Чудеса и тайны числовых последовательностей

Опубликовано Тимошенко Татьяна Васильевна вкл 09.03.2012 - 10:45

Автор:

Шимпф Виктория

Предлагаем исследовательскую работу по математике

Скачать:

Вложение	Размер
chudesa_i_tayny_chislovyh_posledovatelnostey.docx	660.28 КБ

Предварительный просмотр:

Министерство образования Омской области

Детская областная общественная организация

«Научное общество учащихся «Поиск»»

Муниципальное образовательное учреждение

«Южно – Подольская средняя общеобразовательная школа»

Чудеса и тайны числовых последовательностей

научно – практическая работа

математика

Работу выполнила: Шимпф Валерия

ученица 6а класса МОУ «Южно – Подольская СОШ»

Руководитель: Тимошенко Татьяна Васильевна

учитель математики МОУ «Южно – Подольская СОШ»

2012

Оглавление

Введение___________________________________________стр. 3

Исследовательская часть_____________________________ стр. 4

Исследование 1. «Дойти девятки»
Исследование 2. «Разности»
Исследование 3. «Чётная и нечётная цепь»
Исследование 4. «Только однозначные числа»

1.5 Исследование 5. «Последовательность квадратов»

1.6 Исследование 6. «Спирали»

II. Заключение________________________________________ стр. 10

Литература_________________________________________стр. 12

Введение

Наш учитель говорит, что математический подход к окружающему миру – это способ познать его. Математические знания нужны сегодня всем – не только специалисту – математику, инженеру, учёному, но и врачу, рабочему, моряку или спортсмену, даже художнику и литератору.

А я больше всего люблю решать различные математические головоломки, находить числовые закономерности. Поэтому меня заинтересовали числовые последовательности.

Цель своей работы я определила так: исследовать различные числовые последовательности и выявить закономерности вычисления их членов.

Задачи исследования:

1. Выявить закономерности получения числовой последовательности, состоящей из двузначных чисел..

2. Определить зависимость получения числовой последовательности от способа задания её членов.

3. Выяснить отличия чётной и нечётной последовательностей.

На основании полученных результатов рассмотреть перспективы получения одних и тех же закономерностей в числовых последовательностях. Работа носит практический характер, так как ярко иллюстрирует закономерности, способы задания и вычисления членов числовых последовательностей.

Методы исследования:

Сбор информации:

- изучение литературы;

- работа в сети интернет.

2. Анализ и обработка данных

3. Математический расчёт и иллюстрирование закономерностей

Исследовательская часть

Числовые последовательности очень легко придумывать, но не так – то легко вычислять их члены! Некоторые из приведённых мной последовательностей потребовали использования микрокалькулятора. А вот для первых двух исследований достаточно было карандаша и бумаги.

Исследование 1 «Дойти до девятки»:

Я взяла двузначное число 62

Перевернула его 26

-----

Нашла разность 36

Перевернула его 63

Перевернула ещё раз 36

------

Нашла разность 27

Сделала то же ещё раз 72

-----

И ещё раз 45

-----

Здесь цепь обрывается, потому что получилось однозначное число – 9.

Получилась вот такая последовательность (или назовём всё это цепью):

Я попробовала построить такую цепь для других исходных чисел - 17, 67, 25, 35, ….

Я задала себе вопрос: Что я могу сказать о членах этих последовательностей? Мне нужно было выявить закономерность в вычислениях членов числовых последовательностей.

Затем я исследовала цепи, начинающиеся с чисел 36, 52, 47, 58 (все они имеют разность цифр, равную трём):

Я взяла двузначное число 52

Перевернула его 25

-----

Нашла разность 27

Перевернула его 72

Перевернула ещё раз 27

------

Нашла разность 45

Сделала то же ещё раз 54

----

Получила следующую последовательность: 52, 27, 45, 9.

Затем я исследовала числа, у которых разность между цифрами равна четырём (это числа 15, 73, 59, 84 и т.д.).

Так я исследовала все двузначные числа, чтобы объяснить, почему цепи всегда доходят до числа 9.

Вывод: Это происходит потому, что цифра 9 является последней в употребляемой нами системе счисления.

Исследование 2 «Разности»:

Эту последовательность я получила, когда записала под каждой парой чисел их разность. Четвёртое число – это разность между последним и первым числами в предыдущем ряду. Начинаем записывать набор из четырёх чисел в порядке возрастания.

2 6 7 9

4 1 2 7

3 1 5 3

2 4 2 0 Эта цепь оборвётся через два ряда

2 2 0 2

0 0 0 0

Я исследовала другие исходные наборы из четырёх цифр. И выяснила, что для четырёх цифр цепь всегда кончается рядом нулей. Это я доказала, установив, что после четырёх шагов все члены становятся чётными (см. Приложение 1), после восьми шагов все члены делятся на 4, а после двенадцати шагов все члены делятся на 8.

Исследование 3 «Чётная и нечётная цепь»

Эту последовательность можно задать следующим образом: Если число чётное, раздели его на 2. Если число нечётное, умножь его на 3 и прибавь 1. Я составила 10 полных цепей. Себе я задавала следующие вопросы:

Как это происходит? Каждая ли цепь кончается одинаково?

Вывод:

Каждое число даёт последовательность, которая кончается кольцом

Исследование 4 «Только однозначные числа»

Эту последовательность можно задать следующим образом: Начать с числа от 1 до 9. Удвоить его. Если результат больше 10, вычесть из него 10. Удвоить опять и тд.

Исследовав все исходные числа, я пришла к выводу: Последовательность кончается либо нулём, либо вот таким кольцом.

(см. Приложение 1. (2))

Исследование 5 «Последовательность квадратов»

На этой схеме я показываю начало исследования, связанного с точными квадратами. Точный квадрат – это результат умножения какого – нибудь числа на само себя. Члены этой последовательности получены сложением квадратов цифр какого – нибудь двузначного числа.

32 +22 = 13

12 + 32 = 10

12+ 02 = 1

145

Разбивку на цифры и возведение в квадрат продолжались до тех пор, пока последовательность не кончилась или (как в случае с числом 89) не зациклилась. Проводя это исследование, я хотела ответить на следующие вопросы:

Верно ли, что любые две последовательности, полученные таким образом, имеют общий член?
Можно ли соединить отдельные цепи, используя все числа от 1 до 100?

Вывод: 1. Да, любые две последовательности, полученные таким образом, имеют общий член.

2. Если включить все числа до 100, то всё равно останется два отдельных куска.

Исследование 6 «Спирали»:

Что общего между Млечным Путём, ананасом, горным бараном, морской раковиной и последовательностью чисел 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4,…?

Исследование числовых последовательностей привело меня к такому интересному факту – Млечный Путь, ананас, горный баран, морская раковина и последовательности – это всё примеры спиралей. Не верите? Сейчас я это вам покажу:

Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4…описывает вот такую спираль:

Каждое из этих чисел показывает величину расстояния, проходимого по линии квадратной сетки до очередного поворота. Каждый поворот делается против часовой стрелки.

Похожая спираль на треугольной сетке описывается последовательностью чисел 1, 2, 3, 4, 5,…:

Я решила продолжить своё исследование и изучить многообразные спирали, описываемые разными числовыми последовательностями.

Числовая последовательность 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 4, 1… привела меня к самопересекающимся спиралям:

При исследовании я обнаружила, что некоторые последовательности содержат повторяющиеся группы чисел (такую группу называют периодом).

Вот пример: 1, 3, 3,4, 1, 3, 3,4, 1, 3, 3,4,

А последовательность 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4,

Задаёт не только периодическую, но и самопересекающуюся спираль.

Я исследовала другие периодические последовательности, брала числа и любую длину периода. Но пришлось быть очень внимательной! Включение в период нуля (например, последовательность 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1) или отрицательных чисел (например, 2, 1, -3, 2, 1, -3..) приводит к некоторым сложностям! Так, (-3) означает «пройти на три в противоположном направлении». Эти спирали я строила на треугольной и шестиугольной сетке.

Заключение

Я поняла, что математическими исследованиями заниматься очень интересно. Я часто задавала себе вопрос: «А какой же способ правильный?» Оказалось, что все они правильны, но я выбрала тот, который мне больше нравится. С математическими исследованиями всегда так: ты поворачиваешь их той стороной, которая тебе наиболее удобна и приятна. Но как бы я за них, ни бралась, кое – что мне очень понадобилось. Это кое – что – воображение, организованность и время. Чтобы моё исследование принесло как можно больше пользы, мне понадобилось систематизировать свои результаты. Вот тогда я обнаружила новые закономерности. Мысли, которые приходили в голову, я сразу записывала, чтобы, даже если и не смогу ими воспользоваться немедленно, они не потерялись и не забылись.

Использовала все доступные мне способы, чтобы облегчить оформление результатов (таблицы и чертежи). При необходимости пользовалась микрокалькулятором.

По результатам исследования я пришла к следующим выводам:

- двузначные числа образуют цепи, которые всегда доходят до числа 9;

- для четырёх цифр последовательность всегда кончается рядом нулей;

- числовые последовательности легко придумывать, но очень сложно вычислять их члены, важно найти закономерности;

- исследование числовых последовательностей привело меня к такому интересному факту – Млечный Путь, ананас, горный баран, морская раковина и числовые последовательности – это всё примеры спиралей.

Данная работа имеет перспективы для расширения знаний о числовых закономерностях, для развития интереса к математическому исследованию, материал исследования можно применять на уроках математики при изучении темы «Последовательность», на занятиях математического кружка.