.1. Следствие 1.

1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

     а) диагонали равны (см. рис. 2,а);

     б) бимедианы перпендикулярны(см. рис. 2,б).

Доказательство.

Рис. 2 б)

Рис. 2 а)

     а)  Так как диагонали  исходного четырехугольника равны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм Вариньона является ромбом (по признаку ромба).

     б) Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

2. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

     а) диагонали перпендикулярны(см. рис. 3,а);

     б) бимедианы равны(см. рис. 3,б).

Доказательство.

Рис. 3 б)

Рис. 3 а)

     а)  Так как диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

     б) Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

3. Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

     а) диагонали равны и  перпендикулярны(см. рис. 4,а);

     б) бимедианы равны и перпендикулярны (см. рис. 4,б).

Доказательство.

Рис. 4 б)

Рис. 4а)

     а)  Так как диагонали исходного четырехугольника равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является квадратом (по признаку квадрата).

     б) Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

1.3.2. Следствие 2.

        Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство.

Пусть KM и LN – бимедианы ABCD, PQ – отрезок, соединяющий середины диагоналей АС и BD.

То, что бимедианы KM и LN точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам (рис.5, а и б; обращаем внимание на то, что в невыпуклом четырехугольнике одна из диагоналей расположена вне четырехугольника).

Рис. 5 б)

Рис. 5 а)

Используя теорему  о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем:

LQ║CD║PN  и  PL║AB║NQ.

Тем самым, PLQN – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

1.3.3. Следствие 3.(теорема Эйлера).

Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть.

Доказательство.

Рис.6

Уже было отмечено что LPNQ – параллелограмм (рис.6).

Поэтому

;

В последнем равенстве мы дважды воспользовались теоремой о средней линии треугольника. Аналогично для параллелограмма KPMQ имеем:

.

Кроме того,

,

Так как KLMN – параллелограмм Вариньона четырехугольника ABCD. Складывая первые два равенства и учитывая последнее, получаем соотношение Эйлера.

1.3.4.Следствие 4.(теорема о бабочках).

Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM  выпуклого четырехугольника ABCD равны (рис. 7).

Доказательство.

Рис.7

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника.  Получаем:

.

Что и требовалось доказать.

2. Разбор задач.

2.1.задачи из школьного курса геометрии.

Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые встречаются в школьном курсе геометрии.

 Задача 1.

Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот.

Доказательство.

1-ый способ

1-   AC – диагональ.  KL - средняя линия треугольника ABC. NM – средняя линия треугольника ADC.  Треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (AB=DC, BC=DC, AC – общая сторона) => KL=NM. Также KL||NM (AC||NM, AC||KL) => KLMN- параллелограмм.

2-  из первого следует, что KL=NM. Аналогично можно доказать, что LM=KN.

3-  ABCD – прямоугольник => AC=BD. => KL=LM=MN=NK=> KLMN – ромб.

            2-ой способ

А)Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см.следствие 1, 1, а);

Б)Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1, 1, б).

                   A                                      L                                       C                                                                                                                                    

                 K                                                                                    M             (рис.7)

                  B                                       N                                       D

Задача 2. У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение. 

1-ый способ

1-подобно предыдущей задаче, нужно доказать, что KLMN – параллелограмм.

2- KL||AC||NM  KL=NM=0,5AC а LM||BD||KN а LM=KN=0,5BD

3- P(ABCD)=KL+NM+LM+KN= 0,5AC+0,5AC+0,5BD+0,5BD=BD+AC=a+b.

2-ой способ

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.

.

2.2. Конкурсные задачи.

Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые взяты нами с различных математических конкурсов и олимпиад.

Задача 1

Пусть K,L,M,N– середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD(см. рис. 8). Докажите, что

 , где – угол между бимедианами четырехугольника;

Рис. 8

,где – угол между диагональю AC и бимедианой LN.

Решение.

1-ый способ:

1-  то, что KLMN – параллелограмм мы уже доказали в предыдущих задачах.

2- средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD

3-      

              2-ой способ:

а)  Так как KLMN- параллелограмм Вариньона, а KM и NL – бимедианы, то , где O – точка пересечения бимедиан (см. следствие 2),  (см. теорему Вариньона).

Задача 2

Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.  (Всеукраинские олимпиады)  

            Решение    (для решения этой задачи можно использовать рис. 7)

1. AC=BD => KLMN – ромб.
2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей

SKLMN = 0,5*KM*LN. SABCD=2SKLMN=0,5*2*KM*LN=KM*LN.

         Что и требовалось доказать

Список используемой литературы.

1. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. сред. шк.- М.: Просвещение,1990.- 384 с.
2. Штейнгауз Г.Математический калейдоскоп. – М.:наука,1981.
3. Прасолов В.В. задачи по планиметрии. – Т.1, 2. – М.: Наука,1995.
4. Коксетер Г. С. М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука,1978.
5. В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 - №22.
6. Филипповский Г.Б. «Параллелограмм Вариньона решает задачи» статья

из научно-теоретического и методического журнала Математика в школе