Конхоида Никомеда и кубические уравнения. Их связь со знаменитыми задачами древности на построение».

Муниципальное образовательное учреждение

 «Средняя общеобразовательная школа №1 г. Суздаля»

 «Конхоида Никомеда  

и кубические уравнения. Их связь со знаменитыми задачами древности

на построение».

Работу выполнила:

ученица 10 «А» класса

Бычкова Наталья Александровна.

Преподаватель:

Плотникова Татьяна Владимировна.

2010г.

Оглавление

Цели

Меня заинтересовала тема «Конхоида Никомеда  и кубические уравнения. Их связь со знаменитыми задачами древности на построение».

И целью моей работы стало изучение достижений французского математика Франсуа Виета. Для этого мне надо было познакомиться с его научными суждениями и выяснить, как связаны кубические уравнения, конхоида Никомеда и знаменитые задачи древности.

Задачи

В ходе изучения передо мной стоял ряд задач:

• Найти различный материал, соответствующий теме;
• Тщательно изучить его;
• Выбрать самые ценные сведения;
• Оформить и отредактировать весь материал;
• Наполнить его иллюстрациями;
• Сделать приложение к моей работе, презентацию, в которой отображены факты и ценная информация;
• Представить работу в электронном виде.

Введение. Биография.

«…Искусство, которое я излагаю,

 ново или, по крайней мере, было

 настолько испорчено временем

 и искажено влиянием варваров,

 что я счел нужным придать ем

у совершенно новый вид…»

Франсуа Виет (1540—1603)(приложение рис.1) родился на юге Франции (приложение рис.2) в небольшом городке Фонтене-ле-Конт провинции Пуату, недалеко от знаменитой крепости Ла-Рошель. Сын прокурора, Виет получил юридическое образование и начал адвокатскую практику в родном городе в 1560 году. Но вскоре он стал секретарём и домашним учителем двенадцатилетней дочери в доме знатного дворянина – гугенота  де Партеней. (Гугеноты — последователи кальвинизма, одного из основных течений Реформации Церкви.) Именно тогда преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике. Тогда Виет очень увлёкся изучением астрономии и тригонометрии и даже получил некоторые важные результаты.

Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей и в 1571 г. переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом (рис.3), с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли (рис.4) вел дружескую переписку. Он возобновил адвокатскую практику, а позже стал советником парламента в Бретани. Знакомство с Генрихом Наваррским (рис.5), будущим королём Франции Генрихом IV, помогло Виету занять видную придворную должность — тайного советника — сначала при короле Генрихе III (рис.6), а затем и при Генрихе IV. В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный пост рекетмейстера, который давал право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

Во время правления Генриха IV, голландский математик Андриан Ван Роумен (рис. 7), известный тем, что вычислил число π с восемнадцатью верными знаками, повторив тем самым через 150 лет результат среднеазиатского математика ал–Каши, в конце 16 столетия решил бросить вызов всем математикам мира. Он разослал во все европейские страны уравнение 45-й степени:

 x45 - 45x43 + 945x41 - 12300x39 +... + 95634x5 - 3795x3 + 45x=a, французским математикам он решил это уравнение не посылать, считая, что там нет способных справиться с задачей: Декарт в то время еще не родился, Пьера Рамуса (рис.3) в 1572 убили в Варфоломеевскую ночь, о других математиках не было слышно. Так французские математики не смогли принять вызов. Больше всего было ущемлено самолюбие Генриха IV (дедушка Людовика XIV).

- И все же у меня есть математик! - воскликнул король. - Позовите Виета!

В приемную короля вошел пятидесятитрехлетний седоволосый советник короля Франсуа Виет. Он тут же, в присутствие короля, министров и гостей, нашел один корень предложенного уравнения. Виет увидел, что а есть сторона правильного 15-угольника, вписанного в круг радиуса 1, а по коэффициентам второго и последнего членов заключил, что х есть хорда 1/45 этой дуги, как оно и было на самом деле. Король ликовал, все поздравляли придворного советника. На следующий день Виет нашел еще 22 корня уравнения, описываемые выражением: при n=1,2,...,22. Этим он и ограничился, так как остальные 22 корня - отрицательные, а Виет не признавал ни отрицательных, ни мнимых корней.

После такого успеха Виета составитель злополучного уравнения Роумен стал ревностным почитателем его. Нельзя сказать, что во Франции о Виете ничего не знали. Громкую славу он получил еще раньше, при Генрихе III во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись, которая все время изменялась, дополнялась и состояла примерно из 500 знаков. Благодаря этому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. Рассказывают, что Виет, две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки - Виет. Будучи уверенными, в невозможности разгадать способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.

Виет жил в эпоху кровопролитных религиозных войн. Нет сведений о том, католиком он был или гугенотом. Известно только, что по настоянию ярых католиков герцогов де Гизов (рис.8) его отстранили от должности в конце 1584 г. и выслали из Парижа. Лишь после разрыва короля с де Гизами в начале 1589г., он вновь был приглашён ко двору. Четыре года опалы оказались необычайно плодотворными для Виета. Обретя покой и отдых, ученый поставил перед своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи. Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом трактате «Введение в аналитическое искусство». Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато - квадраты и т.д. Для этих  видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных – согласные. Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т.е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры. Математика стала его единственной страстью, он работал самозабвенно. По рассказам современников, Виет мог просиживать за письменным столом по трое суток подряд, только иногда забываясь сном на несколько минут. Несмотря на огромное желание и упорные занятия, книгу Виет всё же не завершил. Но главное было написано. И это главное определило развитие всей математики Нового времени.

 Виета называют творцом современной алгебры за очень важное нововведение – он целеустремленно и последовательно применял в алгебре буквенное исчисление. Чтобы отчетливее представить себе, в чем суть буквенного исчисления Виета и почему оно так важно для всей современной алгебры, посмотрим, что представляла алгебра до него. Почти все действия и знаки записывались словами, не было и намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми сейчас умеет пользоваться каждый ученик. Поэтому нельзя было записывать и, следовательно, изучать в общем виде алгебраические уравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми  числами, которые от этих самых чисел не зависят.

Виет и его последователи установили, что не имеет значения,  будет рассматриваемое число количеством предметов или длиной перпендикуляра. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Не имеет значения также, известно ли нам число или числа, то все числа как бы однородны и их можно обозначить какими-нибудь отвлеченными знаками, например, буквами латинского алфавита. Виет не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Это была удачная мысль, и она стала сразу приносить обильные плоды. Например, вскоре был доказан общий алгебраический закон умножения: умножение отрезков есть та же операция, что и умножение чисел. Появилась возможность записывать алгебраические выражения в виде формул.

Однако  у самого Виета алгебраические обозначения или алгебраические символы были мало похожи на наши. Сравните современную запись кубического уравнения  и запись этого же уравнения в обозначениях Виета:

A cubus + B planum in A 3 aequatur D solido.

Здесь еще очень много слов, но ясно, что эти слова уже играют роль наших символов; так, латинское слово cubus после неизвестного A (неизвестное обозначалось гласной буквой) означает наше «в кубе». Слово, aequatur (в переводе на русский «равный») написано вместо нашего знака «=», умножение чисел А и В обозначено предлогом in (все, что осталось после сокращения от выражения «взять во столько-то раз больше»). Остальные слова – это следы прошлого, следы того, что у Виета алгебра еще не полностью освободилась от посторонних для нее влияний геометрии.

Но уже такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой его имени, обнародованной в 1591 году, о выражении коэффициентов уравнения через го корни, хотя под корнями он понимал только положительные числа, не признавал за корни отрицательные и совсем не подозревал о существовании комплексных чисел. Сам автор формулировал ее так: «Если B+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно BD, то А равно В и равно D». При составлении обширных таблиц тригонометрических функций Виет с большим искусством применил десятичные дроби. Глубокий интерес к тригонометрии у него был вызван желанием сделать астрономию более точной.

Математиков столетиями интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. Увлекшись тригонометрией, Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор.

Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

Эти знания из тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре, так и в геометрии. Используя представление о круге как о пределе вписанных в него многоугольников при увеличении числа их сторон, Виет вычислил число π до 18-го знака после запятой (из них 11 знаков верны).

Виет решил при помощи циркуля и линейки знаменитую задачу, сформулированную геометром Древней Греции Аполлонием из Перги. По условию этой задачи надо построить круг, касательный к трем данным кругам. Гордясь найденным решением, Виет называл себя «Аполлонием из Галлии» (Галлией в старину называли Францию).

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ля Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: «… 14 февраля 1603 г. Господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер в Париже. Ему было более шестидесяти лет».

Конхоида Никомеда

Никомед (рис.9) (Nικoμήδης, лат. Nicomedes, III век до н. э.) — древнегреческий математик.

Время жизни Никомеда определено, исходя из следующих соображений. С одной стороны, Никомед критиковал Эратосфена за предложенный этим математиком метод удвоения куба. С другой стороны, Аполлонию Пергскому конхоида Никомеда была уже известна.

Никомед занимался классическими математическими проблемами — квадратурой круга и удвоением куба. Для удвоения куба он использовал приём вставок. Для выполнения этого приёма он построил специальную механическую кривую — конхоиду, которую описал в не дошедшем до нас сочинении. Никомед изобрёл и особый механизм для вычерчивания конхоиды. Папп Александрийский пишет, что Никомед, как и Динострат, использовал некую квадратрису (возможно, квадратрису Гиппия) для осуществления квадратуры круга.

Механическую кривую открыл древнегреческий ученый Никомед (хотя свое название она получила от Прокла: «конхоида» - похожая на раковину).

В 17 и 18 вв. конхоиду Никомеда исследовали другие ученые. Исаак Ньютон (рис.10) применял ее для геометрического решения уравнения третьей степени.

Конхоида определяется таким образом: на плоскости фиксируется прямая L и точка О, и задается произвольное число a. Через точку О проводятся всевозможные прямые, на каждой из которых от точки пересечения с прямой L в обе стороны откладываются отрезки фиксированной длины а = MM '= MM". Вторые концы этих отрезков (M', M") образуют конхоиду.        

Решение кубических уравнений

Никто из прославленных математиков не создал единолично теорию решения алгебраических уравнений; каждый из них вносил лишь крупицу драгоценных знаний.

Сабит ибн Корра (836—901), который перевел на арабский язык некоторые труды Аполлония, Архимеда и Евклида (рис.11), формулируя архимедову задачу о сечении шара плоскостью, самостоятельно пришел к уравнению третьей степени: x3 + q = px, которое послужило затем толчком для исследования кубических уравнений.  

Аль-Бируни (973—1050), решая задачу о нахождении стороны правильного вписанного в круг девятиугольника, свел ее к двум кубическим уравнениям:

x3 + 1 = 3x    и    x3 = 1 + 3x 

(для них было найдено приближенное решение). К первому уравнению можно свести и задачу о трисекции угла. В самом деле, известно, что

sin 3φ = 3sinφ – 4sin3φ;

предположим, что 3φ = 2π/3; тогда sin 3φ = 1/2 и 1 = 6sinφ – 8sin3φ; если 2sinφ = x, мы как раз и придем к уравнению 1 = 3x – x3.  

Поэт и ученый Омар Решая задачу по разделению числа 10 на две части так, чтобы сумма их квадратов от деления большей части на меньшую равнялась 72, Абу-л-Джуд пришел к уравнению x3 + 27x/2 + 5 = 10x2, для которого нашел один корень x = 2. То, что число корней должно быть равно степени уравнения, арабы не знали; эта истина открылась позднее европейцам (строгое обоснование этому математическому факту дал Декарт).

Хайям (рис.12) (1048—1131) написал трактат по алгебраическим уравнениям, где привел их классификацию, состоящую из 25 видов, 14 из которых были кубические. Его классификация не была известна европейским математикам Нового времени. Впервые трактат был обнаружен и опубликован на арабском языке лишь в 1936 г. Тем не менее этот трактат говорит нам сейчас об уровне развития арабской математики XI—XII вв. В нем автор приводит методы решения уравнений и дает определение того, что нужно понимать под алгебраическими вычислениями. Хайям пишет: «Алгебраические вычисления производятся с помощью уравнений; как хорошо известно, уравнение — это уравнивание одних степеней другими».

Большинство кубических уравнений Хайям решает с помощью пересечения прямых и окружностей с линиями конических сечений. Так, корни уравнения x3 + a = bx, он ищет на пересечениях параболы x2 = yb1/2 и гиперболы x2 – ax/b = y2; корни уравнения x3 + bx = cx2 + a он определят с помощью окружности y2 = (x – a/b)(c – x) и гиперболы     x(b1/2 – y) = a/b1/2. Разумеется, все алгебраические уравнения имели у него конкретный числовой вид. Например, для уравнения x3 + 412 = 80x2 им было найдено два корня: x = 41, x = 41 + 39(3/4) и т.д.  

Таким образом, нынешнюю во многом символьную алгебру арабы сформировали как методику сведения конкретных прикладных задач к одному или нескольким уравнениям различной степени и нахождению одного или двух корней с помощью конкретных геометрических построений. Декарт, создавая свою аналитическую геометрию, во многом опирался на алгебраические работы арабов, которые вырастали из синтетической геометрии греков.

На алгебраическом трактате Хайяма развитие арабской математики, конечно, не закончилось. После него некий анонимный автор привел геометрическое построение для нахождения одного из корней уравнения четвертой степени вида x4 + 2000x = 20x3 + 1900. В трактате самаркандского математика аль-Каши (XIV—XV вв.) «Ключ арифметики» дается классификация, состоящая из 65 видов уравнений, и методы решения, в том числе, уравнений четвертой степени.

Кубическими уравнениями занимались учёные такие, как Ньютон (рис.10), Пачоли (рис.13), Леонардо да Винчи (рис.14), Ферро, Тарталья (рис.15), Бомбелли (рис.9), Джироламо Кардано (рис.16) и многие другие учёные Европы.

Дальнейшее заметное продвижение в поиске решений кубических уравнений сделал французский математик Франсуа Виет. Это произошло благодаря усовершенствованию символики, в частности, им была введена буквенная система обозначения корней и коэффициентов, что сразу же дало известное правило Виета в виде двух простых формул для квадратного уравнения:

p = – (x1 + x2)    и   q = x1x2;

для кубического уравнения:

x3 + ax2 + bx + c = 0

три коэффициента выражались следующими равенствами:

a = – (x1 + x2 + x3), b = x1x2 + x2x3 + x3x1, c = – x1x2x3.

Подобные формулы позволили Виету провести более качественный анализ уравнений первых четырех порядков (подстановки, сводящие уравнения 4-ой степени к уравнению 3-ей степени, были представлены уже в «Великом искусстве» Кардано). Заслуги французского математика перед наукой огромны; он дал формулы разложения тригонометрических функций sin nφ и cos nφ через степени sin φ и cos φ. Это достигалось с помощью выведенных им рекуррентных соотношений:

cos nφ = 2cos φ cos (n – 1)φ – cos (n – 2)φ,

sin nφ = 2cos φ sin (n – 1)φ – sin (n – 2)φ.

Он также разложил число π в бесконечное произведение косинусов:

π/2 = cos π/4 · cos π/8 · cos π/16 · cos π/32 · ...

Дело Виета достойно продолжил другой французский мыслитель — Рене Декарт (1596—1650). Декарт, а за ним Ньютон и все остальные математики, сводил уравнения к виду, который впоследствии стали называть каноническим, т.е. когда слева от равенства писался ноль. Декарт догадался, что число корней должно равняться наивысшей степени неизвестного, ибо, говорил он, перемножение n линейных двучленов вида (x – c), где c – корень, только и может дать наивысшую степень xn.

Об этом он писал в следующих словах: «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений; ибо если, например, принять x равным 2, или же x – 2 равным ничему, а также x = 3 или же x – 3 = 0, то, перемножив оба эти уравнения x – 2 = 0 и x – 3 = 0, мы получим xx – 5x + 6 = 0, или же xx = 5x + 6, уравнение, в котором величина x имеет значение 2 и вместе с тем значение 3. Если принять еще, что x – 4 = 0 и умножить это выражение на xx – 5x + 6 = 0, то мы получим x3 – 9xx + 26x – 24 = 0, другое уравнение, в котором x, обладая тремя измерениями, имеет вместе с тем три значения, а именно 2, 3 и 4» .

Понимание алгебраических уравнений в Европе установилось в точности такое же, какое оно было в странах исламского мира. Определение его у Ньютона, которое мы находим во «Всеобщей арифметике», повторяет приведенное нами выше определение Хайяма. Схоластический формализм Евклида и Аристотеля (рис.) сгубил математику и физику, затормозил развитие науки вообще более чем на полторы тысячи лет. Сбросив ярмо формальной логики, арабы эпохи Средневековья и европейцы Нового времени, опираясь на образные представления, двинули всю мировую науку вперед.

Знаменитые задачи древности

С глубокой древности известны три задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики — среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки. До сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение какой-либо из знаменитых задач с помощью циркуля и линейки.

Древнегреческие    математики    достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях с помощью циркуля и линейки. Однако три задачи не поддавались их усилиям. Прошли тысячелетия, и только в наше время, наконец, были получены их решения.

ТРИСЕКЦИЯ УГЛА

Деление произвольного угла на 3 равные части.

О возникновении этой задачи нет никаких легенд. По-видимому, она появилась внутри самой математики в связи с решением задачи о построении правильных многоугольников. Построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой должно было произвести на пифагорейцев большое впечатление, потому что правильная пятиконечная звезда была их опознавательным знаком.

Несложно разделить любой угол с помощью циркуля и линейки на две, а некоторые углы — и на три равные части. Последняя операция называется трисекцией угла. Например, мы можем построить треть прямого угла, поделив пополам угол правильного треугольника, а проведя биссектрису в образовавшемся угле в 30°, получим угол величиной 15° — треть угла в 45°. Есть и другие углы, для которых трисекция выполнима. Наверное, подобные построения и вселили надежду открыть способ трисекции любого угла посредством циркуля и линейки. Эту задачу пытались решить ещё в V в. до н. э. в Греции.

Так, например, Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик Никомед (рис.9) (II в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой Никомеда (рис. 20), и дал описание прибора для черчения этой кривой.

Никомед чертил свою конхоиду с полюсом О, основанием p и интервалом 20В; она пересекает l в искомой точке О.

Задача о трисекции угла с помощью конхоиды по методу Никомеда:

Допустим, дан угол АОД, который необходимо разделить на три части. Проведем через точку А прямую L, параллельную ОД. Построим окружность W с центром в точке А и R = a = ОА. Теперь построим конхоиду по прямой L, точке О и числу а - она будет пересекаться с окружностью W в точке C. Полученный угол СОД = 1/3 АОД.

В 1593 г. Франсуа Виет доказал, что любое кубическое уравнение можно свести либо к удвоению куба, либо к трисекции угла. Поскольку обе задачи решаются с помощью конхоиды, Ньютон предлагал включить эту кривую в число «стандартных».

Архимед придумал свой способ трисекции. На  данный угол — это угол AОВ между радиусами окружности. С помощью меченой линейки проведём прямую через точку А так, чтобы её отрезок РQ между окружностью и продолжением прямой ВО равнялся радиусу окружности.Зздесь образуются равнобедренные треугольники ОАР и ОРQ, и легко доказать, что угол ОQA втрое меньше данного.

В этом случае, чтобы найти точку Р, можно использовать конхоиду Никомеда с полюсом А и основанием 0В, а точнее, её вторую, «внутреннюю» ветвь, возникающую при откладывании постоянного отрезка от основания к полюсу. Для каждого данного угла АОВ здесь приходится чертить новую конхоиду. Но можно обойтись и одной кривой для всех углов. Рассмотрим конхоиду с тем же полюсом А, но за её основание возьмём нашу окружность; эту конхоиду опишут точки Q и Q1, прямой АР, удалённые от Р на расстояние, равное радиусу, когда Р пробегает окружность. Получающаяся кривая известна как улитка Паскаля, названная так в честь Этьена Паскаля, отца философа и математика Блеза Паскаля.

Гиппий Элидский (около 420 г. до н. э.) для трисекции угла использовал кривую, впоследствии названную квадратрисой Динострата, который позже использовал её для решения квадратуры круга.

Квадратриса получается следующим образом. Пусть дана окружность радиуса а. Начнем вращать радиус ОА с угловой скоростью p/2 вокруг точки О - центра окружностии одновременно равномерно перемещать влево со скоростью а вертикальную прямую от точки А к точке С. Точка М их пересечения и будет описывать квадратрису. Если взять за оси координат прямую ОА и прямую 0В, то в момент времени t точка М будет иметь координаты

a(1-t)  и  a(1-t) tg

При стремлении t к 1 точка М стремится, к точке Р, при этом абсцисса точки М стремится к нулю, а у ординаты один множитель стремится к нулю, а другой - к бесконечности. Их произведение будет стремиться к числу 2а/p, поэтому длина отрезка ОР равна 2a/p. Следовательно, имеет место соотношение АС/ОР=p.

Пусть теперь дана окружность радиуса г. Тогда имеем соотношение 2pr/2r = АС/ОР, в котором известны АС, ОР и 2r-диаметр данной окружности. По ним мы можем построить отрезок, равный 2r- длине окружности, это будет четвертый пропорциональный отрезок к известным трем.

Французский математик П. Ванцель в 1837 г. первым строго доказал, что невозможно осуществить трисекцию циркулем и линейкой. Пусть b = a/3. По известной формуле, соs a = = 4 соs3 b - 3 соs b. Тогда для величины х = 2 сов b получается уравнение x3 – 3x - а = 0, где а = 2 соs a . Геометрическая задача трисекции данного угла а циркулем и линейкой разрешима тогда и только тогда, когда полученное алгебраическое уравнение разрешимо в квадратных радикалах. Возьмём, например, a = 60°. Тогда уравнение примет вид х3 – 3x - 1 = 0. Оно неразрешимо в квадратных радикалах, а потому и трисекция с помощью циркуля и линейки в данном случае невозможна. Тем более она невозможна в общем случае. Интересно, что вообще для углов вида 360°/n с целым п трисекцию удаётся осуществить тогда и только тогда, когда n не делится на 3.

УДВОЕНИЕ КУБА

Построение стороны куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба.

О возникновении задачи удвоения куба сохранилась следующая легенда: "... во время эпидемии чумы послали афиняне в Дельфы вопросить оракула, что им сделать, чтобы чума прекратилась. Бог ответил им: удвоить алтарь и принести на нём жертвы. А так как алтарь был кубической формы, они взгромоздили на него ещё один такой же куб, думая тем исполнить повеление оракула. Когда же чума после этого не прекратилась, отправились они к Платону и спросили, что же теперь делать. Тот отвечал: "Сердится на вас бог за незнание геометрии".

В этой задаче требуется построить циркулем и линейкой куб вдвое большего объёма, чем заданный. Ребро искомого куба равно а,  где а - ребро исходного куба. Если принять, что а = 1, то искомое ребро х есть корень уравнения x3 - 2 = 0. У данного уравнения нет рациональных, а значит, и квадратично-ирациональных корней. Следовательно, удвоение куба нельзя осуществить циркулем и линейкой. Примерно такое рассуждение было применено в начале XIX в., когда был подготовлен необходимый для этого алгебраический аппарат.

Известна несколько легенд одна из них такова. Греческий комментатор VI в. до н. э. сообщает о письме, предположительно написанном царю Птолемею I. В нём говорится, что царь Минос построил на могиле сына надгробие кубической формы, но остался недоволен размерами памятника и приказал удвоить его, увеличив вдвое ребро куба. Комментатор указывает на ошибку царя Миноса (площадь поверхности памятника в результате увеличилась в четыре, а объём — в восемь раз) и рассказывает, что тогда геометры попытались решить эту задачу.

Но так и не сумев с ней справиться с помощью циркуля и линейки, греки попробовали применить другие инструменты, механизмы и даже специальные кривые. Гиппократ Хиосский, знаменитый геометр V в. до н. э., свёл удвоение куба к построению «двух средних пропорциональных» х и у для данных отрезков а и b, т. е. к решению уравнений

a : x =x : y = y : b

(при b=2a получаем x=a). Эту идею удалось реализовать Платону около 340 г. до н. э. с помощью нетрадиционных чертёжных инструментов — двух прямых углов.

Менехм примерно в .350 г. до н. э. решал задачу об удвоении куба, используя конические сечения — кривые, по которым плоскости пересекают конус. Свои решения дали также крупнейшие древнегреческие математики Евдокс, Эратосфен, Аполлоний, Герон, Папп и др.

Одно из решений задачи об удвоении куба. Здесъ BC=BD, AB=AC=EF, а прямая l=CE параллельна АD. Полагая ВС = a, АВ = b/2, АЕ = x и СF =у, можно найти, что x и y — два средних пропорциональных а и b или, в частности, что x=a при b = 2а. Все точки и линии на этой фигуре, кроме прямой АЕF, строятся циркулем и линейкой; а прямую можно провести, если разрешить метки на линейке. Хватит двух меток Е и F; их нужно сделать на расстоянии b/2 друг от друга. Тогда прямую АЕF строят, поместив линейку так, чтобы её край проходил через A, одна метка попала на l, а другая на прямую ВС.

Никомед из Александрии (II в. до н. э.) использовал для решения этой задачи особую кривую — конхоиду. Её опишет точка F, если меченую линейку перемещать так, чтобы её край всё время проходил через точку А (её называют полюсом конхоиды), в то время как точка Е пробегает всю прямую (основание конхоиды). Постоянная длина ЕF называется интервалом. Точнее, это будет одна ветвь конхоиды; вторую её ветвь описывает точка, симметричная Р относительно Е. Никомед находил точку Р , чертя конхоиду с полюсом А и основанием. Он даже изобрёл специальный прибор для вычерчивания этих кривых.

КВАДРАТУРА  КРУГА

Построение квадрата равновеликого данному кругу.

Задача квадратуры круга была очень популярна в Древней Греции. Плутарх сообщает, что философ Анаксагор (ок. 500-428 гг. до н.э.) в тюрьме занимался этой задачей. О ней упоминается в комедии Аристофана "Птицы" (414 г. до н.э.): "Приложив сюда линейку, круг описываю циркулем, и верх и низ ... потом линейкой отношу прямую. Круг теперь подобен четырёхугольнику". Странным образом задача квадратуры круга и обратная ей задача кругатуры квадрата, т.е. построения круга равновеликого данному квадрату, была известна также и в Древней Индии. Индийские алтари были самой разной формы: в виде квадрата, круга, полукруга, равностороннего треугольника, равнобедренной трапеции, сокола, черепахи и т.д. Но все эти алтари должны были иметь одну и ту же площадь. Решения этих задач приведены в древнеиндийской книге "Сульвасутра".

История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач. Как следует из подобия кругов, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой π . Таким образом, длина окружности круга радиуса r равна 2 π r2. А так как площадь круга равна S = 2 π r2, то задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием 2 π r2  и высотой r. Для него потом уже без труда может быть построен равновеликий квадрат.

Итак, задача сводилась к построению отрезка, длина которого равна длине окружности данного круга. Это было показано еще Архимедом в сочинении «Измерение круга», где он доказывает, что число 3,1408 < π < 3,1429.

Были найдены и другие пути определения квадратуры круга: кроме циркуля и линейки использовали другие инструменты или специально построенные кривые. Так, древнегреческий математик Никомед (III в. до н.э.)изобрел кривую, впоследствии получившую название Конхоида Никомеда.

В задаче о квадратуре круга требуется построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу. Вероятно, задача была известна уже за две тысячи лет до н. э. в Древнем Египте и Вавилоне. Но первая прямая ссылка на неё относится к V в. до н. э. По свидетельству древнегреческого историка Плутарха, философ Анаксагор, коротая время в тюрьме, пытался квадрировать круг, т. е. превратить его в равновеликий квадрат. Если считать радиус данного круга равным 1, то сторона искомого квадрата должна составить

Надежды «квадратурщиков» подогревались существованием криволинейных фигур, квадрируемых циркулем и линейкой. Гиппократ Хиосский нашёл одну из таких фигур, известную как «луночки Гиппократа». Он нашёл и другие луночки, допускающие квадратуру, что, конечно, не помогло ему решить саму исходную задачу. Заметим, что вопрос о том, какие луночки квадрируемы, оказался сложным и был полностью решён только в XX в., советским математиком Н. Г. Чеботарёвым.

Было предложено множество построений. В лучшем случае они давали приближённое значение p с достаточно хорошей точностью. Однако, в отличие от приведённых выше решений двух других знаменитых задач, эти построения были принципиально приближёнными. Впрочем, авторы таких построений часто не сомневались в их абсолютной точности и горячо отстаивали свои заблуждения. Один из самых громких споров на эту тему произошёл в Англии между двумя выдающимися учёными XVII в. — философом Томасом Гоббсом и математиком Джоном Валлисом. В весьма почтенном возрасте Гоббс опубликовал около десяти «решений» задачи о квадратуре круга.

Итак, задача о квадратуре круга оказалась наиболее сложной из трёх. Метод, использованный в двух других задачах, здесь не подошёл, так как число p имеет совершенно другую природу, чем корни уравнений, к которым сводится трисекция. Только в 1882 г. Фердинанд Линдеман доказал, что число p трансцендентно, т. е. не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Значит, оно и не квадратично-иррационально, поскольку в противном случае было бы корнем какого-либо многочлена. Так Линдеман наконец поставил точку в проблеме разрешимости посредством циркуля и линейки последней из трёх классических задач древности.

Заключение

Работа с научными математическими материалами оказалась очень  увлекательной. Мне было интересно познакомиться с деятельностью Франсуа Виета и вложить частичку души в свою работу. Я рада, что удалось познакомиться с достижениями и биографией великого математика.

Научными достижениями Виета стали:

Он изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом трактате «Введение в аналитическое искусство». Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато - квадраты и т.д. Для этих  видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т.е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры.

Виета называют творцом современной алгебры за очень важное нововведение – он целеустремленно и последовательно применял в алгебре буквенное исчисление.

Виет и его последователи установили, что не имеет значения,  будет рассматриваемое число количеством предметов или длиной перпендикуляра. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Не имеет значения также, известно ли нам число или числа, то все числа как бы однородны и их можно обозначить какими-нибудь отвлеченными знаками, например, буквами латинского алфавита. Виет не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Вскоре был доказан общий алгебраический закон умножения: умножение отрезков есть та же операция, что и умножение чисел. Появилась возможность записывать алгебраические выражения в виде формул.

Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой его имени, обнародованной в 1591 году, о выражении коэффициентов уравнения через го корни, хотя под корнями он понимал только положительные числа, не признавал за корни отрицательные и совсем не подозревал о существовании комплексных чисел. Сам автор формулировал ее так: «Если B+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно BD, то А равно В и равно D». При составлении обширных таблиц тригонометрических функций Виет с большим искусством применил десятичные дроби. Глубокий интерес к тригонометрии у него был вызван желанием сделать астрономию более точной.

Математиков столетиями интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. Увлекшись тригонометрией, Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор.

Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

Эти знания из тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре, так и в геометрии. Используя представление о круге как о пределе вписанных в него многоугольников при увеличении числа их сторон, Виет вычислил число π до 18-го знака после запятой (из них 11 знаков верны).

Виет решил при помощи циркуля и линейки знаменитую задачу, сформулированную геометром Древней Греции Аполлонием из Перги. По условию этой задачи надо построить круг, касательный к трем данным кругам. Гордясь найденным решением, Виет называл себя «Аполлонием из Галлии» (Галлией в старину называли Францию).

Бурно развивающаяся математика наших дней, использует идеи и методы, во много раз превосходящие по глубине и общности идеи и методы, которые развивал Виет. Но и сейчас для нас интересна и ценна острая  алгебраическая мысль Виета, который широко распахнул перед математикой двери в новый мир современной алгебры. Не будем забывать, что в ее основе лежит буквенное исчисление Франсуа Виета.

Библиографический список

1. “История математики в древности” Э. Кольман.
2. “Решение уравнений в целых числах” Гельфонд.
3. “В мире уравнений” В.А.Никифоровский.
4. “История математики в школе” Г.И.Глейзер.
5. “Рассказы о старой и новой алгебре” И.Депман.
6. “Пифагор: рассказы о математике” Чистаков.
7. “Краткий очерк истории математики” Стройк Д.Я.
8. “Очерки по истории математики” Болгарский Б.В.
9. “История математики” (энциклопедия) под редакцией Юшкевича.
10. “Энциклопедический словарь юного математика” под редакцией Гнеденко.
11. Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
12. Энциклопедия по математике «Аванта+»  (М. Аксенова, Г. Храмов).
13. Энциклопедический словарь юного математика (А. Симоненко).
14. Прикладная алгебра ( М. Поздняк, Ф. Груздь).

Приложение

Рис.3  Пьер Рамус                        Рис.4   Рафаэль Бомбелли

            Рис.5  Генрих Наваррский (IV)             Рис.6  Генрих III

         Рис.7  Андриан Ван Роумен                   Рис.8   Герцог де Гиз                                        

         Рис.9  Никомед                         Рис.10  Исаак Ньютон

       Рис.11 Евклид                         Рис.12  Омар Хайям

Рис.13  Лука Пачоли                         Рис.14  Леонардо да Винчи

                  Аристотель                                    Рис.15  Тарталья

Рис.16    Джироламо   Кордано

Рис.21.

Трисекция угла

Решение задачи сводится к уравнению х3 - Зх - а = 0. Оказалось, что трисекция угла возможна для тех углов a, для которых корни этого уравнения выражаются через параметр а и целые числа лишь с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.

К кубическому уравнению сводится и знаменитая «делосская задача» удвоения куба. Свое название она получила от острова Делос в Эгейском море, где, по легенде, чтобы избавить жителей от эпидемии, оракул повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. Но в действительности она, наверное, возникла в умах математиков как обобщение задачи об удвоении квадрата. Для того чтобы построить квадрат вдвое большей площади, чем данный, достаточно провести у данного квадрата диагональ (рис. 1д) и принять ее за сторону нового квадрата.

Задача об удвоении куба оказалась существенно более трудной. Если обозначить через а длину стороны исходного куба, а через х-длину стороны вдвое большего куба, то получим соотношение х3 = 2а3 -снова кубическое уравнение. В 1837 г. тот же П. Ванцель доказал, что невозможно построить с по мощью только циркуля и линейки отрезок, в 1/2 раз больший данного, т.е. подтвердил неразрешимость задачи удвоения куба.

Естественно, что существовали способы приближенного решения этой задачи и решения ее с помощью других инструментов и кривых. Так, уже в IV в. до н.э. древнегреческие математики умели находить корень уравнения x3 = 2a3 как абсциссу точки пересечения двух парабол х2 = aу и у2 = 2ах, а также других конических сечений.

На протяжении многих веков три знаменитые задачи древности привлекали внимание выдающихся математиков. В процессе их решения рождались и совершенствовались многие математические методы.