Исследование устойчивости статически нагруженной оболочки в динамической постановке.

Исследование устойчивости статически нагруженной оболочки в динамической постановке.

А.А.Талипова, Ф.Х.Тазюков

ИММ КазНЦ РАН, К(П)ФУ

Email:aian18@mail.ru

При потери устойчивости оболочки происходит хлопок. Поэтому рассмотрим устойчивость оболочки в динамической постановке. Момент потери устойчивости – это переход от изгиба оболочки к нелинейным колебаниям вокруг положения равновесия.

Уравнение движения и временные условия получим из принципа Остроградского – Гамильтона:

                                                          (1)

при      (2)

:                                                      (3)

Временные условия  (3) соответствуют критерию А.В. Саченкова.

1. Для решения задачи при осевом сжатии выберем выражение для прогиба в виде:

                      (4)

Уравнения (1) примут вид:

                                (5)

Представим аналитическое решение. Выразим из статического аналога первого уравнения системы (5):

                                                  (6)

Подставим во второе уравнение системы (5), получим:

                                                        (7)

Умножаем уравнение (7) на  и интегрируем от 0 до :

                                             (8)

Учитывая условия (2), (3), минимизируя уравнение по , получим:

=3,1052;   =0,0946.                                                                     (9)

Решаем задачу численно, задавая начальные условия в виде:

;  .

где  – возмущение по Ляпунову (ε=0.001). Получим ==0,0984. (10)

Отличие между (9) и (10) составляет 4%.

2. Решаем задачу устойчивости при внешнем давлении согласно предыдущей методике, выбирая прогиб в виде (4). Результаты представлены в Таблице 1.

Таблица1.

3. Используя предложенную методику, для прогиба в виде:

                     (11)

решим задачу устойчивости при кручении. Результаты представлены в  Таблице 2.

Таблица 2.

Сравним полученные результаты с экспериментальными данными [1]. На рис.1, рис.2, рис.3 представлено сравнение экспериментальных данных и результатов, полученных в пунктах 1,2,3.(Линия, проходящая между линиями соответствующей Линейной и Нелинейной теории, является результатом решения задач в пунктах 1, 2, 3.)

Рис.1.

Рис.2.

Рис.3.

Выводы:

- В динамической постановке исследована устойчивость при статическом нагружении. При данном подходе отсутствуют понятия верхняя и нижняя критические нагрузки, критические нагрузки лежат между верхними и нижними критическими нагрузками для статической задачи.

- Выявлено, наилучшее совпадение полученных результатов и экспериментальных данных достигается при внешнем давлении (Рис.2). Для осевого сжатия совпадение результатов, полученных в пункте 1, с экспериментами происходит  для тонких оболочек (Рис.1). Совпадений с экспериментальными данными практически не происходит при кручении (Рис.3).

Список литературы:

1. Григолюк Э.И. Устойчивость оболочек. [Текст]: монография / Э.И.Григолюк, В.В. Кабанов. – Москва,  Наука. – 1978. –  359 с.
2. Талипова А.А., Тазюков Ф.Х. Влияние аппроксимаций прогиба на решение нелинейной задачи устойчивости цилиндрической оболочки. [Текст]: сборник докладов / Актуальные проблемы физико-математических и гуманитарных наук. – Казань, ТАИ. – 2012. – 111-114с.
3. Талипова А.А., Тазюков Ф.Х. Влияние аппроксимаций прогиба на решение нелинейной задачи устойчивости цилиндрической оболочки. [Текст]: сборник докладов / Актуальные проблемы физико-математических и гуманитарных наук. – Казань, ТАИ. – 2012. – 111-114с.