"Вспомогательная окружность"

МОУ Лицей №82

Научное общество учащихся

Вспомогательная окружность.

Выполнил: ученик 10б

Егоров Игорь

Руководитель: Шмонина О.В.

Нижний Новгород

2009 год

Содержание

Введение……………………………………………………………………………......3

§1. Метод вспомогательной окружности

1.Вписанные и описанные многоугольники…………………………………..4

        2.Ключевые задачи, решаемые методом вспомогательной окружности……6

§2.Планиметрические задачи…………………………………..………………….…10

§3.Стереометрические задачи………………………………………………………..14

Заключение……….…………………………………………………………………...14

Список литературы….………………………………………………………………..15

Введение

Характерным для решения нестандартных геометрических задач является применение вспомогательных построений. С их помощью решаемую задачу обычно удаётся свести к элементарным задачам, решения которых известны или легко могут быть получены.

Вспомогательные построения иногда напрашиваются сами собой. При решении же нестандартных задач найти удачное вспомогательное построение не так-то просто. Требуется большой опыт, изобретательность, геометрическая интуиция, чтобы догадаться, какие дополнительные линии следует провести. Помочь делу может умение применять геометрические преобразования, которые приводят к построению вспомогательных фигур. Так, ключ к решению ряда задач даёт вспомогательная окружность.

Часто среди задач части «В» ЕГЭ по геометрии встречаются планиметрические, нередко требующие для своего решения дополнительных построений. Построение вспомогательной окружности помогает установить связь между данными и неизвестными элементами фигуры.

В этой работе мы рассмотрим метод решения задач при помощи вспомогательной окружности.

§1. Метод вспомогательной окружности

1.Вписанные и описанные многоугольники

При решении планиметрических задач, когда требуется установить равенство некоторых углов, нередко полезно около треугольника или четырёхугольника описать окружность. Это позволяет использовать теорему о вписанном угле и её следствия.

Как известно, около всякого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. При определённом условии окружность можно описать и около четырёхугольника. Если четырёхугольник ABCD вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 1800, а углы ABD и ACD, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Верно и обратное предположение.            

                                                                                                  D

                                                                                                        С

                                                                                            А                                  В

Вспомогательные построения позволяют сократить и упростить вычисления. Всегда интересно задачу на построение решить геометрически, придумать подходящее вспомогательное построение. В случае неудачи стоит перейти к вычислениям, выразить через данные элементы некоторые другие элементы треугольника и посмотреть, что подскажут полученные формулы.

Свойства дополнительных треугольников позволяют весьма просто решить некоторые геометрические задачи. Например, задачи на вычисление элементов треугольника, когда легче найти зависимость между элементами дополнительного треугольника, а также задачи на построение, если известны элементы треугольника, дополнительного к искомому.

Для решения таких задач используются геометрические преобразования, которые приводят к построению вспомогательных фигур. Это может быть вспомогательная окружность, которую можно вписать и описать около треугольника, четырёхугольника или многоугольника.

Итак, при решении задач можно воспользоваться следующими утверждениями:

1. Около всякого треугольника можно описать окружность, и притом только   одну.
2. Если ABCD-выпуклый четырёхугольник и сумма его противоположных углов равна 180о, то ABCD можно вписать в окружность.
3. Точки В и С лежат по одну сторону от прямой AD и ABD=ACD (см. рисунок).

2.Ключевые задачи, решаемые методом вспомогательной окружности

Задача 1

        В остроугольном треугольнике проведены высоты AP, BQ и CR. Доказать, что ABQ=APR.

        Решение

Пусть Н – точка пересечения высот треугольника. Так как AРB и СРВ прямые, то около четырехугольника ВРНR можно описать окружность, приняв ВН за диаметр. Построив окружность, замечаем равенство углов ABQ=APR, как вписанных в окружность и опирающихся на одну и ту же дугу.

Таким образом, построение вспомогательной окружности позволило использовать теорему о вписанных углах и благодаря этому установить связь между указанными в задаче углами.

В случае, если  В треугольника АВС тупой, равенство ABQ=APR не сохраняется.

Задача 2

        Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника АВС опущен на гипотенузу АВ перпендикуляр МN. Доказать, что MAN=MCN.

Решение

Рассмотрим четырехугольник ACMN - С и N равны по 90 градусов, а этого необходимо и достаточно для того, чтобы описать около четырехугольника окружность. Сразу замечаем, что искомые углы MAN и MCN опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны.

Задача 3

        Доказать, что прямая, соединяющая вершину прямого угла прямоугольного треугольника с центром квадрата, построенного внешне на гипотенузе, делит прямой угол треугольника пополам.

        Решение

Проведем внутри квадрата диагонали. По свойству в точке пересечения диагонали делятся пополам (AD=CD). Рассмотрим четырехугольник ABCD – угол В и угол D прямые, значит около четырехугольника можно описать окружность.

В окружности две хорды (AD и CD) равны, значит и равны стягиваемые ими дуги. На равные дуги опираются вписанные углы АВD и CBD, значит, эти углы равны.

Задача 4

        Доказать, что квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением заключающих ее сторон и произведением отрезков третьей стороны, на которые она делится биссектрисой.

        Решение

Около треугольника АВС опишем окружность и продолжим биссектрису CD треугольника до встречи с окружностью в точке Е. Пусть ВС=а, АС=b, AD=m, DB=n, CD=l, DE=x.

По условию ACE=BCE, кроме того, AЕС=АВС, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АСЕ и BCD подобны и справедливо равенство

Откуда l2 = ab – lx. Хорды АВ и СЕ пересекаются в точке D. Поэтому выполняется равенство lx = mn.

Следовательно  l2 = ab – mn.

Задача 5

Высота и медиана треугольника, проведенные из одной вершины внутри него, различны и образуют равные углы со сторонами, выходящими из той же вершины. Доказать, что треугольник прямоугольный.

        Решение

Опишем около треугольника ABC окружность и продолжим медиану СМ до встречи с окружностью в точке D. Рассмотрим треугольники ACH и BCD. Так как ACН=BCМ по условию и A=D, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, то ACН=СBD=90°, следовательно CD – диаметр окружности. Центр окружности лежит на диаметре CD и на перпендикуляре m к стороне АВ в ее середине М. Так как медиана СМ не является высотой, то прямые CD и m имеют только одну точку М, которая и является центром описанной окружности. Следовательно, АВ – диаметр окружности и АСВ=90°, значит треугольник АВС прямоугольный.

Задача решена.

Полностью аналогичным способом решается задача, если изначально равны три угла: АСН, НСМ и МСВ.

Задача 6

На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне его построены квадраты АСА1А2 и ВСВ1В2. Доказать, что прямые АВ1,  А1В и А2В2 пересекаются в одной точке.        

Решение

Опишем около квадратов окружности. Окружности пересекутся в двух точках: С и С1. Точка С1 как раз и является точкой пересечения прямых АВ1, А1В и А2В2. Действительно А2С1С=90°, как вписанный и опирающийся на полуокружность. Аналогично СС1В2=90°. Поэтому их сумма будет равна 180°, т.е. лучи С1А2 и С1В2 будут составлять одну прямую. Углы А1С1С, СС1В1, В2С1В и АС1А2 будут равны 45 градусам, т.к. являются вписанными в окружностях и опираются на дуги, длины которых равны четвертям длин окружностей. Тем самым, мы получили, что точка С1 будет лежать на прямых АВ1 и А1В.

§2. Планиметрические задачи

Задача №1

Из вершины А квадрата ABCD проведены лучи, образующие между собой угол 45о. Один из них пересекает диагональ BD в точке М, другой - сторону ВС в точке N. Доказать, что AMN=90о.

        Решение

Из вершин А и В квадрата отрезок MN виден под равными углами:

MAN=MBN =45о. Следовательно, около четырёхугольника ABNM можно описать окружность. Т.к. сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна 180о и ABN =90о, то и AMN =90о. Кроме того, замечаем, что отрезки АМ и MN равны как хорды, стягивающие равные дуги окружности. Таким образом, устанавливаем, что треугольник AMN не только прямоугольный, но и равнобедренный.                              

          M

                                  N    

        D                                 C                                                                                                      

        A                                  B

Задача №2

В остроугольном треугольнике АВС В=40проведены высоты АD и ВЕ. Найдите ВЕD.

Решение

Углы АDВ и АЕВ опираются на сторону АВ, значит точки А,В,D,Е лежат на окружности. Следовательно, ==50

Ответ.50.

Задача №3

В четырехугольнике АВСD известны  углы: ВАD=96, ВАС=54, CBD=42.  Чему   равен  BDC?

Решение

DAC=BAD-BAC=96-54=42, т.е DAC=CBD. Но тогда  около  четырехугольника АВСD можно описать окружность. Следовательно, BDC=BAC=54(как вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу).

Ответ. 54

Задача №4

В четырехугольнике ABCD известны углы: CBD=58, ABD=44, ADC=78. Найти  угол  САD.

Решение:

 АВС=АВД+СВД=44+58=102. Но тогда АВС+АДС=102+78=180 и, следовательно,  около  четырехугольника  АВСД  можно описать окружность. Поэтому САД=СВД=58(как  вписанные углы,  которые опираются на одну и ту же дугу)

 Ответ.58

Задача №5

Через некоторую точку плоскости проведены три прямые так, что угол между любыми двумя из них равен 60 градусов. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки плоскости на эти прямые, служат вершинами равностороннего треугольника.

Решение

Пусть прямые пересекаются в точке О, М – некоторая точка плоскости, А,В и С – основания перпендикуляров, опущенных на данные прямые из точки М. Заметим, что точки О, М, А, В и С согласно условию принадлежности точек одной окружности лежат на одной окружности с диаметром ОМ.

Теперь мы видим, что угол АВС равен АОС, поскольку оба они опираются на одну и туже дугу (АС). Значит, угол АВС равен 60 градусов, точно так же угол АСВ равен 60 градусов. Следовательно, треугольник АВС – равносторонний.

Задача решена.

§3. Стереометрические задачи

Задача 1

        Дан остроугольный  треугольник ABC и точка М – произвольная точка пространства, не принадлежащая плоскости треугольника. В треугольнике проведены высоты AP, BQ и CR. Н – точка пересечения высот. Доказать, что около пирамиды MBPHR можно описать сферу.

        Решение

М

В

R

H

P

A

C

Рассмотрим четырехугольник ВРНR. Так как AРB и СRВ прямые, то около четырехугольника ВРНR можно описать окружность, приняв ВН за диаметр. Так как основание четырехугольной пирамиды можно вписать в окружность, то около самой пирамиды можно описать сферу.Таким образом, построение вспомогательной окружности позволило найти верный путь к решению задачи.

Задача 2

С

Р

Дана треугольная пирамида PABC, высота которой равна половине АВ. Высота и медиана треугольника АВС, проведенные из вершины C внутри него, различны и образуют равные углы со сторонами, выходящими из той же вершины. Доказать, что треугольник АВС лежит в плоскости большого круга описанной около пирамиды сферы.        Решение

Н

В

М

А

Так как пирамида треугольная, то около неё всегда можно описать сферу. Опишем сферу и рассмотрим треугольник АВС.Опишем около треугольника ABC окружность и продолжим медиану СМ до встречи с окружностью в точке D. Рассмотрим треугольники ACH и BCD. Так как ACН=BCМ по условию и A=D, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, то ACН=СBD=90°, следовательно CD – диаметр окружности. Центр окружности лежит на диаметре CD и на перпендикуляре m к стороне АВ в ее середине М. Так как медиана СМ не является высотой, то прямые CD и m имеют только одну точку М, которая и является центром описанной окружности. Следовательно, АВ – диаметр окружности и АСВ=90°, значит треугольник АВС прямоугольный.

Рассмотрим пирамиду PABC. Точка М равноудалена от точек А и В. Высота пирамиды равна половине АВ по условию, значит, АВ – диаметр описанной около пирамиды сферы, а точка М – центр сферы. Значит, треугольник АВС лежит в плоскости большого круга описанной около пирамиды сферы.

Задача решена.

Задача 3

В основании пирамиды РАВС лежит остроугольный треугольник АВС с углом В=40,  АD и ВЕ высоты этого треугольника. Точка F расположена на ребре РС пирамиды  так, что FEАВС и точка Е принадлежит АС. Найдите величину двугранного угла ВEFD.

А

Р

F

C

E

D

B

FEАВС, значит FE перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости АВС, т.е. перпендикулярен ЕВ и ED. Значит, угол BED является линейным углом двугранного угла BEFD.  Следовательно, величина этого двугранного угла равна градусной мере угла BED.  Углы АDВ и АЕВ опираются на сторону АВ, значит точки А,В,D,Е лежат на окружности. Следовательно, ==50. Итак, градусная мера данного двугранного угла равна 500.

Заключение

Метод вспомогательной окружности при решении сложных нестандартных задач по геометрии очень быстро приводит к цели, позволяет решаемую задачу свести к элементарным задачам, решения которых известны или легко могут быть получены.

При выполнении работ мною были подобраны и проанализированы нестандартные задачи, задачи, предлагаемые на ЕГЭ по математике.

Список литературы

1. Р.Г. Готман: «Задачи по планиметрии и методы их решения».
2. Журнал «Квант» 1979 год, выпуск №1.