Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа им. А.И. Панкова с. Головинщино Каменского района Пензенской области

Исследовательская работа

по математике:

Отрицательные числа вокруг нас

                                                    Учитель:  Кирюхина Юлия

                                                                               Александровна

                                                          Выполнил: ученик 8 класса

                                                                           Кузнецов Алексей

2010-2011 учебный год

Содержание

Введение

      В своей исследовательской работе  я рассмотрел использование отрицательных чисел не только в математике, но и в других науках - истории, географии, физике.

      После изучения темы «Отрицательные числа» на уроках математики, я стал обращать внимание на то, что отрицательные числа  встречаются и на других уроках. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что отрицательные числа встречаются не только в математике.

     Чтобы достичь этой цели я исследовал дополнительную литературу и другие источники.

Глава I.  Возникновение отрицательных чисел

    Известно, что натуральные числа возникли при счете предметов. Потребность человека измерять величины и то обстоятельство, что результат измерения не всегда выражается целым числом, привели к расширению множества натуральных чисел. Были введены нуль и дробные числа.

    Процесс исторического развития понятия числа на этом не закончился. Однако не всегда первым толчком к расширению понятия числа были исключительно практические потребности людей. Было и так, что задачи самой математики требовали расширения понятия числа. Именно так обстояло дело с возникновением отрицательных чисел. Решение многих задач, особенно решаемых с помощью уравнений, приводило к вычитанию из меньшего числа большего. Это потребовало введения новых чисел.

§1. Отрицательные числа в Древней Азии 

Впервые отрицательные числа появились в Древнем Китае уже примерно 2100 лет тому назад. Там умели также складывать и вычитать положительные и отрицательные числа, правила умножения и деления не применялись.      

       Во II в. до н. э. китайский ученый  Чжан Цань написал книгу  «Арифметика в девяти главах». Из содержания книги видно, что это не вполне самостоятельный труд, а переработка других книг, написанных  задолго до Чжан  Цаня. В этой книге впервые в науке встречаются отрицательные количества. Они понимаются им не так,  как понимаем и применяем их мы. Полного и ясного понимания природы отрицательных величин и правил действия с ними у него нет. Каждое отрицательное число он понимал как долг, а положительное – как имущество. Действия с отрицательными числами он производил не так,  как мы, а используя  рассуждения о долге. Например,  если к одному долгу прибавить другой долг,  то в результате получиться долг, а не имущество  (т,  е. по нашему (- а) + (- а) = - 2а.  Знака минус тогда не знали, поэтому,  чтобы отличить числа, выражавшие долг, Чжань Цань писал их другими чернилами, чем числа,  выражавшие имущество (положительные).

   Положительные количества в китайской математике называли «чен» и изображали красным цветом, а отрицательные – «фу» и изображали  черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. Хотя китайские ученые и объяснили отрицательные количества как долг, а положительные - как имущество, всё же они избегали широкого употребления их,  так как числа эти казались непонятными, действия с ними были неясны. Если же задача приводила к отрицательному решению, то старались заменить условие (как греки), чтобы в итоге получалось решение положительное.

    В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике.  Для вычислений математики того времени пользовались счетной доской, на которой числа изображались с помощью счетных палочек. Так как знаков + и – в то время еще не было, палочками красного цвета изображали положительные числа, отрицательные же  - палочками черного цвета и называли «долг» и «недостача». Положительные числа толковались как «имущество». В отличие от Китая в Индии были уже известны и правила умножения, деления. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты (598 – около 660 гг.) мы читаем: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».

Отрицательными числами индийские математики пользовались при решении уравнений, причем вычитание заменяли добавлением с равнопротивоположным числом.

Вместе с отрицательными числами индийские математики ввели понятие ноль, что позволило им создать десятеричную систему исчисления. Но долгое время ноль не признавали числом, «nullus» по- латыни – никакой, отсутствие числа. И лишь через X веков, в XVII-ом столетии с введением системы координат ноль становится числом.

          Греки тоже поначалу знаков не использовали. Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательные числа, и если при решении уравнения получался отрицательные корень, то он отбрасывал его как “недоступный”. И Диофант старался так сформулировать задачи и составлять уравнения, чтобы избежать отрицательных корней, но вскоре Диофант Александрийский стал обозначать вычитание знаком .

          Несмотря на то, что отрицательные числа использовались давно, относились к ним с некоторым недоверием, считая их не совсем реальными, истолкование их как имущество-долг вызывало недоумение: как можно «складывать» и «вычитать» имущество и долги?

§2. Развитие идеи отрицательного количества в Европе

        В Европе признание наступило на тысячу лет позже. К идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами и пришел к мысли, что отрицательные количества надо принимать в смысле, противоположном положительным.  В те годы были развиты так называемые математические поединки. На состязании в решении задач с придворными математиками Фридриха II Леонардо Пизанскому (Фибоначчи) было предложено решить задачу: требовалось найти капитал нескольких лиц. Фибоначчи получил отрицательное значение. «Этот случай, - сказал Фибоначчи, - невозможен, разве только принять, что один имел не капитал, а долг».

 В 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков. Однако, в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. 

       Тем не менее до XVII века отрицательные числа были “в загоне” и  долгое время их называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». И даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0 ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего, а вплоть до XIX века математики часто отбрасывали в своих вычислениях отрицательные числа, считая их бессмысленными…

     Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо.         Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

    В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса. Можно же плюс считать зачеркнутым минусом!

Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками

« + » и « - » применил немецкий математик Видман.

        Немецкий математик Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» (1544) впервые вводит понятие об отрицательных числах как о числах, меньших нуля (меньших, чем ничто). Это был очень большой шаг вперёд в деле обоснования отрицательных чисел. Он дал возможность рассматривать отрицательные числа не как долг, а совсем по-иному, по-новому. Но Штифель называл отрицательные числа абсурдными; действия с ними, по его словам, «тоже идут абсурдно, навыворот».

   После Штифеля ученые стали более уверенно производить действия с  отрицательными числами.

Все чаще сохранялись и истолковывались  отрицательные решения в задачах.                                                                                                            

   В XVII в. великий французский математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на числовой оси влево от нуля.  Нам сейчас кажется это все таким простым и понятным, но,  чтобы дойти до этой мысли, потребовалось восемнадцать веков работы ученой мысли от китайского ученого Чжан Цаня до Декарта.

   В трудах Декарта отрицательные числа получили, как говорят, реальное истолкование. Декарт и его последователи признавали их наравне с положительными. Но в действиях над отрицательными числами не все было ясно (например, умножение на них), поэтому многие ученые не желали признавать отрицательные числа  за числа действительные. Среди ученых разгорелся большой и долгий спор о сущности отрицательных чисел о том признать отрицательные числа числами действительными или нет. Спор этот после Декарта продолжался около 200 лет.  За этот период математика как наука получила очень большое развитие, и на каждом шагу в ней встречались отрицательные числа. Математика стала немыслимой, невозможной без отрицательных чисел. Все большему числу ученых становилось ясно, что отрицательные числа – это числа действительные, такие же реальные, на самом деле существующие числа, как числа положительные.

  С трудом завоевали себе место в математике отрицательные числа. Как ни старались ученые избегать их. Все же удавалось это им не всегда. Жизнь ставила перед наукой новые и новые задачи, и все чаще и чаще задачи эти приводили к отрицательным решениям и в Китае, и в Индии, и в Европе.                Только в начале XIX  в. теория отрицательных чисел закончила свое развитие, и  «абсурдные числа» получили всеобщее признание.

§3.  Ф. Энгельс об отрицательных числах

Один из основоположников научного коммунизма – Фридрих Энгельс также интересовался вопросом о природе отрицательных чисел.  Он говорил, что отрицательные числа возможны только потому, что существуют положительные числа, что они есть противоположность чисел положительных. Величину, понимаемую в каком-нибудь одном смысле, выражают числом со знаком плюс, а ту же величину, понимаемую в противоположном смысле, выражают числом со знаком минус.

Отрицательные числа  нужны как противоположность чисел положительных. Если отбросить положительные числа, то отрицательные числа не будут нуждаться в знаке минус. Например, если мы попадаем в такие условия, где температура все время ниже нуля, нам не требуется знак минус для обозначения температуры.    

Глава II. Отрицательные числа в других науках

§1. Отрицательные числа в физике

       Всякий физик постоянно имеет дело с числами: он всегда что-то измеряет, вычисляет, рассчитывает. Везде в его бумагах – числа, числа и числа. Если приглядеться к записям физика, то обнаружится, что при записи чисел он часто использует знаки «+» и «-».

       Как же возникают положительные, а тем более отрицательные числа в физике?

     Физик имеет дело с различными физическими величинами, описывающими разнообразные свойства окружающих нас предметов и явлений. Высота здания, расстояние от школы до дома, масса и температура человеческого тела, скорость автомобиля, объем банки, сила электрического тока, показатель преломления воды, мощность ядерного взрыва, напряжение между электродами, продолжительность урока или перемены, электрический заряд металлического шарика – все это примеры физических величин. Физическую величину можно измерить.

      Не следует думать, что любая характеристика предмета или явление природы может быть измерена и, следовательно, является  физической величиной. Это совсем не так. Например, мы говорим: «Какие красивые горы вокруг! И какое красивое озеро там, в низу! А какая красивая ель вон на той скале! Но мы не можем измерить красоту гор, озера, или этой одинокой ели!» Значит такая характеристика, как красота, не является физической величиной.

Измерения физических величин проводятся при помощи измерительных приборов, таких как линейка, часы, весы и т.д.

    Например, высоту здания и расстояния от школы до дома можно измерить рулеткой (линейкой), массу тела – рычажными весами, температуру – термометром, скорость автомобиля – спидометром, объем банки – мензуркой, силу тока – амперметром или гальванометром, показатель преломления воды – рефрактометром, напряжение между электродами – вольтметром, продолжительность урока – часами, мощность ядерного взрыва – сейсмографом, электрический заряд шарика – электрометром или баллистическим гальванометром.

Итак, числа в физике возникают в результате измерения физических величин, а численное значение физической величины, получаемое в результате измерения, зависит: от того, как определена эта физическая величина; от используемых единиц измерения.

Поясним это замечание на следующем примере.

Поднявшись к леднику Голдвин-Остер, совместная советско-американская экспедиция альпинистов разбивают базовый лагерь на высоте 4910 метров над уровнем моря. В центре лагеря устанавливается флагшток высотой 6 метров, и на нем поднимается флаг экспедиции. Спрашивается: На какой высоте полощется флаг? Если бы этот вопрос задали журналисту, пишущему репортаж о восхождении, то он бы отметил так: «Флаг находится на высоте 6 метров». А если бы мы спросили у альпинистов, то получили бы ответ: «Флаг находится на высоте 4916 метров». Ответы получились разными, так как журналист и альпинист по-разному определяют высоту: первый имеет в виду высоту над землей, а второй – высоту над уровнем моря.

1.1 Обычная расческа и положительные и отрицательные числа

Выполним опыт.

         Положите на стол несколько маленьких кусочков тонкой бумаги. Возьмите чистую сухую пластмассовую расческу и 2-3 раза проведите ею по своим волосам. Расчесывая волосы, вы должны услышать легкое потрескивание. Затем медленно поднесите расческу к клочкам бумаги. Вы увидите, что они сначала притягиваются к расческе, а потом отталкиваются от нее.

Этой же расческой можно притягивать воду. Такое притяжение легко наблюдать, если поднести расческу к тонкой струйке воды, спокойно вытекающей из крана. Вы увидите, что струйка заметно искривляется.

Теперь сверните из тонкой бумаги (лучше всего папиросной) две трубочки длиной 2-3см. и диаметром 0,5см. Подвесьте их рядом (так, чтобы они слегка касались друг друга) на шелковых нитках. Расчесав волосы, прикоснитесь расческой к бумажным трубочкам – они сразу разойдутся в стороны и останутся в таком положении (то есть нитки будут отклонены). Мы видим, что трубочки отталкиваются друг от друга.                      

Если у вас есть стеклянная палочка (или трубочка, или пробирка) и кусочек шелковой ткани, то опыты можно продолжить.

Потрите палочку о шелк и поднесите к обрывкам бумаги – они начнут «прыгать» на палочку точно так же, как и на расческу, и затем соскальзывать с нее. Струйка воды тоже отклоняется стеклянной палочкой, а бумажные трубочки, к которым вы палочкой прикоснулись, отталкиваются друг от друга.

А теперь возьмите одну палочку, к которой вы прикасались расческой, и вторую трубочку, - и поднесите друг к другу. Вы увидите, что они притягиваются друг к другу. Итак, в этих опытах проявляются силы притяжения и силы отталкивания.   В опытах мы видели, что заряженные предметы (физики говорят – заряженные тела) могут притягиваться друг к другу, а могут и отталкиваться друг от друга. Это объясняется тем, что существует два вида, два сорта электрических зарядов, причем заряды одного и того же вида отталкиваются друг от друга, а заряды разных видов притягиваются.

1.2  С   положительными  и  отрицательными  числами по  температурной  шкале

Посмотрим  на  шкалу  обычного  уличного  термометра.

Она имеет  вид, изображенный  на  шкале 1. На  ней  нанесены  только  положительные  числа, и  поэтому  при  указании  численного  значения  температуры  приходится  дополнительно  пояснять  20 градусов  тепла  (выше  нуля). Это  для  физиков  неудобно – ведь  слова  в  формулу  не  подставишь!  Поэтому  в физике применяется шкала с отрицательными числами (шкала 2). 

1.3  Положительные  и  отрицательные  числа на  скоростном  шоссе

      Понаблюдаем  за  движением  автомашин  по  шоссе,  стоя  на  обочине  лицом  к дороге.  Два  потока   машин  несутся  навстречу  друг  другу. Вот,  например,  легковой автомобиль  проносится  мимо  нас  со  скоростью 100 км /ч,  а  грузовик  движется  со  скоростью  70  км/ч.  Но  этих  чисел  не  достаточно,  если  мы  хотим  указать  ещё  и  направление  движения.  Действительно,  мы  ведь  должны  ещё  добавить,  что легковой автомобиль  едет  вправо,  а  грузовик -  влево. Таким  образом,  чтобы  охарактеризовать  движение  автомобиля  по  шоссе,  надо  не  только  указать,  как  быстро  он  едет  (то  есть  указать  величину  его  скорости),  но  и  дополнительно  пояснить,  куда,  в  каком   направлении  он  едет  -  вправо  или  влево.    Поэтому говорят,  скорость  автомобилей,  движущихся  вправо,  считать  положительной,  а  скорость  автомобилей,  движущихся  влево, - отрицательной.  То  есть  знак  числа   будет  указывать   направление  скорости  (направление  движения) автомобилей.

   Отметим, что «положительное» направление движения можно выбирать произвольно. Например, можно было бы положительным считать скорости автомобилей, движущихся влево. Тогда скорости автомобилей, движущихся вправо, выражались бы отрицательными числами

§2. Отрицательные числа в географии

2.1  За положительными и отрицательными числами на горные вершины и в морские глубины

Посмотрим на физическую карту мира. Участки суши на ней раскрашены различными оттенками зеленого и коричневого цветов, а моря и океаны раскрашены голубым и синим. Каждому цвету соответствует своя высота (для суши) или глубина (для морей и океанов). На карте нарисована шкала глубин и высот, которая показывает, какую высоту (глубину) означает тот или иной цвет, например, такая:

2.2 Шкала глубин и высот в метрах

Глубже    5000     2000        200          0          200        1000           2000       4000  выше

    На этой шкале мы видим только положительные числа и нуль. За нуль принимается высота (и глубина тоже), на которой находится поверхность воды в Мировом океане. Использование в этой шкале только неотрицательных чисел неудобно для математика или физика. У физика получается такая шкала.

2.3  Шкала высот в метрах

Меньше   -5000      -2000    -200           0         200        1000         2000    4000  больше

      Используя такую шкалу, достаточно указать число без всяких дополнительных слов:  положительные числа отвечают различным местам на суше, находящимся над поверхностью моря; отрицательные числа соответствуют точкам, находящимся под поверхностью моря.

В рассмотренной нами шкале высот за нулевую принимается высота поверхности воды в Мировом океане. Эта шкала используется в геодезии и картографии.

    В отличие от этого, в быту мы обычно за нулевую высоту принимаем высоту поверхности земли (в том месте, в котором мы находимся).  

§3. Отрицательные числа в истории

3.1 Как в древности считали года? 

В разных странах по-разному. Например, в Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счёт лет начинался заново. Первый год правления царя считался первым годом, второй – вторым и так далее. Когда этот царь умирал и к власти приходил новый, вновь наступал первый год, затем второй, третий. Иным был счет лет, применявшийся жителями одного из древнейших городов мира-Рима. Год основания своего города римляне считали первым, следующий - вторым и так далее.

Счет лет, которым мы пользуемся, возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Счёт лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах .В нашей стране он введён царём Петром Первым триста лет назад. Время, исчисляемое от Рождества Христова, мы называем  НАША  ЭРА (а пишем сокращённо Н.Э.). Продолжается наша эра две тысячи лет. Рассмотрим «линию  времени»   на рисунке.

«Линия  времени»

              До нашей эры                       Наша эра

    753                 74                               1147                             1799             2007            

Основание                Начало      Первое упоминание о Москве     Рождение А. С. Пушкина

   Рима                     восстания                                        

                                 Спартака                    

Заключение

     Подводя итоги своей исследовательской работы, я сделал вывод, что большинство опрошенных людей знают отрицательные числа, но есть и такие у которых представление отрицательных чисел неверное.

      Работая с источниками,  я выяснил, что отрицательные числа больше всего встречаются в точных науках,  в математике и физике.

     В физике отрицательные числа возникают в результате измерений, вычислений физических величин. Отрицательное число – показывает величину электрического заряда. В других науках, как географии и истории, отрицательное число можно заменить словами, например, ниже уровня моря, а в истории – 157 лет до н.э.

В своей работе в Приложении я собрал правила действий с отрицательными и положительными числами в стихотворной форме и предложил формулу для запоминания знака при выполнении действий.

Приложение

           СТИХОТВОРЕНИЕ

«Сложение отрицательных чисел и чисел с разными знаками»

 Если уж захочется вам сложить

 Числа отрицательные, нечего тужить:

 Надо сумму модулей быстренько узнать,

 К ней потом знак «минус» взять да приписать.

 Если числа с разными знаками дадут,

Чтоб найти их сумму, все мы тут как тут.

 Больший модуль быстро очень выбираем.

 Из него мы меньший вычитаем.

 Самое же главное – знак не позабыть!

 - Вы какой поставите? – мы хотим спросить

   - Вам секрет откроем, проще дела нет,

Знак, где модуль больше, запиши в ответ.

Правила сложения положительных и отрицательных чисел

                         Минус с минусом сложить,

                         Можно минус получить.

                         Если сложишь минус, плюс,

                         То получится конфуз?!

                         Знак числа ты выбирай

                         Что сильнее, не зевай!

                         Модули их отними,

                         Да все числа помири!

 - Правила умножения можно истолковать и таким образом:

«Друг моего друга - мой друг»: + ∙ + = + .

«Враг моего врага - мой друг»: ─ ∙ ─ = +.

«Друг моего врага - мой враг»: + ∙ ─ = ─.

«Враг моего друга – мой враг»: ─ ∙ + = ─.

 Знак умножения есть точка, в ней три знака:

  _            

     +      _            

     +        

_         _

        +

     +  

Прикрой из них два, третий даст ответ.Например.

Как определить знак произведения 2∙(-3)?

Закроем руками знаки «плюс» и «минус».  Остаётся знак «минус»              

Литература

1. Большая научная энциклопедия, 2005.
2. Вигасин А.А,.Годер Г.И., «История древнего мира», учебник 5 кл.,2001.
3. Выговская  В.В. « Поурочные разработки по Математике:6 класс» - М.:ВАКО, 2008г.
4. Газета «Математика» №4, 2010г.
5. Гельфман Э.Г. «Положительные и отрицательные числа», учебное пособие  по математике для 6-го класса, 2001.
6. Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение»,1981г
7. Гусев В.А., А.Г.Мордкович «Справочные материалы»,  «Просвещение», 1986г.
8. Детская научная энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г.
9. Малыгин К.А. « Элементы историзма в преподавании математики в средней школе», Москва, «Просвещение», 1982г
10.  Нурк  Э.Р., Тельгмаа  А.Э. «Математика 6 класс», Москва, «Просвещение»,1989г
11.  Фридман Л.М. «Изучаем математику», учебное издание, 1994