Научный проект "Задачи с параметром"

             Применение квадратичной функции.

Я хочу остановиться на примере применения квадратичной функции к решению практической задачи.

ЗАДАЧА. Окно имеет форму прямоугольника ,завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6м .Каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?

Решение:

Окно будет обладать наибольшей пропускной способностью, если при заданном периметре будет иметь максимальную площадь.

Пусть  ,    , тогда    

 (1)        

 (2)    

Из (1),(2) следует, что

Известно, что квадратный трехчлен принимает наибольшее значение при

  , т.е.   ,     .    

Ответ. Размеры окна     ,    .

Примерно ширина окна 0,8 м, а длина 1,7 м.

                                    Геометрия пчелиных сот.

«Странные общественные привычки и геометрические дарования пчёл,- писал известный математик Герман Вейль,- не могли не привлечь внимания и не вызвать восхищения людей, наблюдавших их жизнь и использовавших плоды их деятельности».

«Далее этой ступени совершенства в архитектуре,- отмечает Ч. Дарвин,- естественный отбор не мог вести, потому что  соты пчелы, насколько  мы в состоянии судить, абсолютно совершенны с точки зрения экономии труда и воска»

Задолго, возможно до появления человека на земном шаре, пчелы разрешили задачу, которая представляла немалые геометрические трудности. Архитектура сот с их шестигранными ячейками известна практически каждому. Однако далеко не все знают, с каким поразительным расчетом они сооружаются. Возможно, стремясь сэкономить место в тесном улье и меньше затратить драгоценный пчелиный воск, пчелы показали себя не только трудолюбивыми строителями, но и хорошими математиками.

Перед пчелами стаяла задача – заполнить пространство улья правильными многоугольниками сплошь без просветов, так как улей тесен, и нужно использовать все свободное пространство. Какие многоугольники наиболее приемлемы для этих целей? Допустим, что плоскость сот замощена правильными

угольниками, причём каждая вершина является общей для  таких многоугольников. Находим, что  . Отсюда получаем, что    . Обратим внимание, что   целое число, тогда получаем значение

 Кому из них следовало отдать предпочтение? Известно, что при строительстве торцовых мостовых шашкам придают шестиугольную форму, но делается это потому, что тупые углы меньше скалываются, нежели прямые углы квадрата или острые – треугольника. Пчелам с этим обстоятельством особо считаться не приходится, но им очень важно сэкономить воск для стенок ячеек. Так какой же из тих многоугольников, при равных площадях, имеет наименьший контур?

Эта вторая математическая задача также верно решена пчелами, так как именно шестиугольник из трех упомянутых фигур имеет наименьший контур. Но этим не ограничиваются задачи, решенные пчелами.

Оценим же геометрические «дарования» пчёл.

Это означает, что плоскость пчелиных сот можно замостить правильными треугольниками, четырёхугольниками, и шестиугольниками. Назревает же вопрос: почему пчёлы выбрали именно шестиугольник?

Итак, рассмотрим правильные треугольник, четырёхугольник и шестиугольник равной  . У какой же из этих фигур наименьший периметр?

Зная формулы площадей правильных треугольника, четырёхугольника и шестиугольника:    , ,  , найдём значения квадратов сторон исходя из этих формул:    ,   ,     .

Т.к.  , то из полученных соотношений находим: ,           ,   .

     Учитывая, что ф-ция       при      возрастающая, делаем вывод, что наименьший периметр имеет шестиугольник.

Итак, профиль пчелиной ячейки- правильный шестиугольник: он из всех возможных мноугольников имеет наименьший периметр. Дело в том, что ячейки пчел разбиваются на десятигранники с наименьшей поверхностью, то есть на шестигранные призмы, ограниченные с одной стороны шестиугольником (вход в ячейку), с другой – тремя ромбами под определенным углом (дно). Два слоя ячеек вплотную входят друг в друга острыми выступами своих доньев и обращены открытыми шестиугольниками в противоположные стороны. Каждая пара таких слоев и составляет сот.

Такая совершенная архитектура пчелиных сот, которая экономно расходует строительный материал – воск, и практично использует пространство улья, уже давно приводит в изумление наблюдателей. Действительно, пчёлы- на удивление,  грамотные архитектора! Нет сомнения, что математический инстинкт пчел есть глубочайшая загадка природы.

                                           Сыры.

Рецептура изготовления и вкусовые качества сыров в значительной степени определяются их формой. Обычная горошина имеет форму шара. И это неспроста. Когда стручок гороха созреет и лопнет, горошины упадут на землю и благодаря своей форме покатятся во все стороны, захватывая всё новые территории. Горошины кубической или пирамидальной формы так и остались бы лежать возле стебля. Шаровую форму принимают капельки росы, капли ртути из разбитого градусника, капли масла, оказавшиеся в толще вод. Все жидкости в состоянии невесомости обретают форму шара.  Отчего шар так популярен? Это объясняется одним замечательным свойством: на изготовление шара расходуется значительно меньше материала, чем на сосуд любой другой формы того объёма. Поэтому, если вам нужен вместительный мешок, а ткани не хватает, шейте его в форме шара. Шар – единственное геометрическое тело, у которого наибольший объём заключен в наименьшую оболочку.

 Опытные сыроделы считают, что при равном   сыры

цилиндрической формы имеют большую  поверхности, чем сыры шаровидной формы.

Попробуем это доказать.

Мы знаем, что из всех цилиндров заданного    наименьшую полную                               поверхность имеет цилиндр,  в котором высота равна

диаметру. 

Рассмотрим шар и цилиндр указанного вида одного и того же  . 

Исходя из формул для   , найдём      и    . Далее найдём  и  , для упрощения выражения рассмотрим кубы площадей:  ,   .

Действительно, сыроделы утверждают верно.