исследовательская работа "Вероятность выигрыша в числовых лотереях"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №11»

Вероятность выигрыша в числовых лотереях

Кокорин Артем,

учащийся 10 класса
МОУ СОШ №11 г.Чайковский

Батуева Любовь Николаевна ,

учитель математики высшее категории

МОУ СОШ №11 г.Чайковский

г. Чайковский

1. Введение.
2. Цели и задачи.
3. История возникновения лотерей.
4. Объект исследования.
5. Лотерея «5 из 36».
6. Лотерея «5 из 40».
7. Лотерея «6 из 49».
8. Аналитическая часть.
9. Область применения полученных результатов.
10. Вывод и рекомендации.

Введение.

Лотерея (от итал. lotteria) — организованная игра на удачу, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера

Актуальность проблемы.

Моя тема актуальна, так как математика соприкасается с обыденной жизнью гораздо теснее, чем этому учат традиционно в школе. У. Уивер пишет: «Теория вероятностей и статистика – две важные области, неразрывно связанные с нашей повседневной деятельностью. Мир промышленности, страховые компании в большей степени являются должниками вероятностных законов. Сама физика имеет существенно вероятностную природу; такова же в основе своей и биология. Между тем, несмотря на эту важность, универсальный характер теории вероятностей и статистики всё ещё не стал общепринятым. Лотереи, азартные игры, выборные компании, страховые компании и т. п. Как предсказать результат?.. Какую позицию выбрать?.. Для ответа на эти вопросы я и решил заняться этим исследованием.

Гипотеза: большинство считают, что предугадать результата чиловой лотереи, в которой властвует случай, невозможно. Это не так. Математическое ожидание выигрыша - величина, которая поможет нам определить, справедлива ли та или иная игра, и выгодно ли нам в неё играть.Объектом моего исследования являются различные азартные игры, на основе которых вводятся основные понятия теории вероятностей.

Предмет исследования: числовые лотереи

1. «6» из «49»
2.  «5» из «36»
3. «5» из «40»
4.  «6» из «45»

Начиная исследование, я ставил для себя основную цель – провести вероятностный анализ числовых лотерей ,что используя формулы теории вероятности ,которые помогут  нам определить, справедлива ли та или иная лотерея, и выгодно ли нам в неё играть.                                                                          Из этой цели вытекают 4 главные задачи, к выполнению которых я стремился по ходу исследования:

1. Изучить правила проведения числовых лотерей  и рассмотреть методы их исследования, с помощью формул теории вероятности .
2. Провести эксперимент
3. Проанализировать полученные данные

4.Создать мини-пособие, содержащее полезную информацию о числовых лотереях

                Для выполнения поставленных задач я пользовался такими методами исследования, как сравнение, индукция, дедукция, аналогия, эксперимент и опрос.

История возникновения.

Многие поклонники спортивно-числовых лотерей, в том числе и "Спортлото" возможно не знают, что ее прототипом была лотерея, с числовой формулой "5 из 90", организованная в 1530 году в итальянском городе Генуе. Дело в том, что в Генуэзской республике выборы в главный орган самоуправления - Великий Совет - проводились по жеребьевке. После многоступенчатого отбора к последнему туру голосования допускались 90 кандидатов, из которых надлежало выбрать всего пять человек. Выборы происходили так: каждому кандидату в члены Совета присваивался порядковый номер с первого, по девяностый. Затем в специальную урну закладывали 90 пронумерованных шаров. После тщательного перемешивания из нее доставали только 5 шаров. Случай делал свой выбор. Номера на вынутых шарах называли членов Великого Совета Генуи!
   Такой лотерейный принцип выбора получил в Италии всеобщее признание и, перешагнув государственные границы, стал распространяться по другим странам Европы.
    В настоящее время в разных странах имеется несколько разновидностей числовых лотерей. Я не ставил своей целью рассказать здесь о каждой из них.   

Математическое обоснование числовых лотерей

 Каждая числовая лотерея с любой числовой формулой имеет свое математическое обоснование. Оно необходимо для того, чтобы знать, сколько классов выигрышей должно быть в лотерее, и какова вероятность выигрыша каждого класса.
    Математическое обоснование числовой лотереи рассчитывается с применением теории вероятностей и теории чисел . Интуитивно вероятность некоторого события воспринимается как характеристика возможности его появления. Оказывается, что при многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу.. Рассчитав вероятное число выигрышей каждого класса, можно узнать, какой процент от общей суммы доходов должен пойти на выигрыши каждого класса и какова должна быть сумма каждого выигрыша. 
    Общее количество комбинаций в числовой лотерее рассчитывается при помощи формулы:

Лотерея 6 из 49

. Чтобы получить большой выигрыш, надо было угадать 6 чисел из 49. Выигрывали карточки и с совпадением 5 и даже 4 номеров. А сколько карточек нужно было бы купить и заполнить, чтобы на них оказались все комбинации по 6 номеров из 49 возможных, т. е. чтобы выиграть наверняка?  Количество карточек равно числу сочетаний из 49 элементов по 6, т.е.

      = 49!     =  44∙45∙46∙47∙48∙49  = 13 983 816

         6!∙43!          1∙2∙3∙4∙5∙6

Для  реализации подобной идеи нужно было быть миллионером!       Да и разбогатеть в этом случае было бы трудно, поскольку выигрыш был не фиксирован, и в каждом тираже на призовой фонд отводилась лишь часть собранной от продажи билетов суммы. Но ведь кто-то же выигрывал! Я провел  несколько экспериментов в своем классе. Я попросил  зачеркнуть в карточке 6 номеров из 49.

По результатам экспериментов я составил таблицы и диаграммы .Абсолютная частота показывает, сколько раз в серии экспериментов наблюдалось данное событие.                                                                 Относительная частота  (которую иногда называют просто частотой) показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного события.

1 эксперимент

Ни одного выигрыша! Три числа угадали только 2 раза! Но эта лотерея не предусматривает выигрыша, если угадано 3 числа.

Тогда я решил найти вероятность выигрыша, используя классическое определение вероятности.                                                                              Вероятностью случайного события А называется дробь  , то есть                                                                                                                      где п – число всех   возможных исходов эксперимента, m – число исходов, благоприятных для  события А.

Обозначила через Р6, Р5, Р4, Р3, Р2, Р1, Р0 вероятность того, что 6 , 5 , 4, 3, 2, 1 или 0 отмеченных игроком чисел оказались выигрышными..Число всех исходов эксперимента равно       = 13 983 816,            - количество выборов 6 чисел, не совпадающих с данными 6 числами. Согласно теории вероятности, вероятность угадать n (от 0 до 5) номеров из 36 можно выразить формулой: Согласно теории вероятности, вероятность угадать n из m можно выразить формулой:

= 43!     =  38∙39∙40∙41∙42∙43  = 6 096 454

         6!∙37!          1∙2∙3∙4∙5∙6

Р0  ≈  0,435965

 ·   - количество выборов 1 числа из 6 данных чисел и 5 чисел не совпадающих с данными 6 числами

 ·   =

Р1 ≈  0,413019    

 ·    - количество выборов 2 чисел из 6 данных чисел и 4 чисел не совпадающих с данными 6 числами

 ·   =

Р2 ≈ 0,132378

 ·    - количество выборов 3 чисел из 6 данных чисел и 3 чисел не совпадающих с данными 6 числами

 · =

Р3 ≈ 0,0176504

 · - количество выборов 4 чисел из 6 данных чисел и 2 чисел не совпадающих с данными 6 числами

 · =

С6 · С43  = 6! · 43!             = 5 · 6 · 42 ·  43   = 13545

                    4! · 2! · 2! · 41!          2 · 2

Р4 ≈ 0,000969

     5        1      

 · - количество выборов 5 чисел из 6 данных чисел и 1 числа не совпадающего с данными 6 числами

      5        1      

С6 · С43  = 6! · 43!             =  6 · 43 = 258

                  5! · 42!          

Р5 ≈  0, 000184    

Отсюда следует, что вероятность проигрыша  равна  

Р3 + Р2 + Р1 + Р0  ≈  0,999012

Вероятность самого крупного выигрыша равна Р6  ≈  0,0000000715 =  0, 7115 · 10 -7

Вероятность самого маленького выигрыша Р4 =0,000969 

Среднее значение относительной частоты того, что игрок не угадает ни одного числа 0,514757143

А  по вычислениям вероятность того, что игрок не угадает ни одного числа 0, 413019.

Разница не очень большая  0, 101738   и может быть связана и с количеством экспериментов  и с количеством участников в каждом эксперименте.

Среднее значение относительной частоты того, что игрок  угадает 1число равно 0,366342857.А  по вычислениям вероятность того, что игрок  угадает 1  число равно 0,413019.Разница между вычислениями и данными полученными, с помощью эксперимента равна 0,0466761.

Среднее значение относительной частоты того, что игрок  угадает 2 числа равно 0,114021. А  по вычислениям вероятность равна 0,132378.Разница между вычислениями и данными полученными, с помощью эксперимента равна 0,018357.

Среднее значение относительной частоты того, что игрок  угадает 3 числа равно 0,01. А  по вычислениям вероятность равна 0,0176504. азница между вычислениями и данными полученными, с помощью эксперимента равна 0,007654. Получается, что данные экспериментов не на много отличаются от данных, полученных с помощью вычислений.    Вероятное число выигрышей каждого класса определяется с учетом коэффициента вероятности каждого выигрыша следующим образом:
    Выигрыши 1 класса (за 6 угаданных номеров):

    Выигрыши 2 класса (за 5 угаданных номеров):

    Выигрыши 3 класса (за 4 угаданных номера):

   Всего в лотерее "6 из 49", таким образом, содержится 13.804 выигрыша, т. е. 1 выигрыш приходится на 1.013 комбинаций.
    Вероятность появления выигрыша каждого класса определяется отношением вероятного числа выигрышей к общему числу случаев выигрышей, равному общему количеству комбинаций в лотерее:
    Выигрыш 1 класса (за 6 угаданных номеров):

    Выигрыш 2 класса (за 5 угаданных номеров):

    Выигрыш 3 класса (за 4 угаданных номера):

Лотерея 5 из 36 

Для выигрыша надо угадать 5 номеров из 35 . Я провел  эксперименты  и с этой лотереей. Каждый учащийся, принимавший участие в эксперименте получал карточку.

Среднее значение относительной частоты того, что игрок не угадает ни одного числа равно 0,4865875.

Вычислим вероятность того, что игрок не угадает ни одного числа.

      5

С35= 35!     =  31∙32∙33∙34∙35  = 324 632

         5!∙30!          1∙2∙3∙4∙5

      5

С30= 30!     =  26∙27∙28∙29∙30  = 142 506

         5!∙25!          2∙3∙4∙5

Р0 ≈  0,438977.

Разница значения полученного с помощью экспериментов и вычислений получилась 0,0476105.

Среднее значение относительной частоты того, что игрок  угадает 1 число равно 0,3865875.Вычислим вероятность того, что игрок  угадает 1 число.

      1        4      

С5 · С30  = 5! · 30!             = 5 · 27 · 28 ·  29 · 30   = 137025

                    4! · 4! · 26!           2 · 3 · 4

Р1 ≈   0,422093

           Разница значений полученных с помощью экспериментов и вычислений получилась 0,0355055.

Среднее значение относительной частоты того, что игрок  угадает 2 числа равно 0,151475.

Вычислим вероятность того, что игрок угадает 2 числа.      2        3      

С5 · С30  = 5! · 30!             = 4 ·5 · 28 · 29 ·  30   = 40600

                    2! · 3! · 3! · 27!          2 · 2 · 3

Р2 ≈  0,284900

Разница значений полученных с помощью экспериментов и вычислений получилась равной 0,133425 .

Среднее значение относительной частоты того, что игрок угадает 3 числа равно 0,0225.

Вычислим вероятность того, что игрок угадает 3 одного числа.

      3        2      

С5 · С30  = 5! · 30!             = 4 · 5 · 29 ·  30   = 4350

                    3! · 2! · 2! · 28!          2 · 2

Р3 ≈   0,030525

Разница значения полученного с помощью экспериментов и вычислений получилась равной 0,008025.Вероятность выигрыша в этой лотерее равна

Р5 ≈   0,00000308041              

Это в 5729,9 раза меньше, чем вероятность получения самого маленького выигрыша в лотереи СПОРТЛОТО, и в 43,1 раза больше, чем вероятность самого большого выигрыша в этой же лотерее.   Но ни одного выигрыша в экспериментах не получилось.

    Вероятное число выигрышей каждого класса определяется с учетом коэффициента вероятности каждого выигрыша следующим образом:
    Выигрыши 1 класса (за 5 угаданных номеров):

    Выигрыши 2 класса (за 4 угаданных номера):

    Выигрыши 3 класса (за 3 угаданных номера):

    Всего в лотерее "5 из 36", таким образом, содержится 4.806 выигрышей, т. е. 1 выигрыш приходится на 78 комбинаций.
    Вероятность появления выигрыша каждого класса определяется отношением вероятного числа выигрышей к общему числу случаев выигрышей, равному общему количеству комбинаций в лотерее:
   Выигрыш 1 класса (за 5 угаданных номеров):

    Выигрыш 2 класса (за 4 угаданных номера):

    Выигрыш 3 класса (за 3 угаданных номера):

Лотерея 5 из 40

Для выигрыша надо угадать 5 номеров из 40. Я провел  эксперименты  и с этой лотереей. Каждый учащийся, принимавший участие в эксперименте получал карточку.

Среднее значение относительной частоты того, что игрок не угадает ни одного числа равно 0,4865875.

Вычислим вероятность того, что игрок не угадает ни одного числа.      5

С35= 35!     =  31∙32∙33∙34∙35  = 324 632

         5!∙30!          1∙2∙3∙4∙5

      5

С30= 30!     =  26∙27∙28∙29∙30  = 142 506

         5!∙25!          2∙3∙4∙5

Р0 ≈  0,438977.

Разница значения полученного с помощью экспериментов и вычислений получилась 0,0476105.

Среднее значение относительной частоты того, что игрок  угадает 1 число равно 0,3865875.Вычислим вероятность того, что игрок  угадает 1 число.

      1        4      

С5 · С30  = 5! · 30!             = 5 · 27 · 28 ·  29 · 30   = 137025

                    4! · 4! · 26!           2 · 3 · 4

Р1 ≈   0,422093

           Разница значений полученных с помощью экспериментов и вычислений получилась 0,0355055.

Среднее значение относительной частоты того, что игрок  угадает 2 числа равно 0,151475.

Вычислим вероятность того, что игрок угадает 2 числа.      2        3      

С5 · С30  = 5! · 30!             = 4 ·5 · 28 · 29 ·  30   = 40600

                    2! · 3! · 3! · 27!          2 · 2 · 3

Р2 ≈  0,284900

Разница значений полученных с помощью экспериментов и вычислений получилась равной 0,133425 .

Среднее значение относительной частоты того, что игрок угадает 3 числа равно 0,0225.

Вычислим вероятность того, что игрок угадает 3 одного числа.

      3        2      

С5 · С30  = 5! · 30!             = 4 · 5 · 29 ·  30   = 4350

                    3! · 2! · 2! · 28!          2 · 2

Р3 ≈   0,030525

Разница значения полученного с помощью экспериментов и вычислений получилась равной 0,008025.Вероятность выигрыша в этой лотерее равна

Р5 ≈   0,00000308041              

.  Ни одного выигрыша в экспериментах не получилось

    Вероятное число выигрышей каждого класса определяется с учетом коэффициента вероятности каждого выигрыша следующим образом:
    Выигрыши 1 класса (за 5 угаданных номеров):

    Выигрыши 2 класса (за 4 угаданных номера):

    Выигрыши 3 класса (за 3 угаданных номера):

    Всего в лотерее "5 из 40", таким образом, содержится 6.126 выигрышей, т.е. 1 выигрыш приходится на 107 комбинаций.
    Вероятность появления выигрыша каждого класса определяется отношением вероятного числа выигрышей к общему числу случаев выигрышей, равному общему количеству комбинаций в лотерее:
   Выигрыш 1 класса (за 5 угаданных номеров):

    Выигрыш 2 класса (за 4 угаданных номера):

    Выигрыш 3 класса (за 3 угаданных номера):

Лотерея 6 из 45

Для выигрыша надо угадать 5 номеров из 40. Я провел  эксперименты  и с этой лотереей. Каждый учащийся, принимавший участие в эксперименте получал карточку.

Среднее значение относительной частоты того, что игрок не угадает ни одного числа равно 0,4865875.

Вычислим вероятность того, что игрок не угадает ни одного числа.      5

С35= 35!     =  31∙32∙33∙34∙35  = 324 632

         5!∙30!          1∙2∙3∙4∙5

      5

С30= 30!     =  26∙27∙28∙29∙30  = 142 506

         5!∙25!          2∙3∙4∙5

Р0 ≈  0,438977.

Разница значения полученного с помощью экспериментов и вычислений получилась 0,0476105.

Среднее значение относительной частоты того, что игрок  угадает 1 число равно 0,3865875.Вычислим вероятность того, что игрок  угадает 1 число.

      1        4      

С5 · С30  = 5! · 30!             = 5 · 27 · 28 ·  29 · 30   = 137025

                    4! · 4! · 26!           2 · 3 · 4

Р1 ≈   0,422093

           Разница значений полученных с помощью экспериментов и вычислений получилась 0,0355055.

Среднее значение относительной частоты того, что игрок  угадает 2 числа равно 0,151475.

Вычислим вероятность того, что игрок угадает 2 числа.      2        3      

С5 · С30  = 5! · 30!             = 4 ·5 · 28 · 29 ·  30   = 40600

                    2! · 3! · 3! · 27!          2 · 2 · 3

Р2 ≈  0,284900

Разница значений полученных с помощью экспериментов и вычислений получилась равной 0,133425 .

Среднее значение относительной частоты того, что игрок угадает 3 числа равно 0,0225.

Вычислим вероятность того, что игрок угадает 3 одного числа.

      3        2      

С5 · С30  = 5! · 30!             = 4 · 5 · 29 ·  30   = 4350

                    3! · 2! · 2! · 28!          2 · 2

Р3 ≈   0,030525

Разница значения полученного с помощью экспериментов и вычислений получилась равной 0,008025.Вероятность выигрыша в этой лотерее равна

Р5 ≈   0,00000308041              

.  Ни одного выигрыша в экспериментах не получилось   

Вероятное число выигрышей каждого класса определяется с учетом коэффициента вероятности каждого выигрыша следующим образом:
    Выигрыши 1 класса (за 6 угаданных номеров):

    Выигрыши 2 класса (за 5 угаданных номеров):

    Выигрыши 3 класса (за 4 угаданных номера):

   Всего в лотерее "6 из 45", таким образом, содержится 11.350 выигрышей, т. е. 1 выигрыш приходится на 718 комбинаций.
    Вероятность появления выигрыша каждого класса определяется отношением вероятного числа выигрышей к общему числу случаев выигрышей, равному общему количеству комбинаций в лотерее:
    Выигрыш 1 класса (за 6 угаданных номеров):

    Выигрыш 2 класса (за 5 угаданных номеров):

    Выигрыш 3 класса (за 4 угаданных номера):

Вывод:

Все поставленные задачи были выполнены, гипотеза о том, что с помощью вероятность выигрыша в числовых лотереях была  доказана. Мне хотелось бы, чтоб моя работа помогла людям не совершать ошибки, которые они допускают, играя в различные лотереи, и я надеюсь, что моим трудом воспользуются многие люди. В обоснование своей гипотезы о том, что многие считают, что результаты лотерей , в которых властвует случай, предугадать невозможно, я привожу результаты моего опроса среди девятиклассников на тему «Можно ли предугадать результат игры, в которой властвует случай?».

        Вот его результаты, представленные в виде диаграммы:

        Как Вы видите, это подтверждает мою гипотезу о неверном представлении учащихся о возможностях теории вероятности.

Литература.

1. Энциклопедия для детей. Математика. Том 11.  Москва,  Акванта+, 2001
2. Я познаю мир. Математика.    Москва, Аст, 1998
3. М.Ф. Рушайло  Элементы теории вероятностей и математической статистики.    Москва, 2004
4. Е.А. Бунимович, В.А. Булычев Вероятность и статистика 5 – 9 классы. Дрофа, Москва, 2002

Примеры лотерейных билетов.