МОУ лицей №82

Сормовского района г.Н.Новгорода

Научное общество учащихся

Задача Наполеона

Выполнила: Тюганова Татьяна,

ученица 9«В» класса

      Научный руководитель:

         Шмонина Ольга Валерьевна,

учитель математики

Нижний Новгород

2011

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………….....3
2. Формулировка задачи (I вариант)…………..…………………………........4

1. Решение с использованием геометрических преобразований……........5
2. Решение  с   использованием    теоремы     косинусов    для четырехугольника………………….…………….………………....................8
3. Решение   с   использованием    теоремы   косинусов    для треугольника……………………….………………………………….............9

3. Формулировка задачи (II вариант)...……………………………………….14

1. Решение задачи (когда стороны исходного треугольника делят на 3 равные части)…………………………………………………………………………..15

4. Заключение……………………………………………………………………16
5. Список литературы…………………………………………………………..17

Введение

Император Франции Наполеон I был не только великим полководцем, но и  довольно хорошим математиком. Его именем названа теорема, авторство доказательства которой приписывают Наполеону. Возможно, однако, что её предложил У. Резерфорд в публикации 1825 года The Ladies' Diary.  За реальные заслуги в математике Наполеон был избран академиком Французской академии наук.

Формулировка задачи Наполеона (I вариант):

На сторонах произвольного треугольника АВС внешним (внутренним) образом построены равносторонние треугольники.

Докажем, что соединив центры этих треугольников, получится равносторонний треугольник.

Решение с использованием геометрических преобразований

1 решение

2 решение        

Пусть - центры указанных

правильных треугольников

, построенных

на сторонах

При композиции поворотов

на вокруг центров

точка В перейдет в себя.

Сумма углов этих поворотов равна

такая композиция есть параллельный

перенос, а В – неподвижная точка

параллельного переносаэто тождественное

преобразование

Композиция поворотов на  вокруг

точек  есть поворот на угол

() вокруг точки

С другой стороны, каждый из этих поворотов можно представить как композицию двух симметрий:

где l –это прямая , a и b – прямые, проходящие соответственно через точки  и образующие с прямой l углы .

Тогда прямые a  и b пересекутся в центре поворота, являющегося композицией этих двух поворотов, т.е. в точке .

Следовательно, - равносторонний.

3 решение

Решение с использованием теоремы косинусов для четырехугольника

AC=b, CB=a, AB=c

Рассмотрим

По теореме косинусов:

Симметрия полученной формулы относительно a, b, c указывает на то, что

Рис.1

Решение с использованием теоремы косинусов для треугольника

Рис.2

Следствие 1

Если один из углов исходного ∆АВС равен π/3, то одна из сторон треугольника, вершинами которого являются внутренние центроиды, лежит на биссектрисе этого угла.

Рассмотрим рисунок:

Если XAZ=0, тоВАС=π/3

Следствие 2

Если исходный ∆АВС представляет собой равносторонний треугольник, то все внутренние центроиды стягиваются в точку, а треугольник, вершины которого являются внешними центроидами, вместе с исходным ∆АВС образуют фигуру, известную «Звезда Давида»*.

В этом случае

*Звезда Давида —  эмблема в форме шестиконечной звезды (гексаграммы), в которой два равносторонних треугольника наложены друг на друга: верхний — концом вверх, нижний — концом вниз, образуя структуру из шести равносторонних треугольников, присоединенных к сторонам шестиугольника.

Звезда Давида изображена на флаге Государства Израиль и является одним из основных его символов. Согласно легенде, этот символ был изображён на щитах воинов царя Давида.

Следствие 3

Если один из углов исходного равен , то внутренние центроиды лежат на сторонах треугольника, вершинами которого являются внешние

центроиды.

Для доказательства этого утверждения, прежде всего заметим, что пары центроидов K  и  X, L и Z, M и  Y лежат на медианах соответствующих сторон исходного треугольника ABC.

Пусть в  и  

Поскольку  

Это означает, что  Ясно также, что

Далее применим метод координат. Поместим начало координат

 в вершину С, а ось абсцисс направим по стороне АС.

Найдем координаты Z:

В выбранной системе координат уравнение прямой KM имеет вид:

Координаты Z(-) удовлетворяют этому уравнению, отсюда .

Формулировка задачи Наполеона (II вариант):

Если соединить вершины равносторонних треугольников, построенных на сторонах произвольного треугольника, то получится равносторонний треугольник.

Задача:

Каждая из сторон треугольника FBD поделена на 3 равные части. На средних сторонах построены внешним образом равносторонние треугольники. Тогда вершины треугольников, лежащие на сторонах треугольника ACE, образуют равносторонний треугольник.

Соединим отрезками соседние вершины треугольников, т.е. проведем отрезки AF, AB, BC, CD, DE, EF.

Рассмотрим треугольники FED, FME, END, EMN

Заключение

В своей работе я рассмотрела варианты задачи Наполеона и их решения различными способами. Но моя работа ещё незакончена, сейчас я пытаюсь сделать обобщение в этой задаче, когда стороны исходного треугольника делят на  n  равных частей. Занимаясь исследованием задачи Наполеона, я научилась подходить к решению задач с разных сторон и находить наиболее рациональные способы.

Список литературы

1. http://ru.wikipedia.org/wiki/
2. Я.И.Перельман. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. «Издательство АСТ», 1999. – С. 398.
3. Liang-shin Hahn. Complex numbers and geometry. – Published by The Mathematical Association of America,1994. – Р. 60, 112, 180.
4. Журнал Квант №6, 1972г.