Функция
В презентации обобщается и систематизируется материал по теме "Функция", подобраны задачи по теме из экзаменационных работ по математике. Может применяться при подготовке к экзамену в 9 классе.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 funkciya.ppt | 2.71 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Что такое функция? Функциональная зависимость, или функция, - это такая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой говорят, что она является функцией от этого аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции .
Способы задания функций 1.С помощью таблицы. 2.Графический 3.С помощью формулы. y=f(x) 4.Описательный. x 1 2 3 4 f(x) 12 6 4 3
Что такое график функции? Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.
Из истории Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их предметы взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что: • чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.
Когда возникли первые цивилизации, образовались большие армии, началось строительство гигантских пирамид. Древние учёные стали составлять таблицы для облегчения вычислений. В Древнем Вавилоне были составлены таблицы для функций y=1/x, y=x^2, y= x^3, y= x^2+x^3.
Понятие переменной величины было введено в науку французским учёным и математиком Рене Декартом (1596-1650). Он ввёл идею числовой функции числового аргумента. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. Он начал геометрически изображать не только пары чисел, но и уравнения, связывающие два числа.
Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришёл другой французский математик – Пьер Ферма (1601-1665). Он был советником тулузского парламента и занимался математическими исследованиями лишь в свободное время. Тем не менее Ферма получил ряд первоклассных результатов в различных областях математики.
Термин «функция» начал применять в конце XVIII века Лейбниц (1646-1716) и его ученики.
Определение функции, приближенное к современному, дал Иоганн Бернулли : « Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».
Линейные функции Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b , где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа. Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика , отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую. Прямая пропорциональность – функция вида у=кх , где х – независимая переменная, к – не равное нулю число. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.
Построение графика линейной функции Для построения графика линейной функции необходимо: - выбрать любые два значения переменной х (аргумента), например 0 и 1; - вычислить соответствующие значения переменной y (функции). Полученные результаты удобно записывать в таблицу х 0 1 у
- полученные точки А и В изображаем в системе координат; - соединяем по линейке точки А и В. Пример. Построим график линейной функции y = -3·x+6. х 0 1 у 6 3
Квадратичная функция Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax²+bx+c. Рассмотрим случай, когда a=1,b=0 и c=0. Формула примет вид y=x². Вы, наверно, уже знаете, какая зависимость между площадью квадрата и длиной его стороны. Зависимость между площадью квадрата и длиной его стороны следующая: площадь квадрата равна квадрату его стороны. А как изменяется площадь в зависимости от изменения длины стороны? Эта зависимость является примером новой функции. Чтобы поближе с ней познакомиться, построим график этой функции. Для того, чтобы построить график этой функции, нам необходимо составить таблицу соответственных значений x и y. Построим эти точки на координатной плоскости. А затем через эти точки проведём плавную линию Мы получили график функции y=x² , который называется параболой . Если х=0 , то и у=0 . Если х ≠0 , то у>0. Противоположным значениям х соответствует одно и тоже значение у .
Свойства парабол: 1. Любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от параболы проходит через ее фокус. 2. Касательная в любой точке параболы делит пополам угол между прямой, соединяющей точку касания с фокусом, и перпендикуляром, опущенным из этой точки на директрису. Эти свойства парабол используют при конструировании солнечных печей, телескопов, параболических антенн. Параболические антенны можно увидеть около любого аэродрома – они используются для того, чтобы собрать в одну точку все сигналы радиолокатора, отраженные от самолета. В прожекторах, наоборот, свет, исходящий из фокуса параболического зеркала, после отражения образует параллельный пучок и не рассеивается. По этой причине форму параболоида вращения имеют и автомобильные фары.
Кубические функции Кубической функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=x ^ 3 . Чтобы поближе с ней познакомиться, построим график этой функции . Для того, чтобы построить график этой функции, нам необходимо составить таблицу соответственных значений x и y . Построим эти точки на координатной плоскости. А затем через эти точки проведём плавную линию. Мы получили график функции y=x ^ 3 , который называется кубической параболой.
Свойства кубической функции: 1. Если х = 0 , то у = 0 , т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат. 2. Если х > 0 , то у > 0 , а если х < 0 , то у < 0 , т.е. кубическая парабола лежит в первой и третьей координатном четвертях.. 3. Множеством значений функции y=x3 является вся числовая прямая. 4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то и значения функции отличаются только знаком, т.е. кубическая парабола симметрична относительно начала координат ( функция y=x ^ 3 - нечетная). 5. Функция y=x ^ 3 возрастающая в области определения.
Обратная пропорциональность Обратной пропорциональностью называется функция , которую можно задать формулой вида у=k/х , где х - независимая переменная и k - не равное нулю число. Областью определения такой функции является множество всех чисел, отличных от нуля. Если величины x и y обратно пропорциональны , то функциональная зависимость между ними выражается уравнением y = k / x , где k есть некоторая постоянная величина. График обратной пропорциональности есть кривая линия, состоящая из двух ветвей. Этот график называют гиперболой. В зависимости от знака k ветви гиперболы расположены либо в 1 и 3 координатных четвертях ( k положительно), либо во 2 и 4 координатных четвертях ( k отрицательно). На рисунке изображен график функции y = 2/ x .
Задачи прошедших веков, связанные с понятием функции
Задача Лейбница о трактрисе (собачьей кривой) Пусть по оси абсцисс бежит собака, а ее хозяин (первоначально находившийся на оси ординат) бежит за ней так, что поводок все время натянут. В этом случае поводок будет направлен по касательной к пути хозяина. Требуется найти, по какой линии бежит хозяин собаки. Эту кривую называют трактрисой. Через полтора столетия после ее открытия она сыграла роль в утверждении неевклидовой геометрии Лобачевского: если повернуть трактрису вокруг оси абсцисс, то на полученной поверхности вращения будет выполняться геометрия Лобачевского.
Пушки и учёные Траекторией снарядов интересовались многие ученые. Особенный интерес возник с момента изобретения пороха (в XIII веке). Ни одна тогдашняя крепость не могла долго выдержать артиллерийский огнь. Сначала применяли лишь настильный огонь, а это не давало возможности располагать артиллеристов в укреплении за холмом. Лишь позже догадались применять навесный огонь, позволяющий стрелять из-за укрытия. Чтобы обеспечить прицельность навесного огня, нужно было изучить движение тела, брошенного под углом к горизонту. Учёные доказали, что тело движется по параболе. Если при заданной начальной скорости снаряда V менять угол α, то получится бесконечное множество парабол. Все параболы, для которых 45° ≤ α ≤ 90°, касаются одной и той же линии, имеющей уравнение Y=½(V²/g – gx²/ V²)Её называют параболой безопасности. Если точка N находится вне ограниченной ею области, то при начальной скорости V снаряд не попадёт в N ни при каком угле наклона.
Оптические свойства параболических зеркал По дошедшей до нас легенде Архимед построил вогнутые зеркала и с их помощью сжег римские корабли. Большинство ученых отвергают эту легенду, поскольку такие зеркала должны были бы иметь слишком большие размеры, а это невозможно при тогдашнем уровне техники. Но если даже история о сожжении кораблей легендарна, то все-таки сжечь римский флот при помощи параболических зеркал возможно. Результаты, полученные Архимедом, были основаны на следующем утверждении: любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от параболы проходит через ее фокус. Это же свойство параболы можно сформулировать и так: касательная к любой точке параболы делит пополам угол между прямой, соединяющей точку касания с фокусом, и перпендикуляром, опущенным из этой точки на директрису
Для того чтобы построить зеркало, собирающее солнечные лучи в одной точке, нужно отшлифовать его по параболоиду вращения – поверхности, получаемой при вращении параболы вокруг ее оси. Если направить такое параболическое зеркало на Солнце, то все отраженные лучи пройдут через фокус параболы, и температура в нем окажется настолько большой, что с помощью солнечных лучей можно будет вскипятить воду, расплавить свинец и т.д. Отсюда происходит и само название «фокус», означающее по-латыни «очаг».
Задания
Линейные функции 1.Из предложенных формул выберите ту формулу, которая задает функцию, представленную на графике а) у=-3х+1; б) у=2х+1; в) у=3х+1.
2. Лыжник вышел из поселка и через t ч оказался на расстоянии S км от него. Запишите формулу, задающую зависимость S от t, если скорость лыжника была равна 10 км/ч. а) S=10t ; б) S=10+t ; в) S=10-t. 3. Зависимость калорийности молока от его жирности можно выразить формулой k=100a+330, где k – калорийность молока в калориях, а – процент жира в молоке. Является ли эта зависимость линейной функцией? Исходя из личного опыта, укажите, какие из предложенных множеств наиболее точно задают область определения А и область значений K функции. а) А – все положительные числа, K – все положительные числа. б) А – все числа, удовлетворяющие неравенству 0<а<10, K – все положительные числа, удовлетворяющие неравенству 330<а<1330. в) А – натуральные числа от 0 до 10, K- натуральные числа от 330 до 1330.
Квадратичные функции 1.Из предложенных формул выберите ту формулу, которая задает функцию, представленную на графике а) у=x ^ 2; б) у=-2x ^ 2; в) у= x ^ 2+1.
2.Используя формулу S=x2, где S – площадь квадрата, х – длина его стороны, определите, как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 10 раз? а) увеличится в 10 раз; б) увеличится в 20 раз; в) увеличится в 100 раз. 3. Комета удаляется от Земли по параболе, задаваемой уравнением S=100000+ t·v², где v – скорость кометы, км/с, S – расстояние от кометы до Земли, км, t – время, с. Какое расстояние будет между кометой и Землей через один месяц, если v= 10 км/с? а) 259300000 км, б) 72000000км, в) 7300000 км.
Кубические функции 1. Для y=x ^ 3 найдите значение аргумента, соответствующее значению функции, равному 125. а) x=25; б) x=5 в) x=1.
а) y=x ^ 3/2; б) y=x ^ 3·2; в) y=x ^ 3 3. Частица движется по закону S(t)=st3-1, где t-время, S-пройденное расстояние (в метрах). Через 5 секунд после начала движения частица сталкивается с препятствием и останавливается. Найти расстояние, пройденное частицей за последние 3 секунды. а)250 метров; б) 351 метр; в) 372 метра. 2. Из предложенных формул выберите ту формулу, которая задает функцию, представленную на графике.
Обратная пропорциональность 1.Обратная пропорциональность задана формулой у=10/х. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 100. а) 10; б) 0,1; в) 0,01. 2. В аквариум, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами основания 50 см и а см, вмещается 1200 см3 воды. Выразите формулой зависимость высоты b аквариума от длины основания а.
С помощью графиков можно создавать забавные рисунки.
Презентацию создавала: Селиванова Валентина 8В Под руководством: Янченко Оксаны Викторовны
Белый лист
Дерево в снегу
Калитка в сад
Снеговик
Барсучья кладовая. Александр Барков