Решение задач повышенного уровня с помощью графиков

Слайд 1

Слайд 2

1. Найти функцию, график которой симметричен графику функции у = 2х – х 2 относительно точки C (-1;1) Решение: x = -1 + x’ → x’ = x + 1 y = 1 + y’ → y’ = y – 1 Где С (-1;1) , а C’ ( 0;0) Напишем уравнение исходной функции, подставив новые значения у и х: y’ + 1 = 2(-1 + x’) – (-1 + x’) 2 Меняем знаки перед x’ и y’ : - y’ + 1 = 2(-1 - x’) – (-1 - x’) 2 Возвращаемся к старым функциям: 2 – y = 2(-2 – x) – (x + 2) 2 2 – y = -4 – 2x – x 2 – 4x – 4 y = x 2 + 6x + 10 Ответ: y = x 2 + 6x + 10

Слайд 3

2. При каком значении а уравнение a x 2 – 2x + 1 = 0 имеет: 1 решение, 2 решения, не имеет решений? a x 2 – 2x + 1 = 0 a = (2x – 1)/x 2 = 2 /x – 1/x 2 , (x = 0 не является решением ни при каком а ) a ’ = -2x -2 + 2x -4 = 2(1 – x)/x 3 1 решение при а = 0, а = 1 нет решений при а >1 Ответ: 2 решения при а Є (-∞;0) U (0;1)

Слайд 4

3. При каких β уравнение |x - 2√x| = β + 3 имеет ровно 2 решения? f(x) = x - 2 √x g(x) = |f(x)| 1) ]√x = t, t≥0 f(t) = t 2 – 2t t 0 = 1 y 0 = -1 Пересечение с осью О t : y = 0, t = 0 → x = 0 t = 2 → x = 4 Пересечение с осью Оу: t = o, y = 0 2) Построение графика β =|x - 2√x| 3) Построение графика β =|x - 2√x| - 3 Ответ: β = -3, β = -2

Слайд 5

4. Из точки F (-1;0) провести касательную к параболе y = √x Напишем уравнение любой прямой, проходящей через точку F : y = k (x + 1) Напишем уравнение касательной к графику функции, проходящей через точку F : √ x = k (x + 1) ОДЗ: х ≥0 x = k 2 (x 2 + 2x + 1) k 2 x 2 + (2k 2 – 1) x + k 2 = 0 D = 0; (2k 2 – 1) 2 - 4k 4 = 0 4k 4 - 4k 2 + 1 - 4k 4 = 0 4 k 2 = 1 k 2 = ¼ k = + ½ Ответ: y = ½ (x + 1)