Презентация к лекции по Механике жидкости и газа. Теория подобия

Слайд 1

Лекция 5 к.т.н. Сазонова Е.К. Механика жидкости и газа

Слайд 2

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ В ГИДРОДИНАМИКЕ

Слайд 3

* ‹#› Исследование процессов и аппаратов в условиях промышленного производства является очень сложным, длительным и дорогостоящим. В связи с этим большое значение имеет моделирование химико-технологических процессов . Изучение на модельных системах закономерностей отдельного процесса позволяет распространить их на все процессы подобные изученному.

Слайд 4

Теория подобия указывает, как нужно ставить опыты и как обрабатывать опытные данные, чтобы, ограничившись минимальным числом опытов, иметь право обобщать результаты и получать закономерности изменения параметров для целой группы подобных явлений. Теория подобия позволяет с достаточной для практики точностью изучить сложные процессы на моделях, значительно меньших по размерам и часто более простых, чем аппараты натуральной величины. ‹#›

Слайд 5

Одним из основных принципов теории подобия является выделение из класса явлений, описываемых общим законом, группы подобных явлений . Подобными называют явления, для которых отношения сходственных и характеризующих их величин постоянны. Основное требование , выдвигаемое при моделировании с помощью теории подобия – это подобие дифференциальных уравнений, описывающих процесс, при выполнении условий однозначности. ‹#›

Слайд 6

Дифференциальные уравнения описывают целый класс однородных явлений. Для выделения из класса конкретного явления, например, движения по трубам, необходимо ограничить дифференциальные уравнения дополнительными условиями - условиями однозначности , т.е. условиями, которые характеризуют данное явление. ‹#›

Слайд 7

Условия однозначности включают: 1) Геометрическую форму и размеры системы, в которой протекает процесс; 2) Физические (физико-химические) параметры веществ, находящихся в системе; 3) Начальные условия протекания процесса (начальные скорость, температура и т.д.); 4) Состояние системы на ее границах, например, равенство нулю скорости жидкости на неподвижных стенках. ‹#›

Слайд 8

Моделирование с помощью теории подобия основывается на изучении процесса, проходящего в промышленном аппарате (натуре) и на модели. Под моделью подразумевается материальная модель , в отличие от математической или мысленной. Это - физическое моделирование, при котором изменяются масштаб установки, физические свойства вещества и т.д., но физическая сущность изучаемого в модели процесса остаются той же, что и в оригинальном аппарате. ‹#›

Слайд 9

Различают следующие виды подобия: 1) Геометрическое подобие предполагает, что сходные размеры натуры и модели параллельны, а их отношение выражается постоянной и равной величиной. ‹#›

Слайд 10

Геометрическое подобие требует, чтобы были равны отношения всех сходственных линейных размеров натуры и модели: d 1 /d 2 = L 1 /L 2 Если рассматриваемая система - натура - находится в движении, то все ее точки при наличии геометрического подобия должны перемещаться только по подобным траекториям сходственных точек подобной ей системы - модели, и должны проходить геометрически подобные пути. Равенство всех сходственных линейных размеров определяется как геометрическое подобие : d 1 /d 2 = L 1 /L 2 = l 1 /l 2 = a l = const , где a l - безразмерное число, константа подобия или масштабный множитель , равный отношению однородных сходственных величин в подобных системах. a l позволяет перейти от размеров одной системы к размерам другой. ‹#›

Слайд 11

2) Временное подобие предполагает, что сходственные точки или части геометрически подобных систем (модели и натуры), двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные пути в промежутки времени, отношение которых является постоянной величиной: T 1 /T 2 = t 1 /t 2 = a t = const a t -константа временного подобия, T 1 , T 2 , t 1 , t 2 - промежутки времени в модели и натуре. При соблюдении геометрического и временного подобия будет соблюдаться также и подобие скоростей: v 1 /v 2 = a v ‹#›

Слайд 12

3) Подобие физических величин предполагает, что в рассматриваемых подобных системах (натуре и модели) отношение значений физических величин двух любых сходственных точек или частиц, подобно размещенных в пространстве и времени, есть величина постоянная . Чтобы физическое явление было подобным, необходимо: µ 1 /µ 2 = a µ , ρ 1 /ρ 2 = a ρ или u 1 /u 2 = a u где u 1 и u 2 -совокупность физических величин. Следует отметить, что физическое подобие включает не только подобие значений физических параметров, по и подобие совокупности значений физических величин или полей физических величин. ‹#›

Слайд 13

4) Подобие начальных и граничных условий предполагает, что начальное состояние и состояние на границах систем подобны, т.е. отношения основных параметров натуры и модели в начале процесса и на границах систем постоянны. Это условие может соблюдаться лишь в случаях, когда для начальных условий и условий на границах выдерживаются геометрическое и физическое подобие. ‹#›

Слайд 14

Свойства констант подобия 1) Константы подобия являются постоянными для двух сходственных точек натуры и модели (но они не равны между собой): a l ≠ a t ≠ a µ ≠ a ρ 2) В зависимости от соотношения (масштаба) натуры и модели константы подобия могут изменяться. 3) Входящие в константы подобия одноименные величины могут взаимно заменяться: L 1 /L 2 = l 1 /l 2 = ( L 1 - l 1 )/( L 2 - l 2 ) = d 1 l 1 /d 2 l 2 и т.д. ‹#›

Слайд 15

Инварианты подобия и критерии подобия Подобные явления можно выражать с помощью инвариантов подобия. Инвариант подобия - отношение какой-либо величины данной системы к определенной одноименной величине в той же системе, при этом все подобные величины выражаются в относительных единицах. Так: L 1 /d 1 /= L 2 /d 2 = i l = const = idem = inv - инвариантно, где i l - инвариант подобия геометрических величин. Аналогично можно записать: T 1 /t 1 =T 2 /t 2 = it . ‹#›

Слайд 16

Свойства инвариантов подобия 1) В сходственных точках подобных систем инварианты подобия для одних и тех же величин равны: i l1 = i l2 . 2) Инварианты подобия для различных величин между собой не равны: i l ≠ i t ≠ i ρ . 3) При изменении масштаба модели и натуры инварианты подобия не изменяют свою величину. Инварианты подобия, выраженные отношением простых однородных величин, называют симплексами. ‹#›

Слайд 17

Инварианты подобия, выраженные через соотношения разнородных величин и представляющие собой безразмерные комплексы, называют критериями подобия . Критерии подобия обозначают именами выдающихся ученых, например, критерий Рейнольдса. Критерии подобия получают подобным преобразованием дифференциальных уравнений, описывающих какой-либо процесс. ‹#›

Слайд 18

Теоремы подобия 1-я теорема, Ньютона Подобные между собой явления имеют равные критерия подобия. Т.к. в подобных системах критерии подобия равны, то отношение критериев подобия натуры и модели всегда будет равно единице. Теорема отвечает на вопрос, какие величины необходимо измерять во время эксперимента: величины, входящие в критерии подобия. ‹#›

Слайд 19

2-я теорема. Бэкингема, Афанасьевой-Эренфест Любое дифференциальное уравнение, связывающее между собой переменные, характеризующие какой-либо процесс, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия. f(K 1 , K 2 , K 3 ,...,K n ) = 0 - обобщенное критериальное уравнение, К i -критерий подобия. Если в критерии подобия есть величина, не входящая в условия однозначности, такой критерий называют определяемым. ‹#›

Слайд 20

2-я теорема. Бэкингема, Афанасьевой-Эренфест В него входит величина, которую требуется определить, решая уравнение. Тогда: K 1 = f(K 2 , K 3 ,...,K n ) или где A, p, q, s – экспериментальные константы. Данная теорема отвечает на вопрос, как нужно обрабатывать экспериментальные данные: в виде зависимости между критериями подобия. ‹#›

Слайд 21

3-я теорема. Кирпичева-Гухмана Подобны те явления, условия однозначности которых подобны, а определяющие критерии, составленные из условий однозначности, численно равны. ‹#›

Слайд 22

С помощью теории подобия исследования проводят в два этапа: 1) Проводят подобное преобразование дифференциального уравнения, описывающего процесс, и получают критерии подобия; 2) Опытным путем на моделях устанавливают конкретный вид зависимости между критериями подобия, получая при этом обобщенное расчетное уравнение. Это уравнение работает в исследованных пределах изменения определяющих критериев. ‹#›

Слайд 23

Недостатки теории подобия 1) Теория не может дать больше того, что содержится в исходных дифференциальных уравнениях. Если исходные уравнения неверно описывают физическую сущность процесса, то и полученные с помощью теории подобия зависимости будут неверными. 2) Физическое моделирование всегда связано с проведением эксперимента на модели, иногда довольно сложного и длительного. Полученные обобщенные уравнения надежно работают только в интервалах переменных, которые были использованы в экспериментах. ‹#›